黃致和
數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位和作用,“如果一個(gè)學(xué)生要成為完全合格的多方面武裝的科學(xué)家,他在其發(fā)展初期就必定來到一座大門并且必須通過這座門。在這座大門上用每一種人類語言刻著同樣的一句話:‘這里使用數(shù)學(xué)語言?!边@段話極其形象地描繪了掌握數(shù)學(xué)語言的重要性。數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾也指出:“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。”加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言教學(xué)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和課堂教學(xué)質(zhì)量的有效方法。
一、數(shù)學(xué)語言的含義
數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的一個(gè)顯著區(qū)別,在于數(shù)學(xué)學(xué)科中充滿著符號、圖形和圖像,它們按照一定的規(guī)則表達(dá)數(shù)學(xué)意義,交流數(shù)學(xué)思想,這些符號、圖形和圖像就是數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)語言可分為兩種:一種是抽象的符號語言,另一種是直觀的圖形、圖像語言。數(shù)學(xué)符號和圖形、圖像是數(shù)學(xué)中的“文字”,通過它們表達(dá)概念,判斷、計(jì)算、推理、證明等思維活動(dòng)。
二、數(shù)學(xué)語言的功能
按照數(shù)學(xué)符號和圖形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)學(xué)語言的功能歸納為以下幾個(gè)方面。
1.表達(dá)數(shù)的字母或幾何圖形的符號,具有確定的符號意義的功能。如在代數(shù)中,用“a、b、c……”表示已知數(shù),“x、y、z……”表示未知數(shù),幾何中用“∠”表示角,用“△”表示三角形,用“∥”表示平行等,這些是數(shù)學(xué)中的象形符號。
2.數(shù)學(xué)符號具有形成數(shù)與數(shù)、數(shù)與式、式與式之間關(guān)系的功能。符號“=”表示數(shù)或式相等,“>”、“<”分別表示大于和小于,“∽”、“≌”分別表示幾何圖形的相似與全等關(guān)系。
3.數(shù)學(xué)符號具有按照某種規(guī)定進(jìn)行運(yùn)算的功能。符號“+”、“-”、“×”、“÷”分別表示數(shù)或式的加、減、乘、除,“an”表示乘方,符號“sin”、“cos”、“tg”分別表示三角函數(shù)中正弦、余弦、正切,“s2”表示方差。
4.數(shù)學(xué)符號具有約定輔助功能。符號“△”表示一元二次方程根的判別式,“()”,“”、“{}”在數(shù)學(xué)中起輔助功能的作用。數(shù)學(xué)符號有機(jī)地結(jié)合,構(gòu)成了內(nèi)涵深刻、豐富簡明的數(shù)學(xué)語言。
三、數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)
1.一般性。研究數(shù)學(xué)的目的之一,就是盡可能地用簡明而基本的語言去解釋世界,數(shù)學(xué)不僅是事實(shí)和方法的總和,而且是用來描述各門科學(xué)和實(shí)際活動(dòng)領(lǐng)域的事實(shí)和方法的語言。
2.簡潔性。數(shù)學(xué)語言具有明顯的簡潔性,它盡可能用最少的語言符號去表達(dá)最復(fù)雜的形式關(guān)系,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)某個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律,比用自然語言要簡潔得多,例如勾股定理,用自然語言需表述為一大段話,而用數(shù)學(xué)語言則簡單明了,數(shù)學(xué)語言大大縮短了語言表達(dá)的長度,使敘述、計(jì)算和推理更清晰、明確。
3.準(zhǔn)確性。自然語言具有多義性,含糊不清,而數(shù)學(xué)需要準(zhǔn)確而清楚的語言,每一個(gè)符號、式子只能有一個(gè)意思,一個(gè)數(shù)學(xué)符號確定表示某個(gè)意義后,一般不再表示其他意義。在數(shù)學(xué)語言中可能出現(xiàn)含混的情形只是極少數(shù)。例如幾何中表示三角形的符號“△”,與代數(shù)中一元二次方程根的判別式“△”符號一樣,但即使這樣,從上下文的意思,仍可判斷它們的確切意義,不會(huì)發(fā)生混淆,從而明確區(qū)分。
四、數(shù)學(xué)語言的教學(xué)
數(shù)學(xué)語言是一種形式化的符號語言,數(shù)學(xué)內(nèi)容就蘊(yùn)涵在這種形式化的符號語言中,從某種意義上說,教數(shù)學(xué)就是教數(shù)學(xué)語言,學(xué)數(shù)學(xué)也就是掌握數(shù)學(xué)語言。
1.把直觀和數(shù)學(xué)語言建立聯(lián)系。從具體到抽象,從感性認(rèn)識(shí)發(fā)展到理性認(rèn)識(shí),這是認(rèn)識(shí)的基本規(guī)律,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也不例外,感知是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的初始環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)語言中,名詞、術(shù)語是量與空間形式的抽象,用數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念,既是數(shù)學(xué)的特點(diǎn),又是數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)概念本身就十分抽象,加上用符號表示,從而使概念更抽象化,因而在教學(xué)中,用學(xué)生熟悉的形象來加深學(xué)生的理解,真正使學(xué)生掌握概念符號的意義,顯得尤為重要。
2.注意揭示數(shù)學(xué)符號的涵義和實(shí)質(zhì)。數(shù)學(xué)的概念和原理常常用數(shù)學(xué)符號表示,這就要求在教學(xué)中,要防止概念、原理與數(shù)學(xué)符號脫節(jié),注意充分揭示數(shù)學(xué)符號的涵義和實(shí)質(zhì)。例如,在絕對值概念的教學(xué)中,引入符號|a|以后,可以從以下幾個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生理解符號|a|的涵義和實(shí)質(zhì):(1)應(yīng)使學(xué)生從正面理解|a|的意義,它表示的是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,并給出幾個(gè)具體數(shù),如a=3,-5,0,求絕對值|a|;(2)從具體數(shù)引出|a|的值的范圍為非負(fù)數(shù),即|a|≥0;(3)引導(dǎo)學(xué)生從反面理解|a|的意義,若|a|=4,則a為多少?結(jié)合數(shù)軸上的圖形,得出a可為兩個(gè)值,以加深對絕對值|a|的理解。符號只是代表概念的物質(zhì)外殼,如果學(xué)生不了解符號的涵義,不理解數(shù)學(xué)語言表達(dá)式的意義,只是一知半解地使用它,那么他們的知識(shí)將是形式主義的、無益的,因而在教學(xué)過程中,要自始至終給數(shù)學(xué)語言賦予具體內(nèi)容,并通過符號、表達(dá)式的形式結(jié)構(gòu),了解其本質(zhì)內(nèi)容。
3.重視數(shù)學(xué)語言中語義和句法的教學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生對教學(xué)知識(shí)的理解往往表面化、形式化,其原因之一是在數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)中,語義處理和句法處理之間的配合不當(dāng)。形結(jié)與內(nèi)容脫節(jié),實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)語言的符號與它們所表示的意義脫節(jié),從教學(xué)的角度分析,這可能由于在教學(xué)中對數(shù)學(xué)語言的語義注意不夠,以致使學(xué)生將問題翻譯成數(shù)學(xué)語言時(shí)產(chǎn)生困難。許多數(shù)學(xué)符號的出現(xiàn),往往伴隨著一定的條件,如一元二次方程中,二次項(xiàng)系數(shù)不為零,若方程有解,則判別式△≥0,要結(jié)合實(shí)例,隨時(shí)提醒學(xué)生,不能忽視數(shù)學(xué)語言中的條件,不能濫用數(shù)學(xué)符號。
4.把自然語言和數(shù)學(xué)語言適當(dāng)結(jié)合。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)語言是有困難的,他們必須通過自然語言去理解數(shù)學(xué)語言。初中代數(shù)和幾何都是數(shù)學(xué)語言的入門,在教學(xué)中,凡引進(jìn)的數(shù)學(xué)符號應(yīng)當(dāng)用自然語言作解釋性說明,使學(xué)生理解符號語言的語義,即它的內(nèi)容和意義,并明確符號語言的句法,即符號語言的形式、構(gòu)造、規(guī)則,才能使學(xué)生懂得這些符號語言所表達(dá)的數(shù)學(xué)內(nèi)容,否則將導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解表面化,使形式和內(nèi)容脫節(jié)。
5.循序漸進(jìn)訓(xùn)練數(shù)學(xué)語言的敘述。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)語言,是一個(gè)漸進(jìn)的過程,指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有順序的描述過程、概括結(jié)論、說明思路,讓學(xué)生漸漸從不知如何開口,到會(huì)用,進(jìn)而善用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思想,具體可采用以下幾個(gè)步驟進(jìn)行數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練,以促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展。
(1)模仿敘述。教給學(xué)生一種說話的模式,讓學(xué)生仿照模式進(jìn)行思考回答,體會(huì)數(shù)學(xué)語言的表達(dá)方式。
(2)簡化敘述。讓學(xué)生用盡量簡潔的語言敘述自己的思想。
(3)準(zhǔn)確敘述。把自己的思想轉(zhuǎn)化成符號或圖形,準(zhǔn)確表現(xiàn)思維的過程。
(4)推廣敘述。由一個(gè)問題推廣到一類問題都能用數(shù)學(xué)語言敘述。
(5)辨別真假。將錯(cuò)例呈現(xiàn)出來,通過爭論來辨別其錯(cuò)誤所在。
(6)獨(dú)立敘述。能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地表達(dá)自己的思想。
6.提供數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)教學(xué)過程必然伴隨交流過程,如教師與學(xué)生的交流、學(xué)生與學(xué)生的交流,交流對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常重要的,交流可以幫助學(xué)生在非正式的、直覺的觀念與抽象的數(shù)學(xué)語言之間建立起聯(lián)系,幫助學(xué)生把實(shí)物的、圖形的、口頭的,以及心智描繪的數(shù)學(xué)概念聯(lián)系起來,發(fā)展和深化學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。
通過交流,學(xué)生能把自己的思想以自然語言或數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來,并接受來自他人的思想,把數(shù)學(xué)思想由一種表達(dá)方式轉(zhuǎn)換成另一種表達(dá)方式,比如把一個(gè)概念用圖形或符號表示出來,用圖來表示實(shí)物模型,轉(zhuǎn)化成符號或語言等,進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)語言的理解和掌握。