數(shù)列之“函數(shù)”特點(diǎn)

沙建

數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式（或求和公式）也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式，其定義域是自然數(shù)集或自然數(shù)集的子集.因此，我們?cè)谔幚硪恍?shù)列問(wèn)題時(shí)就可以充分地利用相關(guān)的函數(shù)的一些處理方法和技巧.

一、兩個(gè)“函數(shù)”之間的關(guān)系

由于通項(xiàng)公式和求和公式都是相應(yīng)函數(shù)的解析式.因此，這兒的兩個(gè)“函數(shù)”間的關(guān)系是指“項(xiàng)和”關(guān)系或“項(xiàng)項(xiàng)”關(guān)系.“項(xiàng)和”關(guān)系是教材中“數(shù)列的概念”部分的內(nèi)容，而且在歷年的高考中都有所涉及，而“項(xiàng)項(xiàng)”關(guān)系則多是對(duì)基本量的考查，對(duì)此多采用列方程組的方法來(lái)處理.

例1 （2010年江蘇高考19題）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2a2=a1+a3，數(shù)列Sn是公差為d的等差數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（用n，d表示）.

分析 題干與結(jié)論分別涉及了前n項(xiàng)和Sn、通項(xiàng)公式an.因此，應(yīng)想到是考查兩個(gè)“函數(shù)”式（項(xiàng)和）之間的關(guān)系的.故只須按處理“項(xiàng)和”關(guān)系的步驟做就可以了.

解 由題設(shè)知：Sn=S1+（n-1）d=a1+（n-1）d，則

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=2da1-3d2+2d2n.

由2a2=a1+a3，得2（2da1+d2）=a1+2da1+3d2，解得a1=d.

∴n≥2，an=2nd2-d2，又a1=d2，∴an=（2n-1）d2.

評(píng) 利用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)處理“項(xiàng)和”關(guān)系（即求通項(xiàng)公式），即與函數(shù)中的方程法求解析式是類(lèi)似的.

二、函數(shù)是描述自然界中兩個(gè)（或幾個(gè)）數(shù)量之間的關(guān)系，它體現(xiàn)了兩個(gè)（或幾個(gè)）量之間“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)

注意變量間的“關(guān)系”.在解題時(shí)若能理清這兩個(gè)（幾個(gè)）量之間的關(guān)系，即用一個(gè)（或幾個(gè)）量來(lái)表示另一個(gè)量，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，再利用函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、周期性等，往往可使問(wèn)題迎刃而解，取得很好的效果.

例2 已知函數(shù)f（x）=log3（ax+b）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），記an=3f（n），n∈N.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an2n，Tn=b1+b2+…+bn，若Tn>m（m∈Z）對(duì)一切n∈N*均成立，求m的最大值；（3）求使不等式1+1a11+1a2·…·1+1an≥p2n+1對(duì)一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)p.

分析 本題第一問(wèn)很容易求出an的通項(xiàng)公式an=2n-1.第二問(wèn)與第三問(wèn)均是關(guān)于恒成立的問(wèn)題，而此又可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題處理，求最值一般都是利用單調(diào)性來(lái)尋求.

解 （2）bn=an2n=2n-12n，∴Tn=b1+b2+…+bn=12+322+…+2n-12n.①

∴12Tn=b1+b2+…+bn=122+323+…+2n-12n+1.②

①-②，得 12Tn=b1+b2+…+bn=12+222+223+…+22n-2n-12n+1=32-2n+32n+1.

∴Tn=3-2n+32n.

做到這一步，下面我們就須求出g（n）=2n+32n的最大值，從而求出m的最大值.因此，我們來(lái)研究函數(shù)g（n）的單調(diào)性.

g（n+1）g（n）=2n+52n+12n+32n=2n+52（2n+3）=121+22n+3（n∈N*）<12（1+1）=1，

∴g（n+1）

∴m有最大值12.

第三問(wèn)也是類(lèi)似處理的.

評(píng) 對(duì)于數(shù)列的“函數(shù)”的這一特性的考查在數(shù)列題中是一種常見(jiàn)的題型.尤其在數(shù)列的綜合題中，即當(dāng)與不等式、函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合時(shí)，函數(shù)這一思想的應(yīng)用顯得尤為重要.

三、注意數(shù)列中“數(shù)”的特殊性

數(shù)列是特殊的“函數(shù)”，其主要就特在變量是自然數(shù)集或自然數(shù)集的子集上，那么自然而然的就擁有自然數(shù)的特性，即：①它是正數(shù)；②它是整數(shù)，即分為奇數(shù)和偶數(shù).如利用數(shù)列中其n為自然數(shù)的特性：

例 （2010年徐州市三檢）已知數(shù)列an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足a2n=S2n-1，bn=1an·an+1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；（2）是否存在正整數(shù)m，n（1

分析 第二問(wèn)中涉及了m，n兩個(gè)參數(shù)，可以借助成等比數(shù)列建立起關(guān)于m，n之間的關(guān)系，再利用一個(gè)來(lái)研究另一個(gè).另在利用時(shí)抓住變量為自然數(shù)這一特性.

解 略.

總之，從上面的例子我們可以總結(jié)出數(shù)列是一特殊“函數(shù)”這一特性，并且在處理有關(guān)數(shù)列的綜合問(wèn)題時(shí)，使用起來(lái)還是很好用的.