高等職業(yè)院校文科數(shù)學(xué)教育的探討Ⅱ

數(shù)學(xué)是科學(xué)和科學(xué)思維方式的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)及其科學(xué)的思維方式已經(jīng)滲透到了現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)方面，本文進(jìn)一步從數(shù)學(xué)的知識技能和創(chuàng)新兩個(gè)方面探討文科數(shù)學(xué)的教學(xué)模式.

一、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)技能

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要之處在于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在嚴(yán)密的公理體系之上的，數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性的學(xué)習(xí)貫徹在了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中；數(shù)學(xué)的確定性明確了科學(xué)的嚴(yán)肅性；面對自然，面對科學(xué)，一就是一，二就是二，對錯(cuò)是分明的，數(shù)學(xué)是可以做到這一點(diǎn)的唯一學(xué)科；數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)建立邏輯推理的思維方式，對世界觀的確立是非常重要的；但在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)也不是先天就嚴(yán)密的，例如歐幾里得幾何和日后建立的非歐幾里得幾何，就是建立在不同的邏輯基礎(chǔ)上的兩個(gè)幾何體系；在學(xué)習(xí)過程中，貫徹這種知識的漸進(jìn)性對理解數(shù)學(xué)思想和提高對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣都是大有幫助的，如數(shù)位的進(jìn)化，現(xiàn)在習(xí)慣使用的十進(jìn)位制源于何時(shí)，我國古代數(shù)的進(jìn)位是怎樣的，二進(jìn)制又是什么意思；數(shù)的進(jìn)化，何時(shí)出現(xiàn)的零、負(fù)數(shù)、虛數(shù)等，是跟人類認(rèn)識數(shù)的過程相關(guān)的.現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材都是標(biāo)準(zhǔn)化了的數(shù)學(xué)教材，強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)的科學(xué)性、嚴(yán)密性、邏輯性，這就要求教師不僅學(xué)習(xí)書本上的知識，還需要對數(shù)學(xué)和科學(xué)發(fā)展的歷史有所了解，每個(gè)知識點(diǎn)都有其來龍去脈，數(shù)學(xué)中的定理及概念也是一樣.

數(shù)學(xué)之美體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我們可以學(xué)會(huì)嚴(yán)密的邏輯推理過程，我們可以學(xué)會(huì)簡化初始條件，并且在確定已知條件的前提下進(jìn)行數(shù)學(xué)演繹.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的結(jié)果，可以掌握一種用數(shù)和量來刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一種技巧，有了計(jì)算機(jī)輔助，我們就可以對我們有興趣的問題進(jìn)行復(fù)制進(jìn)而創(chuàng)新了.數(shù)學(xué)技巧包括三個(gè)方面，第一是用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，即用數(shù)和量（向量）刻畫客觀現(xiàn)實(shí)的能力，具體來說就是用我們熟悉的實(shí)數(shù)和變量去解讀客觀現(xiàn)實(shí)的相關(guān)概念.如微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求和供給兩個(gè)概念，都可以解釋為變量（數(shù)量），但是同為變量，這兩個(gè)概念體現(xiàn)了不同的變量特征，理解了變量的不同特征，就可以具體描畫這個(gè)變量，進(jìn)而觀察變量與其他變量間的關(guān)系.這個(gè)技巧也是數(shù)學(xué)技巧中最難的技巧，需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其相關(guān)科學(xué)的大量知識，才能具備相關(guān)的能力.第二就是建模，就是利用已有的數(shù)學(xué)模型，找出相關(guān)概念（數(shù)和變量）間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立方程，構(gòu)建模型.這個(gè)技巧的掌握有高有低，可以建立初等數(shù)學(xué)模型，也可以建立高等數(shù)學(xué)模型，相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識要求不一樣.但是基本數(shù)學(xué)工具微積分是每個(gè)需要用數(shù)量處理問題的人所必須掌握的數(shù)學(xué)知識和技能.第三就是解決模型的方法，現(xiàn)在流行利用計(jì)算機(jī)軟件來解決問題，軟件解決問題也需掌握相當(dāng)數(shù)量的數(shù)學(xué)基本理論和知識，對掌握各種計(jì)算機(jī)軟件是大有幫助的.

二、數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)技能

數(shù)學(xué)對人們思維的影響是潛移默化的，它會(huì)影響人自覺還是不自覺地以一種符合邏輯的方式思考問題.人類幾千年來積累下來的數(shù)學(xué)知識浩如大海，如何在這些知識中學(xué)到我們需要使用的知識，都值得我們探討.數(shù)學(xué)知識不同于很多學(xué)科的知識，連貫性強(qiáng)，學(xué)習(xí)需要循序漸進(jìn).人類認(rèn)識數(shù)的歷史已經(jīng)有幾千年了（有了文字記載開始），但是形成各種關(guān)于數(shù)的科學(xué)知識歷史并不悠久，大多是從17世紀(jì)西方開始.數(shù)學(xué)的歷史可以追溯到更早的古希臘亞里士多德時(shí)代，著名的《幾何原本》奠定了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)在歐洲奠定嚴(yán)密科學(xué)基礎(chǔ)之前一直順著兩個(gè)方向在發(fā)展，即幾何和代數(shù).其實(shí)幾何與代數(shù)的發(fā)展一直是在相互支撐的，很多代數(shù)定理的證明可以借助幾何直觀來完成，如勾股定理的證明，是三個(gè)相互關(guān)聯(lián)的正方形面積間的關(guān)系.最早關(guān)于數(shù)的知識都是建立在自然數(shù)的基礎(chǔ)上的，如三角形數(shù)、正方形數(shù)等，數(shù)的進(jìn)位等都有幾何直觀.數(shù)的發(fā)展也是經(jīng)歷了一個(gè)漫長的歷史過程，慢慢地發(fā)現(xiàn)幾何和直觀不能完全滿足客觀的要求，如數(shù)“零”的出現(xiàn)，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，數(shù)的十進(jìn)制表示方法.數(shù)的漫長發(fā)展，使我們認(rèn)識了數(shù)的全體構(gòu)成的實(shí)數(shù)集合的完備性、可分性、局部緊性而且與直線（實(shí)數(shù)軸）可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系.在實(shí)數(shù)集合上包含了我們最熟悉的自然數(shù)、有理數(shù)和我們不熟悉的無理數(shù)，數(shù)的各種運(yùn)算都是在這個(gè)集合上進(jìn)行的，由于數(shù)的完備性，我們可以進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減乘除（當(dāng)然了，例外點(diǎn)要除去，計(jì)算的結(jié)果仍然是實(shí)數(shù)）和極限運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果不會(huì)超出實(shí)數(shù)的范圍.為了運(yùn)算的一般性，可以用字母代替數(shù)參與數(shù)學(xué)運(yùn)算，即代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)集合及其上的運(yùn)算結(jié)構(gòu)也構(gòu)成了一種模型.

函數(shù)是實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合的關(guān)系，一種特殊的關(guān)系.函數(shù)對每個(gè)實(shí)數(shù)x的像f（x）也是一個(gè)實(shí)數(shù)，而且是唯一的，這樣對函數(shù)我們同樣可以進(jìn)行加減乘除，代替字母的數(shù)可以看作是在實(shí)數(shù)集合或其一部分上的一個(gè)變量，當(dāng)然了，特殊點(diǎn)仍然要除外.當(dāng)我們考察數(shù)的運(yùn)算及變量間的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)集合間的函數(shù)關(guān)系，可以用初等運(yùn)算表示出來的只有常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)幾種，我們稱這幾種函數(shù)為基本初等函數(shù)，其中的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)是兩對關(guān)系與反關(guān)系.基本函數(shù)關(guān)系還有更深的含義，如指數(shù)函數(shù)是實(shí)數(shù)集合和正實(shí)數(shù)集合間的一一對應(yīng)關(guān)系；三角函數(shù)刻畫了周期運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)；三角函數(shù)中的反正切函數(shù)則把無界的實(shí)數(shù)壓縮到了有界的實(shí)數(shù)區(qū)間，即用更宏觀的觀點(diǎn)看待基本初等函數(shù)，可以看到更有用的結(jié)果.用關(guān)系看實(shí)數(shù)集合同樣可以得到一些更有用的結(jié)果，數(shù)學(xué)前輩們用實(shí)數(shù)集合上的運(yùn)算特征去觀察更一般的元素集合，可以清楚地了解具有運(yùn)算特征的群、環(huán)、域.如果用一一對應(yīng)的連續(xù)映射去看兩個(gè)集合，可以對元素構(gòu)成的集合進(jìn)行拓?fù)浞诸惲?實(shí)數(shù)集合給出了一種典范，在這個(gè)集合上，可以定義加減乘除代數(shù)運(yùn)算及極限運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果還是實(shí)數(shù)，所以我們說實(shí)數(shù)集合是完備的.實(shí)數(shù)集合上的每個(gè)數(shù)或者是分?jǐn)?shù)或者可以用一個(gè)分?jǐn)?shù)無限靠近（近似），所以我們說實(shí)數(shù)集合是可分的.實(shí)數(shù)集合上的每個(gè)數(shù)都可以用一個(gè)比它大的數(shù)及一個(gè)比它小的數(shù)來限制，所以我們說實(shí)數(shù)是局部緊的.實(shí)數(shù)集合上還有一個(gè)很好的序結(jié)構(gòu).在實(shí)數(shù)集合上獲得的很多結(jié)果，可以推廣到一些跟實(shí)數(shù)集合具有同樣特征的集合上.

可以看到實(shí)數(shù)集合上的幾個(gè)變量（基本初等函數(shù)）在認(rèn)識數(shù)到實(shí)數(shù)集合再到元素構(gòu)成的集合過程中起到了重要的作用，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上的.數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就是從基本初等函數(shù)（一元函數(shù)）開始的，基本初等函數(shù)可以看作是實(shí)數(shù)域上的幾個(gè)基本變量，在此基礎(chǔ)上利用變量的數(shù)學(xué)運(yùn)算（代數(shù)與非代數(shù)）可以構(gòu)造出很大一類實(shí)數(shù)域上的變量（初等函數(shù)類），這幾個(gè)變量也構(gòu)成了已知的函數(shù)關(guān)系的基本類型.一元微積分是學(xué)習(xí)處理這類變量的基本方法極限及微積分法.極限是數(shù)學(xué)最基本的工具，認(rèn)識無窮和無限沒有極限這個(gè)工具我們會(huì)寸步難行，對極限的理解僅具備初等數(shù)學(xué)的知識是困難的，有了極限的知識反過來可以看到中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容就不難了.極限的數(shù)學(xué)刻畫（即ε～N定義，ε～δ定義）是理解數(shù)學(xué)基本思想的基礎(chǔ)，極限的兩個(gè)特例無窮大量和無窮小量是理解極限的最好實(shí)例，如無窮大量與無窮小量的關(guān)系是反比例關(guān)系，利用極限的定義，才可以將這個(gè)關(guān)系理解和刻畫清楚.極限是刻畫變量變化趨勢的工具，當(dāng)一個(gè)變量在變化過程中有趨勢時(shí)，稱之為極限.利用極限這個(gè)工具，我們可以對我們未知的無理數(shù)進(jìn)行估計(jì)，對變量的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫，解決有限與無限這對矛盾.變量的運(yùn)動(dòng)趨勢分為有趨勢和無趨勢兩種，只有當(dāng)變量運(yùn)動(dòng)有趨勢時(shí)，我們才可以進(jìn)一步處理變量的運(yùn)動(dòng)趨勢；變量運(yùn)動(dòng)的無趨勢比較復(fù)雜，我們處理它的辦法還不多.微積分是一個(gè)函數(shù)的兩種特殊極限形式，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的差商的極限函數(shù)；微分用極限的觀點(diǎn)來看，就是在一點(diǎn)函數(shù)的變化與自變量變化是正比例的關(guān)系，滿足這個(gè)條件的函數(shù)成為可微的（即局部可以微小化）；積分可以看作是一個(gè)區(qū)間上某個(gè)函數(shù)微分的和，這個(gè)和就復(fù)雜了，不是有限和，也不是簡單的無限和，理解這個(gè)和需要學(xué)習(xí)無窮級數(shù).

利用函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)（可微）、可積等特性，可以將函數(shù)進(jìn)行分類，形成由函數(shù)構(gòu)成的集合.實(shí)數(shù)上所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)類成為連續(xù)函數(shù)類；所有可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)類，也稱為光滑函數(shù)類；所有可積的函數(shù)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)類.初等函數(shù)屬于這三個(gè)類別.常用的函數(shù)既是連續(xù)的（分段連續(xù)），又是可導(dǎo)和可積的.有沒有處處不連續(xù)的函數(shù)，實(shí)際上我們找一個(gè)處處連續(xù)但是處處不可導(dǎo)（不光滑）的函數(shù)都很難.

三、數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程往往很枯燥，從概念到概念，從定理到定理，從公式到公式，學(xué)生總會(huì)產(chǎn)生疑問，學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用？實(shí)際上數(shù)學(xué)認(rèn)識客觀實(shí)際是理性和抽象的，數(shù)學(xué)認(rèn)識客觀現(xiàn)實(shí)的過程本身就是創(chuàng)新，我們所觀察到的數(shù)都是有單位的，科學(xué)實(shí)驗(yàn)是利用實(shí)驗(yàn)的方法觀察一個(gè)因素（變量）的發(fā)展變化會(huì)不會(huì)引起另一個(gè)因素的變化.當(dāng)我們抽象出數(shù)學(xué)公式時(shí)，我們處理的問題就抽象了，數(shù)學(xué)處理的數(shù)是沒有單位的數(shù)，建立的模型也是適合于各種變量的模型，如線性模型是一種簡單的數(shù)學(xué)模型，在解析幾何上，平面上的直線是線性模型的幾何直觀，但在社會(huì)實(shí)踐問題中線性模型具有一定的普遍性，在簡單經(jīng)濟(jì)分析中的供給與價(jià)格的關(guān)系.需求與價(jià)格的關(guān)系都可以用線性模型來模擬，而且可以建立供給與需求的均衡模式，這種均衡在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)中應(yīng)用很廣.

數(shù)學(xué)知識在建模的過程中也是隨著認(rèn)識的不斷深入而不斷加深的.在經(jīng)濟(jì)學(xué)里，當(dāng)我們考慮需求時(shí)，可以大致將需求分為兩大類.總需求和個(gè)人需求.我們來看個(gè)人需求，當(dāng)我們簡化問題時(shí)，我們可以限制個(gè)人的需求為一種商品（當(dāng)然是不對的，這樣假設(shè)可以讓我們理清思路），那么個(gè)人的需求除了技術(shù)方面的原因以外，可以看作受三個(gè)變量的影響，一個(gè)是個(gè)人的可支配收入，一個(gè)是個(gè)人需要商品的數(shù)量，第三個(gè)是這個(gè)商品的價(jià)格.為簡單起見，我們假設(shè)商品的價(jià)格不變（是一個(gè)常量），可支配收入決定了個(gè)人可能消費(fèi)的最大數(shù)量，假設(shè)個(gè)人的可支配收入全部用于消費(fèi)，那么我們就可以建立一個(gè)個(gè)人可支配收入與商品消費(fèi)數(shù)量間的線性模型；如果個(gè)人不全部消費(fèi)，那么這個(gè)人的消費(fèi)可以用平面上的一個(gè)集合來表示了.我們把假設(shè)放寬，假設(shè)個(gè)人不是只消費(fèi)一種商品，而且我們假設(shè)價(jià)格不變，那么我們建立的模型就是一個(gè)多元線性模型，每個(gè)人的消費(fèi)集也變成了空間中的一個(gè)凸集.可見隨著限制條件的減少，數(shù)學(xué)模型將會(huì)復(fù)雜，也就是說，需要的數(shù)學(xué)知識不斷增加.

社會(huì)科學(xué)中所面對的對象的數(shù)據(jù)具有離散性的特點(diǎn)，即客觀現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)是通過觀察得到的，而不是像大多數(shù)自然科學(xué)的數(shù)據(jù)是通過測量得到的，這就決定了在社會(huì)科學(xué)中處理的數(shù)據(jù)大多具有離散性的特點(diǎn)（由于人類認(rèn)識的限制，我們觀察和測量的數(shù)據(jù)都具有離散性），所以在處理數(shù)據(jù)時(shí)，我們需要將離散的數(shù)據(jù)連續(xù)化，例如需求函數(shù)，它的取值為在不同價(jià)格水平上的商品的需求量（變量的值），制成品的需求量一定是個(gè)自然數(shù)，但是為了分析和使用數(shù)學(xué)方法起見，我們還是把需求函數(shù)看作在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值的一個(gè)變量，那么處理連續(xù)和可微變量的微積分法和其他數(shù)學(xué)方法就可以使用了.數(shù)據(jù)的第二個(gè)特性是總體性和大量性，如當(dāng)我們考慮某時(shí)間某區(qū)域的價(jià)格水平時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，價(jià)格是一個(gè)總體的數(shù)量特征，而這個(gè)總體是由許多種商品所構(gòu)成，也就是說我們所說的價(jià)格水平是這個(gè)地區(qū)所有產(chǎn)品價(jià)格的水平的一個(gè)代表，它可能不是任何一個(gè)具體商品的價(jià)格，我們在處理數(shù)據(jù)時(shí)需要這個(gè)代表，這里就有一個(gè)采集和處理數(shù)據(jù)，獲取這個(gè)代表的問題.所以在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域大多數(shù)數(shù)據(jù)的獲得是依靠統(tǒng)計(jì)手段，這里就需要概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識.

以上談了自己對文科數(shù)學(xué)教育的一點(diǎn)看法，在教學(xué)方法上我們還可以進(jìn)一步進(jìn)行分析，本文就不再論及，我們會(huì)在進(jìn)一步的文章中分析.

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