三角函數(shù)中諸多公式的歸納記憶

徐長溉

三角函數(shù)是數(shù)學課程中比較重要的一個組成部分，也是應(yīng)用數(shù)學中必不可缺的基礎(chǔ)知識.凡是學習過三角函數(shù)的人無不對諸多的三角函數(shù)中的公式所迷?；蚶Щ?因此，學習好三角函數(shù)和熟記三角函數(shù)中的公式是密不可分的.三角函數(shù)中的公式有幾十個之多，彼此之間又有著千絲萬縷的牽連與差別，倘若我們泛泛地加以記憶確實有點強人所難，力不從心.如果能借助直觀的圖形或者是簡單的口訣解釋理解，并加以歸納整理，找出規(guī)律，增加記憶深度，將是我們所要探討的課題和所要達到的目的所在.下面我們就三角函數(shù)諸多公式中的一小部分加以歸類并介紹幾種簡單的記憶方法.

一、圖形映記法

在講解同角三角函數(shù)的時候，就遇到了同角三角函數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系了，即正弦函數(shù)sinA，余弦函數(shù)cosA，正切函數(shù)tanA，余切函數(shù)cotA，正割函數(shù)secA，余割函數(shù)cscA之間的關(guān)系.它們之間的關(guān)系怎么能比較清楚簡潔地記憶呢？我們不妨借助一個正六邊形來加以輔助記憶.在正六邊形的左上角記上正弦函數(shù)sinA，右上角記余弦函數(shù)cosA，中間左邊記正切函數(shù)tanA，中間右邊的角記余切函數(shù)cotA，左下角記正割函數(shù)secA，右下角記余割函數(shù)cscA.這樣六個角就對應(yīng)了六個三角函數(shù).然后在六邊形的中心點畫一個圈，分別與六個角連線，圈的里面寫個數(shù)字“1”.這樣一個大的六邊形就被分成了六個小的等邊三角形了.其中有三個是“正”三角形（就是一個尖在上面的）.三個是“倒”三角形（就是一個尖在下面的）.把三個倒三角形涂上陰影，用以表示面積所用.因為面積我們都習慣用平方來表示.所以公式中出現(xiàn)平方的時候就要用到用以表示面積的部分來表達了.這樣的準備工作做好了之后，就可以借助這個六邊形對同角三角函數(shù)之間的關(guān)系來記憶了.首先是對角之積為“1”.即正弦函數(shù)與余割函數(shù)之積為1，sinA·cscA=1；余弦函數(shù)與正割函數(shù)之積為1，cosA·secA=1；正切函數(shù)與余切函數(shù)之積為1，tanA·cotA=1.其次是商的關(guān)系.以中間的正切函數(shù)和余切函數(shù)為中心，正切函數(shù)上下分別往右，左邊的函數(shù)除以右邊的函數(shù)就等于正切函數(shù)，tanA=sinA[]cosA=secA[]cscA.以余切函數(shù)為中心，余切函數(shù)上下分別往左，右邊的函數(shù)除以左邊的函數(shù)就等于余切函數(shù)，cotA=cosA[]sinA=cscA[]secA.再者就是平方和關(guān)系.三個倒三角上面的兩個頂角的平方和等于底角的平方.即正弦函數(shù)的平方加上余弦函數(shù)的平方等于1的平方，sin2A+cos2A=1；正切函數(shù)的平方加上1的平方等于正割函數(shù)的平方，tan2A+1=sec2A；1的平方加上余切函數(shù)的平方等于余割函數(shù)的平方，1+cot2A=csc2A.由此，我們只要在腦海里印記了一個正六邊形，同角三角函數(shù)之間的所有關(guān)系也就相應(yīng)地映記在腦海里了.

二、口訣解釋法

在講解三角函數(shù)誘導公式的時候，九組三十六個誘導公式單獨的記憶就有一定的難度.那么我們歸納分析后可以看出，凡是誘導公式中括號里前面的定角（如π，2π或π[]2，3π[]2之類的角）所落在坐標軸的位置不同，等號后面的三角函數(shù)與等號前面的三角函數(shù)的名稱有的相同，如sin（π+A）=-sinA，有的不同，如tan3π[]2-A=cotA.那么有何規(guī)律呢？而等號后面的正負符號也不盡相同.這又有何規(guī)律呢？通過觀察、歸納，我們可以簡單的用兩句話、十個字來佐以記憶.這就是“縱變橫不變，正負看象限”.那么，這十個字、兩句話怎么理解就顯得尤為重要了.首先，什么叫縱，什么叫橫？就是定角所落在坐標軸的位置，如果定角落在坐標軸的橫軸上，就叫做橫，如π或者2π的終邊就落在了橫軸上了，所以就叫做橫了.同理可知縱.那什么叫變和不變呢？就是等號左右的三角函數(shù)名稱變和不變.“縱變橫不變”就是指的是如果定角的終邊落在了坐標軸的橫軸上了，那等號兩邊的三角函數(shù)的名稱就不變，如果定角的終邊落在了坐標軸的縱軸上了，那等號兩邊的三角函數(shù)的名稱就改變.那變和不變，怎么變，怎么不變呢？變就是等號左邊的要是正弦函數(shù)，那等號右邊就是余弦函數(shù)，等號左邊是正切函數(shù)，那等號右邊就是余切函數(shù)了.這就是縱變橫不變的解釋理解.所以我們先要觀察定角終邊落在坐標軸的什么軸上，然后根據(jù)口訣就知道等號左右的三角函數(shù)名稱是否改變了.其次是“正負看象限”.正負指的是等號右邊三角函數(shù)前面的正負符號.看象限是看誰的象限呢？是要看定角和任意角A之和所在的象限.這里A雖然是任意角，但我們?nèi)匀灰堰@個任意角A看成是一個銳角.這里特別要強調(diào)的是“看成”.任意角就是任意角，無論是什么角，我們況且都可以把它先看成是銳角.這樣，一個定角和一個銳角所在的象限就確定了.那么這個角和等號左邊的三角函數(shù)所在的象限的三角函數(shù)符號就能確定了.所以等號右邊的正負符號就由此來確定了.那么這樣，等號左邊的三角函數(shù)和括號里的定角與任意角的和或者差的誘導公式就可以由前面的“縱變橫不變，正負看象限”得到等號右邊的一個任意角的三角函數(shù)值了.這樣，我們只要能記住理解這兩句話.十個字就可以把三十六個誘導公式熟練的記住了.比如我們要求：cot（π-A）=？首先我們來確定定角π的終邊所落的坐標軸是在橫軸上了，由“縱變橫不變，正負看象限”，那么我們就可以判定等號右邊的三角函數(shù)的名稱沒變，即左邊是余切函數(shù)cot（π-A），那右邊也一定是余切函數(shù)cotA.再者我們來判斷等號右邊的正負符號，我們看定角和任意角A之差是在第二象限，第二象限內(nèi)余切函數(shù)是負值，所以等號右邊就應(yīng)該是負號了，即cot（π-A）=-cotA.

三、定位記憶法

定位法就是先將我們要熟記的公式模式定位.比如，我們要熟記和差化積的公式.如：

首先將sinA+sinB，sinA-sinB，cosA+cosB，cosA-cosB豎列定位.然后我們再依次在等號的右邊把2sincos，2cossin，2coscos， 2sinsin加以定位.這樣我們就可以永久的記住它們之間的排列對應(yīng)關(guān)系了.然后再來定位角的關(guān)系.等號左邊都是一樣的兩個角A，B，等號右邊也都是兩個角的和及兩個角的差的二分之一A+B[]2，A-B[]2.按照定位的方法依次嵌入等號右邊兩個對應(yīng)的函數(shù)之內(nèi)，最后我們再記憶符號，前三個都是正號，只有最后一個是負號.這樣我們對和差化積的公式有較深的記憶印象了.記住這個對應(yīng)關(guān)系后，我們反過來就可以記憶積化和差的公式了.

由此我們可以看出函數(shù)的排列順序和對應(yīng)關(guān)系沒變，符號沒變，只有對應(yīng)的數(shù)字和角之間的關(guān)系有了一點點的變化.這樣對于和差化積、積化和差的三角變換公式就有了較為明晰的記憶效果了.

綜上所述，三角函數(shù)中的公式雖然繁雜，但我們只要能采用切合實際、直觀有效、簡單易行的借助記憶形式就能從中找到較為簡潔的記憶方法，從而就能深刻熟記和掌握其中的變化規(guī)律.得一點津，受用終生.當然，記憶方法遠遠不止于這點點滴滴，這只是浩瀚大海中的一滴水，實踐中還能探索到更多的簡潔實用的記憶方法.熱誠期盼有識之士有更多的靈招妙法呈現(xiàn)于世，使三角函數(shù)的學習有一個捷徑之梯.本人不才，所錯難免，望同行賜教共勉.