素?cái)?shù)分布——素?cái)?shù)硬幣的拋擲運(yùn)動

李海南

【摘要】本文在素?cái)?shù)定理的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出一個(gè)更簡潔、更易于描述素?cái)?shù)分布特征，同時(shí)精確度更高的求不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π（x）的表達(dá)式Lihn（x）.主要證明了三個(gè)結(jié)果：（1）π（x）～Lihn（x）.（2）π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）.（3）Li（x）>Lihn（x）+（x/logx）.結(jié)果（3）表明英國數(shù)學(xué)家John睱ittlewood在1914年證明的“Li（x）-π（x）是一個(gè)在正與負(fù)之間震蕩無窮多次的函數(shù)”的結(jié)論是錯誤的.文章最后從概率角度詮釋了素?cái)?shù)分布就是素?cái)?shù)硬幣的拋擲運(yùn)動的實(shí)質(zhì).

【關(guān)鍵詞】素?cái)?shù)分布；概率；連續(xù)轉(zhuǎn)折線；素?cái)?shù)軸；素?cái)?shù)硬幣

【中圖分類號】O1561

前 言

大家都知道，素?cái)?shù)一直是數(shù)學(xué)家特別是數(shù)論學(xué)家的研究對象，素?cái)?shù)分布則是其中的一個(gè)重要的研究分支，應(yīng)該說到目前為止是只有其中三個(gè)人的結(jié)論影響最為深遠(yuǎn)長久，他們分別是：

一、德國數(shù)學(xué)家Gauss的猜測

（1）素?cái)?shù)定理：π（x）～x/logx或者更精確的

π（x）～Li（x），其中Li（x）=А襵2dulogu.

（2）第二個(gè)猜測：Li（x）總是過多地估計(jì)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù).

二、德國數(shù)學(xué)家Riemann，他提出了求解素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的更精確表達(dá)式

π（x）～R（x）=Li（x）-А苝Li（xp）-ln2+∫∞xdtt（t2-1）lnt.

并由此引出黎曼假定（The Riemann Hypothesis）這一千禧年問題.

三、英國數(shù)學(xué)家John Littlewood在1914 年證明的“Li（x）-π（x）是一個(gè)在正與負(fù)之間震蕩無窮多次的函數(shù)”的結(jié)論

德國數(shù)學(xué)家Gauss在考察不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)時(shí)先是得到π（x）～x/logx，同時(shí)認(rèn)為大自然推出素?cái)?shù)很可能是一種素?cái)?shù)硬幣的拋擲過程，只不過此時(shí)這枚硬幣正面朝上的概率不再是二分之一，而是1/logx，因此當(dāng)x越來越大時(shí)，x為素?cái)?shù)的概率就越小，因?yàn)檎娉系母怕孰S著1/logx越來越小了.Gauss并進(jìn)而推測到更精確的表達(dá)式：π（x）～Li（x）.

Lihn（x）的推導(dǎo)過程：

我們從圖1中可以顯然看到三個(gè)可以證明的結(jié)論：（1）π（x）～Lihn（x）

（2）π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）

（3）Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx）

其中：Lihn（x）=А苙1n-1logn+x-n22n+1×nlog（n+1），1

（1）圖1清楚表明（1）：π（x）～Lihn（x）的成立是顯而易見的.

（2）同時(shí)誠如Gauss猜測的那樣，大自然推出素?cái)?shù)確實(shí)是一種素?cái)?shù)硬幣的拋擲過程，只不過這次素?cái)?shù)硬幣的拋擲不是人們常識上所以為的那樣一枚一枚地拋擲，而是每一次拋擲都要比前一次增加兩枚硬幣，并且每一次的拋擲都排除掉明確非素?cái)?shù)的硬幣（12，22，32，42，…，n2，…）.所以在相應(yīng)的第（n+1）次拋擲中除了明確的非素?cái)?shù)（n+1）2，其他的整數(shù)（不分大小）可能是素?cái)?shù)的概率均是1/log（n+1）2（所以相應(yīng)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)=（n+1）2-n2-1/log（n+1）2=n/log（n+1））.這是和Gauss關(guān)于素?cái)?shù)分布的論述“小于或等于x的素?cái)?shù)的分布密度接近相應(yīng)x的對數(shù)函數(shù)的倒數(shù)”的微小的也是最主要的區(qū)別（一個(gè)是接近，一個(gè)是均是），而正是這個(gè)微小的區(qū)別導(dǎo)致素?cái)?shù)定理有如此大的偏差.圖中清楚顯示的三個(gè)表達(dá)式與實(shí)際的素?cái)?shù)分布的誤差主要來自初始的拋擲，隨著n越來越大，在第n次拋擲中素?cái)?shù)出現(xiàn)的數(shù)量就越來越趨向于一個(gè)穩(wěn)定值：（n+1）/logn.而這正是素?cái)?shù)為什么會在總體趨勢上雖然是越來越稀少，但素?cái)?shù)總量π（x）仍然會越來越多的根本原因.遵循人們所熟知的四舍五入的概念，在累計(jì)第n次拋擲后素?cái)?shù)出現(xiàn)的總量π（x）的誤差是不會超過接下來的第（n+1）次拋擲中素?cái)?shù)出現(xiàn)數(shù)量的一半，即0.5n/log（n+1），而當(dāng)n→∞時(shí)，0.5n/log（n+1）≈x/logx.所以有（2）式：π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）成立.綜上所述，從概率理論的角度可以判斷素?cái)?shù)分布確實(shí)是“素?cái)?shù)硬幣”的拋擲過程，素?cái)?shù)在自然數(shù)里的分布是符合獨(dú)立隨機(jī)分布事件的特征的.而Lihn（x）明顯是一條連續(xù)的轉(zhuǎn)折線，轉(zhuǎn)折點(diǎn)在（12，22，32，42，…，n2，…）這容易讓我們得出結(jié)論：素?cái)?shù)的分布接近一條連續(xù)轉(zhuǎn)折線.這條連續(xù)轉(zhuǎn)折線也可以稱之為素?cái)?shù)軸.

如果我們接受這樣的素?cái)?shù)分布的事實(shí)，接下來就很容易證明第三個(gè)結(jié)論：

（3）Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx），證明過程如下：

我們知道，對于Li（x）=А襵2dulogu，由于1/logu是遞減函數(shù)，故當(dāng)x→∞時(shí)，

在區(qū)間n2～（n+1）2顯然有：（n+1）2-n2log（n+1）2<∫dulogu<（n+1）2-n2logn2.

所以nlog（n+1）+1log（n+1）2<А襠ulogu成立.

同理在區(qū)間（n-1）2～n2有：n-1logn+1logn2<А要dulogu成立.

……

г誶間32～42有：3log4+1log42<∫dulogu成立.

在區(qū)間22～32有：2log3+1log32<∫dulogu成立.

在區(qū)間12～22有：1log2+1log22<∫dulogu成立.

那么當(dāng)x從（n+1）2→1時(shí)，顯然有下式：

nlog（n+1）+n-1logn+…+3log4+2log3+1log2+1log（n+1）2+1logn2+…+1log42+1log32+1log22<∫dulogu.

所以∑n1nlog（n+1）+121log（n+1）+1logn+…+1log4+1log3+1log2

亦即Lihn（x）+12×nlog（n+1）

Lihn（x）+x/logx

所以Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx）是成立的.

這個(gè)結(jié)果表明：英國數(shù)學(xué)家John睱ittlewood在1914年證明的“Li（x）-π（x）是一個(gè)在正與負(fù)之間震蕩無窮多次的函數(shù)”的結(jié)論是錯誤的，這或許就是為什么即使現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)時(shí)代也找不到一個(gè)他所說的反例的原因，應(yīng)該說德國數(shù)學(xué)家Gauss的第二猜測是正確的，笑到最后的是德國數(shù)學(xué)家Gauss！

結(jié)論：素?cái)?shù)的分布其實(shí)就是素?cái)?shù)硬幣的拋擲運(yùn)動！

說明：附表1除了Lihn（x）是用VB軟件計(jì)算外，其余的π（x）、R（x）和Li（x）的數(shù)據(jù)均來自網(wǎng)上下載，這是目前能找到的最大的素?cái)?shù)表數(shù)據(jù)，期望能找到更大的數(shù)據(jù)來進(jìn)行比較.附表2

說明：表中也清楚表明了Lihn（x）、R（x）和Li（x）與π（x）相比較的誤差是否滿足O（x/logx）.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]馬科斯杜索托伊.素?cái)?shù)的音樂.孫維昆.長沙：湖南科技出版社，2009.