一元二次不等式恒成立問題解決方法的選擇與應用

錢敏

一元二次不等式在高考中達到C等級，要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.其中一元二次不等式恒成立問題貫穿函數(shù)、導數(shù)、不等式，綜合性較強，方法靈活，是學生學習中的一大難點.本文就已知一元二次不等式恒成立求其中參數(shù)的取值范圍的題型，以2012年高考題為引例，具體說明該題型的幾種常用形式及方法的選擇與應用.

一元二次不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍的題型常見的解決方法有兩類，一是把一元二次不等式與對應二次函數(shù)相聯(lián)系求解，二是分離出其中的參數(shù)轉化為最值問題求解.下面就這兩類方法來具體說明.

題型一 一元二次不等式在R上恒成立問題，求參數(shù)取值范圍

例1 （2012年福建高考（文））已知關于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________.

分析

方法1 與二次函數(shù)相聯(lián)系.

（1）與二次函數(shù)y=x2-ax+2a圖像相聯(lián)系理解題意，該二次函數(shù)已確定圖像開口是向上的，不等式大于0，即告訴我們要的是拋物線上y>0的點，x∈R即告訴我們所有點的x，合在一起理解即為拋物線上所有點的y都大于零，由此題意思考得出此拋物線開口向上與x軸無交點，即Δ<0，計算a2-4·2a<0，得出0

（2）與二次函數(shù)y=x2-ax+2a的最值相聯(lián)系理解題意，關于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，即二次函數(shù)y=x2-ax+2a的最小值要比0大，由此先得出二次函數(shù)y=x2-ax+2a的最小值是頂點處的y即8a-a2[]4>0，同樣得出0

方法2 分離參數(shù)轉化為最值問題.

x2-ax+2a>0也可轉化為a（x-2）2，

a>x2[]x-2，x<2，

a∈R，x=2.

最后通過求x2[]x-2的最值得出a的范圍.x>2時，x2[]x-2≥8，由此得出a<8；x<2時，x2[]x-2≤0，由此得出a>0；又x=2時，a∈R.綜合得出0

這里由于最后轉化為求最值問題，則要求學生對于求最值的幾種常見方法較為熟悉.如基本不等式求最值、利用導數(shù)和函數(shù)單調性求最值等.

這道高考題可運用多種方法來解決，就以上兩類方法來看，可發(fā)現(xiàn)這道題運用第一類的方法解決較為簡便，第二類方法由于此題x∈R對于轉化式中的分母要分情況討論，則相對于第一類方法略為復雜了.教會學生在高考中就同一題目怎樣選擇較為簡易適當?shù)姆椒ń鉀Q問題，至關重要.

高考原題變形 已知關于x的不等式x2-ax+2a≤0的解集為В求實數(shù)a的取值范圍.

分析 變形后的題目理解對于學生來說比原題稍難一點，這要求學生對數(shù)學符號、數(shù)學語言有一定的理解能力.通過細細讀題，慢慢分析，就可發(fā)現(xiàn)變形后的題目與原高考題是同一意思.首先要理解解集為空集是何含義：空集即沒有，不存在的意思，沒有x滿足不等式x2-ax+2a≤0，那x滿足什么呢？即所有的x都應滿足不等式x2-ax+2a>0.由此，原題可轉化為不等式x2-ax+2a>0在x∈R上恒成立，求a的取值范圍.

高考原題改編題 已知關于x的不等式ax2-ax+2≥0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________.

分析 該題不再是單一的一元二次不等式恒成立的問題了，由于x2前的系數(shù)a不明確是否不為0，因而要分情況分析了.a=0時，非一元二次不等式，此時題意是否滿足；a≠0時，是一元二次不等式，此時才能運用解決該題型的兩類方法.就一元二次不等式而言，改編后的題并不明確其圖像的開口方向，如要與二次函數(shù)圖像相聯(lián)系，應根據(jù)題意明確開口方向及與x軸交點的情況，通過分析可以發(fā)現(xiàn)其開口也應是向上的且Δ≤0.在該題中，學生易犯兩點錯誤：（1）不考慮非一元二次不等式的情況.（2）對于一元二次不等式對應的二次函數(shù)圖像不具體分析其開口和與x軸交點情況，僅記憶Δ<0.針對這兩點，教師在平時教學中應注意增加學生自我分析題意的機會，提高學生理解分析題意的能力.

題型二 一元二次不等式在指定區(qū)間上恒成立問題

例2 （2012年上海高考（春））若不等式x2-kx+k-1>0對x∈（1，2）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是___________.

分析 本題雖對x的范圍有所要求，但兩類方法同樣都適用，只是簡易程度各有不同.

方法1 與二次函數(shù)的圖像相聯(lián)系，這里即指開口向上的拋物線y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）上的點的y均要大于0，先進行計算發(fā)現(xiàn)Δ≥0，對稱軸x=k[]2，再進行計算發(fā)現(xiàn)f（1）=0，由此圖形應是下列兩種Δ>0和Δ=0的情況，經(jīng)過多次圖像分析得出對稱軸x=k[]2≤1，由此計算出k≤2.

也可以與二次函數(shù)的最值相聯(lián)系，即根據(jù)題意二次函數(shù)y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）的最小值應大于0，由于這里給出了x的范圍，因此求最值時應就對稱軸是否在區(qū)間范圍內(nèi)進行討論.

方法2 參數(shù)分離轉化為最值問題，則不需要過多的計算和分類討論了.x2-kx+k-1>0可轉化為（1-x）k>1-x2，由于這里給出了x的范圍，因此可直接得出k<1+x，直接可由1+x的最值得出k的范圍.由于x∈（1，2），所以1+x>2，因此k≤2.

通過兩類方法的比較可以發(fā)現(xiàn)本題運用第一類方法與二次函數(shù)相聯(lián)系時，需要經(jīng)過多次計算才能得出符合題意情況相較第二類方法稍嫌繁雜.

通過例1、例2的分析，可以發(fā)現(xiàn)一元二次不等式在R上恒成立，求參數(shù)取值范圍的題型我們可以優(yōu)先考慮用第一類方法來解決，這樣一般計算量較少，分析較為簡單；而一元二次不等式在指定區(qū)間上恒成立，求參數(shù)取值范圍的題型我們則可以優(yōu)先考慮用第二類方法來解決會較為簡便.當然，這也不是一成不變的.

在平時課堂中，作為教師要多給學生機會獨立思考，獨立做題，培養(yǎng)學生獨立反思的能力，增強學生數(shù)學語言的理解能力、數(shù)形結合能力、邏輯分析能力、方法篩選能力，讓學生不僅獲得某種題型的解決方法，更是獲得解決問題的一種思維方式.