排列、組合的教學(xué)應(yīng)注重能力培養(yǎng)

陳美高

【摘要】本文從排列組合的知識具有比其他一般內(nèi)容更加抽象，有關(guān)應(yīng)用題的思考性又很強以及對計箅的結(jié)果是否正確往往難以作出準(zhǔn)確判斷等這些特點出發(fā)，從七個方面論述了如何挖掘教材內(nèi)涵，培養(yǎng)相應(yīng)能力，達到教學(xué)目標(biāo)的問題：

一、借助具體手段，打好感性認識基礎(chǔ)

二、抓住本質(zhì)特征，提高鑒別能力

三、按題意設(shè)計解題方案，培養(yǎng)層次思維能力

四、把問題引申推廣，發(fā)展抽象能力

五、培養(yǎng)從多方面探索同一問題解法的能力

六、剖析典型錯誤，不斷總結(jié)提高

七、培養(yǎng)綜合運用知識的能力

排列組合是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教與學(xué)的一大難點.從表面上看，排列組合問題中盡是些“應(yīng)用題”，所進行的計算并不難，但在做題時學(xué)生可能會感到力不從心，似乎無章法可依，無公式可用，對自己的算法和計算結(jié)果正確與否心中無底.這部分知識比較抽象，有關(guān)應(yīng)用題的思考性比較強，學(xué)習(xí)它需要細致的審題，周密的思考，精確的判斷和較強的思維能力.因此，培養(yǎng)相應(yīng)能力是學(xué)好排列組合的關(guān)鍵.本文就此談一些粗淺的看法.

一、借助具體手段，打好感性認識基礎(chǔ)

排列組合的教學(xué)，“兩個原理”是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，并貫穿于整個內(nèi)容之中.在引入“兩個原理”及排列數(shù)、組合數(shù)公式的初始階段，一定要讓學(xué)生具體去數(shù)、去排，按照一定的原則，有規(guī)律地，不重不漏地將各種情況分類列舉出來，打下堅實的感性認識基礎(chǔ)，讓學(xué)生從具體列舉中去體會，去理解.若過早地就抽象為法則、公式，讓學(xué)生套用，不求甚解，對結(jié)論是否正確毫無信心，這并不能使學(xué)生真正獲得解題的思考方法.這種壞習(xí)慣一旦養(yǎng)成，將會后患無窮.為此，在學(xué)習(xí)“兩個原理”時，可安排如下練習(xí)：

1.連接A，B，C，D四個城市的道路如圖所示，

從A到C的走法有多少種？具體寫出這些走法.（3×2+2×1=8（種））

2.用1，2，3三個數(shù)字組成三位的自然數(shù)，就下列情況畫出樹圖，求所組成自然數(shù)的個數(shù).（1）數(shù)字可重復(fù)出現(xiàn)；（2）各位數(shù)字都不相同.

（（1）27個 （2）6個）

在教學(xué)時要求學(xué)生有規(guī)律地、不重不漏地列舉，并注意孕伏排列、組合問題的因素.其中樹圖對這樣列舉所有排列是較好的工具，要注意發(fā)揮它的作用.

二、抓住本質(zhì)特征，提高鑒別能力

排列組合問題的難點：不易區(qū)別排列還是組合；在計算時，用加法還是用乘法；對n、m，在題中哪個是n，哪個是m等.因此要解決這些難點，必須抓住本質(zhì)特征，弄清各量的聯(lián)系與區(qū)別，提高鑒別能力.

首先，抓住本質(zhì)，分清區(qū)別.例如，通過實際問題列舉與計算，使學(xué)生領(lǐng)會：使用加法原理的事件是獨立事件，而使用乘法原理的事件則是相關(guān)聯(lián)的.排列與組合的區(qū)別主要看問題是否與順序有關(guān).

其次，避免練習(xí)單一，即學(xué)習(xí)排列問題只做排列的練習(xí)，學(xué)習(xí)組合問題只做組合的練習(xí)，要同時出現(xiàn)，通過對比來提高學(xué)生的分辨能力.

下面是幾個通過對比提高鑒別能力的練習(xí)題：

1.（1）四名學(xué)生分配到三個車間去勞動，有幾種分配方法？（N=34=81（種））

（2）四名學(xué)生爭取三項競賽冠軍，獲得冠軍有幾種可能？（N=43=64（種））

這兩個小題難于區(qū)分，關(guān)鍵在取哪一個做基數(shù)n.

2.三本不同的書，分給A，B，C，D，E五個人中任三人，每人一本，有幾種分法？如果三本書相同的呢？（前者是排列問題N=A35=60（種），后者是組合問題N=C35=10（種））

三、按題意設(shè)計解題方案，培養(yǎng)層次思維能力

解排列組合問題，往往需要按題意設(shè)計一個合理的解題方案，以達到準(zhǔn)確、迅速解題的目的.

例1 三封不同的信，有四個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？

信和信箱涉及兩個問題，可把信看作元素，信箱看作位置，這就把兩個問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題中的兩個基本要素，按題意可設(shè)計這樣一個解題方案：

（1）以元素為主（信），分析各種可能：

第一步：投第一封信，有4種不同的投法.

第二步：再投第二封信，也有4種不同的投法.

第三步：最后投第三封信，仍有4種不同的投法.

因此，投信的方法共有N=4×4×4=43=64（種）.

（2）以位置為主（信箱），分析各種可能：

第一類：四個信箱中的某一個信箱有3封信，有投信方法N=C14C33種.

第二類：四個信箱中的某一個信箱有2封信，而另一個信箱有1封信，有投信方法N2=C24C23A22種.

第三類：四個信箱中的某三個信箱各有1封信，有投信方法N3=C34P33種.

投信方法總數(shù)有：N=N1+N2+N3=4+36+24=64（種）.

在解決排列組合問題中運用的排除法、整體思維法、插空檔法等，實際上都是按題意設(shè)計解題方案的方法，通過對比、鑒別、提煉，逐步找到最好的解題方法.

四、把問題引申推廣，發(fā)展抽象能力

從簡單而具體的、看得到的、舉得出的問題入手，總結(jié)出規(guī)律，并加以引申推廣，這是排列組合教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的有效途徑.

例2 圖1、圖2各有多少個平行四邊形？圖3呢？

圖1共有N1=C23C23=9（個），圖2共有N2=C23C24=18（個），圖3共有N3=C210C212=2970（個）.

五、培養(yǎng)從多方面探索同一問題解法的能力

一題多解是排列組合問題的一個顯著特點，從多方面探索同一問題的不同解法，不僅可以開闊思路、豐富想象力、提高解題能力，還可以借此檢驗計算結(jié)果，解決當(dāng)答數(shù)較大時，對結(jié)果不便直接檢驗的難點.

例3 6名同學(xué)站成一排，其中某一名不站在排頭，也不站在排尾，共有多少種排法？

用符號×△△△△×表示6個位置，按題意，某同學(xué)不能站在×上.

解法一 把某同學(xué)排在位置△上，有A14種方法，其余5人排在剩下的5個位置上，共有A14A55=480（種）.

解法二 從某同學(xué)以外的5人中，任選2人排在位置×上，有A25種排法，其余4人排在剩下的4個位置上，故共有A25A44=480（種）.

培養(yǎng)多種解法的能力，一是可以活躍思路，訓(xùn)練發(fā)散思維能力；二是可以驗證判斷解題是否正確合理.

六、剖析典型錯誤，不斷總結(jié)提高

排列組合應(yīng)用題最常見的解題錯誤來自兩個方面：一是“有序”和“無序”問題，二是“重復(fù)”和“遺漏”問題，解題時稍有不慎就容易出錯，因此要教會學(xué)生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)經(jīng)驗，不斷提高解題水平.

例4 從平面M上取出5個點，從平面N上取出4個點，利用這9個點最多能決定多少個三棱錐？

錯解 從平面M上選出三點作為錐底三角形的三個頂點，從N上選取一點作為錐頂，這樣可以決定C35C14個三棱錐，同理把底選在N上，把錐的頂點選在M上，又可以決定C34C15個三棱錐，故總共可決定C35C14+C34C15個三棱錐.

分析 考慮不全面犯了錯誤，顯然遺漏了在M，N上各選取兩點時所能決定的三棱錐，正確的解應(yīng)再加上C25C24.

正解 最多能決定C35C14+C34C15+C25C24=120（個）三棱錐.

七、培養(yǎng)綜合運用知識的能力

人們在工作中往往必須把學(xué)過的各種知識糅合在一起用于解決實際問題，這種綜合運用知識的能力必須在中學(xué)時代加以培養(yǎng)，這塊內(nèi)容中也為我們提供了這方面的材料.

例5 從1，2，3，4，7，9六個數(shù)字中任取兩個作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可以得到多少個不同的對數(shù)值？

這個問題要用到對數(shù)的定義、性質(zhì)loga1=0及換底公式的推論logab=loganbn，才能得到正確答案：A25-4+1，即17個不同的對數(shù)值.

教材中培養(yǎng)學(xué)生能力的材料俯拾皆是，有時通過一個題目往往可以培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力，教學(xué)中若能積極發(fā)掘充分利用，對于解決難點，提高學(xué)生能力，達到教學(xué)目標(biāo)，必將起到積極作用.

【參考文獻】

[1]周沛耕，著.怎樣學(xué)好高中數(shù)學(xué).北京：科學(xué)出版社，1996.

[2]丁爾升主編.高中數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)書（人教版）.1988.