學(xué)之道在于“悟”

顧鋒

數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，因此良好的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立至關(guān)重要.作為數(shù)學(xué)解題的有意義學(xué)習(xí)，必須是使學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程成為其主動(dòng)自覺的學(xué)習(xí)過程，即要靠學(xué)生自己的領(lǐng)悟而獲得解題策略經(jīng)驗(yàn)積累.而領(lǐng)悟又要靠對(duì)思維過程的反思才能達(dá)到.如果學(xué)生在解題后即將其束之高閣而不對(duì)解題過程進(jìn)行反思，那么解題活動(dòng)只能停留在較低的經(jīng)驗(yàn)水平，解題能力難有真正提高，如果在解題之后能對(duì)自己的思路作出自我評(píng)價(jià)，對(duì)整個(gè)解題過程的方方面面進(jìn)行深入的探討，那么學(xué)生的思維就可能在較多的層面上得到概括，從而提升了他們的理性思維水平，使他們的解題能力得到真正的提高.那么，老師在教學(xué)中應(yīng)從哪幾個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思呢？

一、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的思考過程進(jìn)行反思

對(duì)自己思考過程的反思，就是在一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)束以后，努力去回憶自己從開始到結(jié)束的每一步心理活動(dòng).一開始自己是怎么想的，走過哪些彎路，碰到哪些釘子；為什么會(huì)走這些彎路，碰到這些釘子，有什么規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)可以吸??；自己的思考與老師或同學(xué)的有什么不同，其中的差距是什么，原因是什么；自己在一些思考的中途是否做過某些調(diào)節(jié)，這些調(diào)節(jié)起到什么作用，或者為什么當(dāng)時(shí)不能作出某些調(diào)節(jié)；自己在思考的過程中有沒有作出過某些預(yù)測(cè)，這些預(yù)測(cè)對(duì)自己的思考是否起到了作用，自己在預(yù)測(cè)和估計(jì)方面有沒有帶普遍性意義的東西可以歸納等等.

學(xué)生對(duì)自己思考過程的反思，是一種學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的能力的培養(yǎng)，是一種學(xué)習(xí)潛能的培養(yǎng)，是可持續(xù)發(fā)展的人的素質(zhì)的培養(yǎng).

二、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)活動(dòng)所涉及的知識(shí)進(jìn)行反思

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中總要涉及一些已獲得的具體數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生要反思自己對(duì)這些所涉及的知識(shí)的認(rèn)識(shí)是否達(dá)到活動(dòng)所要求的程度，這包括了學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的程度，對(duì)知識(shí)本質(zhì)屬性的把握程度，這些知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)方面建立聯(lián)系的程度，對(duì)知識(shí)的各種表達(dá)形式掌握的程度及自己對(duì)所涉及的知識(shí)是否有新的認(rèn)識(shí)，有些什么新的認(rèn)識(shí)，原有的認(rèn)識(shí)有什么欠缺之處，這種欠缺是如何造成的，等等.

學(xué)生對(duì)某一數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，不是在一兩次數(shù)學(xué)活動(dòng)中就能完成的.如就函數(shù)的概念而言，一開始對(duì)定義的學(xué)習(xí)，不可能就其所蘊(yùn)含的東西建立比較深刻的、完整的認(rèn)識(shí).如函數(shù)的定義域和值域所涉及的集合，可以是整數(shù)集、實(shí)數(shù)集，也可以是幾何圖形；函數(shù)的對(duì)應(yīng)方式，可以是統(tǒng)一的解析式，可以是分段的表示，也可以是一系列的數(shù)值.學(xué)生要達(dá)到對(duì)函數(shù)關(guān)系本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)水平，必然要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的認(rèn)知過程.

由于每一次活動(dòng)的背景不盡相同，如果每次都能對(duì)不同背景下涉及的同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行反思，那么就可能產(chǎn)生許多的認(rèn)識(shí).

三、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所涉及的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思

對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)、掌握和運(yùn)用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓所在.但數(shù)學(xué)思想方法沒有獨(dú)立存在的形式，它往往蘊(yùn)含在具體內(nèi)容的字里行間或伴隨在具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程之中.數(shù)學(xué)思想方法的傳播和學(xué)習(xí)，主要靠教師在長(zhǎng)期的教學(xué)中提示、歸納、點(diǎn)撥，更要靠學(xué)生自己在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟、吸收和運(yùn)用.

如：若x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2

中學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的思想方法有：轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等，消元法、降次法、換元法、配方法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法等.

在數(shù)學(xué)解題后的反思中，除要注意挖掘活動(dòng)中涉及了哪些數(shù)學(xué)思想方法外，更要反思這些思想方法是如何運(yùn)用的，運(yùn)用的過程有什么特點(diǎn)，這樣的思想方法是否在其他情況下運(yùn)用過，現(xiàn)在運(yùn)用和過去的運(yùn)用有何聯(lián)系、有何差異，是否有規(guī)律性的東西.有了這樣的反思，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)、把握、運(yùn)用的水平就會(huì)不斷提高.

四、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題活動(dòng)中有聯(lián)系的問題進(jìn)行反思

解題后對(duì)有聯(lián)系的問題進(jìn)行反思，是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)中必然要與一些相識(shí)或似曾相識(shí)的問題有所聯(lián)系，因而在解題后，對(duì)那些有聯(lián)系的問題進(jìn)行反思.回顧整個(gè)活動(dòng)中曾經(jīng)與哪些問題有過聯(lián)系，在什么地方聯(lián)系過；思考為什么會(huì)或可以產(chǎn)生聯(lián)系，具體產(chǎn)生了什么聯(lián)系，是與問題的情境有聯(lián)系還是與問題的方法有聯(lián)系，是與整個(gè)問題有聯(lián)系還是與問題的局部有聯(lián)系，所有這些聯(lián)系之間能否概括出某種規(guī)律或經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過這樣的聯(lián)系對(duì)原問題是否有新的認(rèn)識(shí).

五、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題的結(jié)果進(jìn)行反思

學(xué)生經(jīng)過對(duì)解題過程的探討總結(jié)，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答.教師要引導(dǎo)學(xué)生從探討解法、挖掘規(guī)律、引申結(jié)論三個(gè)方面對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行反思.即能否利用不同知識(shí)，通過不同途徑求得問題的解？是否有更一般的方法？是否有更特殊的方法？這些方法各有什么特征？通過對(duì)不同解法的比較，能否找到更滿意的解法？此題的哪個(gè)方面給我啟發(fā)？這個(gè)結(jié)果或解法能否適用于其他某個(gè)問題？能否找到這些問題共性的規(guī)律？能否將這個(gè)問題的結(jié)論變形、推廣？能否改變一下條件或結(jié)論？等等.

解題的反思過程，不僅是回顧有關(guān)知識(shí)、解題方法及理解題意的過程，更是要反思怎樣探索、走過哪些彎路和錯(cuò)誤、為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤，讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)反思并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自覺地進(jìn)行反思，在“悟”中，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)、把握、運(yùn)用的水平不斷提高.