從概念的本質(zhì)來理解概念的內(nèi)涵與外延

顧筠筠

善于解剖概念，強(qiáng)調(diào)概念中的關(guān)鍵詞語，從中透徹理解其內(nèi)涵——概念中對(duì)象的本質(zhì)屬性，它是概念質(zhì)的方面，以及其外延——概念的適應(yīng)范圍，它是概念的量的方面.

幾何概型是中學(xué)數(shù)學(xué)在概率部分新增的內(nèi)容，怎樣深刻理解幾何概型的內(nèi)涵，使解幾何概型問題正確化與簡(jiǎn)單化，從而不致引入誤區(qū)？幾何概型在蘇教版《數(shù)學(xué)3》（必修）第101頁上作了詳細(xì)的定義，據(jù)此，幾何概型的內(nèi)涵是事件的等可能性和無限性，筆者認(rèn)為這里的“等可能性”是指基本事件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)可能性相等，“無限性”是指基本事件有無限多個(gè)，它并不是解決幾

何概型問題的關(guān)鍵，而主要是用來判斷該事件到底是幾何概型還是古典概型.同時(shí)在蘇教版《數(shù)學(xué)3》（必修）第104頁中指出：“由此可見，背景相似的問題，當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r(shí)，其概率是不一樣的.”話雖然不錯(cuò)，但給人的感覺好像是解決幾何概型問題要從基本事件出現(xiàn)等可能的角度去解決.我認(rèn)為這是完全沒有必要的，可以說是把一個(gè)簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化，將解決幾何概型問題引入誤區(qū)，解決幾何概型問題關(guān)鍵仍然是抓好“事件”并將其“幾何化”，這就是概念的本質(zhì).先來看蘇教版《數(shù)學(xué)3》（必修）第102頁例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率.這里的一個(gè)基本事件是在斜邊AB上取一個(gè)點(diǎn)M，它符合幾何概型定義，所以區(qū)域D是線段AB，其測(cè)度為線段AB的長度，區(qū)域d為線段AC′（AC′=AC），其測(cè)度為AC′的長度，所以該事件的概率為2[]2.

下面看蘇教版《數(shù)學(xué)3》（必修）第104頁第6題：如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

應(yīng)用一個(gè)新的定義去解決問題時(shí)，只要抓住定義的本質(zhì)，弄清它的內(nèi)涵及外延，深刻理解定義中每句話的含義，對(duì)難理解的語句，可以通過實(shí)例不斷幫助學(xué)生理解.如幾何概型定義“……事件A發(fā)生的概率與區(qū)域d的測(cè)度（長度、面積、體積等）成正比，與d的形狀和位置無關(guān)……”，這里的“與形狀和位置無關(guān)”，學(xué)生不易理解，我們可以舉下面的例題：甲乙兩人各自在田徑場(chǎng)上400米長的跑道上跑步，求在任一時(shí)刻兩人在跑道上相距不超過50米（彎道時(shí)指跑道上曲線長度）的概率.很顯然這是一個(gè)幾何概型問題，一個(gè)基本事件是甲乙兩人在跑道上的位置，記“兩人在跑道上的距離不大于50米”的事件為A，而事件A發(fā)生是甲乙兩人在跑道上的距離差不超過50米，可作如下兩種角度思考：思考一，先假設(shè)甲在跑道上C處（C的位置是任意的），如圖1，

事件A發(fā)生，乙只要在甲前后50米之內(nèi)，這種思考方法D的測(cè)度為400米，d的測(cè)度為100米，∴P（A）=1[]4.思考二，為方便計(jì)算甲乙之間的距離，我們不妨以跑道上O為起點(diǎn)，與O逆時(shí)針方向計(jì)算距離，設(shè)甲與O的距離為x米，乙與O的距離為y米，事件A發(fā)生就是x，y滿足

如圖2.這種思考方法是將區(qū)域D視為正方形，測(cè)度是正方形的面積4002 m2，而事件A發(fā)生是指落在滿足條件不等式組（1）或（2）的區(qū)域d內(nèi)，由線性規(guī)劃知識(shí)，易知區(qū)域d是圖中陰影部分，其測(cè)度為（4002-3502+502）m2，∴P（A）=4002-3502+502[]4002=1[]4.

上面的兩個(gè)思考方法說明解決同一個(gè)幾何概型問題，思考角度不同，區(qū)域D（d）也會(huì)有所不同，從而說明事件發(fā)生的概率與d的形狀和位置無關(guān)，只與d的測(cè)度成正比.

聯(lián)想、思考：進(jìn)入新課程，對(duì)概念教學(xué)還采用老的“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式是很不夠的，應(yīng)給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，明確概念所反映的對(duì)象具有什么本質(zhì)特征，只有對(duì)概念的內(nèi)涵和外延都有了準(zhǔn)確的了解，才能說明已經(jīng)明確了概念.當(dāng)然一個(gè)概念的學(xué)習(xí)，對(duì)概念的理解與掌握，還需在概念課的后繼課中不斷反復(fù)應(yīng)用，不斷加深理解，從根本上改變概念課教學(xué)中“單調(diào)乏味”及“死記硬背”的錯(cuò)誤傾向，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，歸納總結(jié)，正如波利亞指出的“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.只有這樣，才能使學(xué)生分析問題和解決問題的能力不斷提高.