數(shù)學小實驗探索三角形全等的條件

王宗信

本課是江蘇教育出版社數(shù)學教材7年級下冊第11章《圖形的全等》的第3節(jié)《探索三角形全等的條件——邊邊邊》。在此前兩節(jié)課，學生通過觀察、實驗、歸納、猜想等，探索到通過“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”可以判定兩個三角形全等，而且對“邊邊角”的不確定性和“角角角”的形狀確定、大小不確定也有了一定的認識。那么，只剩下關于“邊邊邊”是否可以判斷三角形全等的探索了。學生個性不同，思維活躍，積極性高，對全等問題有著迫切的求知欲，而且有了一定的知識基礎和基本經(jīng)驗，可以開展“邊邊邊”的判定探索，這是學生的最近發(fā)展區(qū)。為了幫助學生跳一跳并且夠得著，筆者在磨課的過程中不斷調(diào)整，設計了一組數(shù)學小實驗進行操作，結(jié)合例題、習題、思考題的設置，由淺入深，層層遞進，讓學生以研究者的身份在動手操作中發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗證猜想，發(fā)展學生理性思維、創(chuàng)新意識和實踐動手能力，提升他們的數(shù)學學習力，體驗成功的喜悅，在“做數(shù)學”的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學、理解數(shù)學、應用數(shù)學。

教學目標

知識與技能：通過動手操作，探索三角形全等的條件——“邊邊邊”，能結(jié)合具體問題和情境進行有條理的思考，會分別用“因為……所以……”或“因為……根據(jù)……所以……”的表達方式進行簡單的說理。

過程與方法：從兩個圖形全等的定義出發(fā)，參與到探索、發(fā)現(xiàn)過程中來，通過生生、師生的合作學習，猜想可能的結(jié)論。呈現(xiàn)形式為：“問題情境——探索活動——歸納結(jié)論——應用”。

情感、態(tài)度與價值觀：運用數(shù)學的思維方式觀察、思考、分析、解決問題，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感受數(shù)學的價值，學會用數(shù)學的眼光去觀察、分析周圍的事物。

教學重點、難點

通過讓學生探索全等條件的過程，培養(yǎng)學生合情推理的能力；使學生能夠有條理、清晰地思考并闡述自己的觀點。

教學過程

（一）實驗探索“SSS”對三角形形狀及大小的影響

原始設計：

數(shù)學小實驗：用一根20cm的鐵絲，圍成一個三角形，怎樣才能使你和其他同學圍成的三角形全等？

設計意圖：這個問題的提出有一定挑戰(zhàn)性，教學時可以分4人為一組，要求小組內(nèi)的學生圍出的三角形全等。課前要求每人準備一根20cm的鐵絲，活動時要求學生充分討論，設計可行的方案，并制作出三角形，然后各組匯報活動結(jié)果，出示全等的4個三角形。這樣學生雖可利用“SAS”甚至“AAS”制作全等三角形，但容易“跑題”，同時制作方法上存在明顯的不足，如角度難以準確把握。

優(yōu)化后設計：

引入：欣賞圖片（圖1），尋找圖中的三角形形狀物體，思考:為什么把它們設計成三角形？

學生會回答出三角形具有穩(wěn)定性，教師安排小實驗活動進一步探究其中的數(shù)學原理。

實驗一：畫一個角等于已知角

實驗器具：學案紙、圓規(guī)、直尺、三角板、量角器、剪刀。

在學案上給出∠AOB，要求學生用直尺和圓規(guī)按以下步驟操作實驗（圖2）：

1．以O為圓心，任意長為半徑用圓規(guī)畫弧，分別交OA、OB于點C、D。

2．任意畫一點O′，畫射線O′A′、以O′為圓心，OC長為半徑畫弧C′E，交O′A′于點C′。

3．以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交弧C′E于點D′。

4．過點D′畫射線O′B′。

5．剪下∠A′O′B′，與∠AOB比較大小，再用量角器量取∠A′O′B′與∠AOB的度數(shù)。

6．連接CD與C′D′。比較△OCD與△O′C′D′的形狀與大小。

思考、討論：為什么∠A′O′B′與∠AOB相等？

設計意圖：本活動實際是教材前章節(jié)涉及的“做一做：畫一個角等于已知角”。放在此處回顧，目的是讓學生通過再次作圖，提出問題：為什么∠A′O′B′與∠AOB相等？尋找其中的數(shù)學道理，本活動表面上是畫角，實際上先畫△OCD，再畫△O′C′D′，這兩個三角形滿足OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′，三邊對應相等，△OCD≌△O′C′D′，所以A′O′B′與∠AOB相等。所以此實驗表面上是畫一個角與已知角相等，實質(zhì)是畫一個等腰三角形與已知等腰三角形全等。

原始設計：

實驗二:已知三邊長畫三角形

按下列畫法，用圓規(guī)和刻度尺畫一個三角形：

1．畫線段AB=4cm。

2．分別以點A、B為圓心，3cm、2cm的長為半徑畫弧，兩弧交于點Ｃ。

3．連接 AC、AB 。

你畫的三角形與其他同學畫的三角形全等嗎？

設計意圖：讓學生通過尺規(guī)作圖得到三角形，把三角形作在準備好的紙上，先猜一猜，再剪下三角形驗證，通過討論，歸納得出結(jié)論。

優(yōu)化后設計：

實驗操作流程：教師先在黑板上演示（圖3）。

1．畫線段AB=4cm。

2．分別以點A、B為圓心，3cm、2cm的長為半徑畫圓，兩個圓有兩個交點，分別記為C１ 、C２ 。

3．連接AC１、BC１得△ABC１ ；連接AＣ２、BＣ２得△ABＣ２。

看完教師演示，學生在學案上完成同樣的操作。

師：請同學們根據(jù)自己的操作判斷△ABC１與△ABC２是否全等？

生：全等。

師：如何驗證△ABC１與△ABC２全等？

師：請把△ABC１沿直線AB折疊，看△ABC１與△ABC２是否重合。

生：折疊，發(fā)現(xiàn)△ABC１與△ABC２重合。

師：用幾何畫板演示、驗證，精確作圖，利用幾何畫板的反射功能即翻轉(zhuǎn)180°來驗證是否重合。

實驗結(jié)論：滿足三邊對應相等的兩個三角形全等。

設計意圖：由于“實驗一”實際上是一對全等的等腰三角形，有一定的特殊性，“實驗二”提供的三角形是一個普通三角形，具有一般性，較之教材提供的活動，本活動把畫弧修訂為畫圓，兩個圓有兩個交點C１、C２。學生可以通過翻折或同學間比對，發(fā)現(xiàn)所畫的三角形是全等的，再結(jié)合幾何畫板的驗證，給出結(jié)論。

板書課題：全等三角形的判定（3）

板書：三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。

給出圖形和說理格式。給出條件的符號語言、圖形語言和文字語言的不同表達方式。讓學生分清因果關系，發(fā)展初步的推理能力，培養(yǎng)學生思考和表達能力。

實驗三：三角形的穩(wěn)定性實物實驗

原始設計：

多媒體演示、操作，讓學生自帶三角形和四邊形來操作，在實踐中鼓勵學生思考：三角形為什么具有穩(wěn)定性，有什么辦法讓四邊形也具有穩(wěn)定性？

設計意圖：讓學生通過探索和思考，在逐步解答問題的過程中建立推理的意識和把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的轉(zhuǎn)化思想。

優(yōu)化后設計：

再次回顧開始給出的照片和“實驗一”，指出：如果一個三角形三邊的長度確定，那么這個三角形的形狀和大小就完全確定。這種性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。

出示教師自制教具，用扁平的雪糕棒制作的三角形、四邊形，連接處用圖釘固定。發(fā)給每個小組一套雪糕棒制作的三角形和四邊形，探索三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性。

設計意圖及教學過程回顧：設計三角形的穩(wěn)定性和四邊形的穩(wěn)定性的教學時，我動了一番腦筋，課前通知學生撿雪糕棒，課上我發(fā)給學生圖釘，讓學生把三根雪糕棒用三個圖釘固定成一個三角形（檢驗三角形的穩(wěn)定性），用四根雪糕棒和四個圖釘固定成一個四角形（檢驗四邊形的不穩(wěn)定性），然后我提出問題：如何把四邊形穩(wěn)定住呢？學生能夠想到加一根木棒（添對角線），把四邊形變成兩個三角形。我肯定了學生的想法，但是提出了一個要求：只多給一個圖釘，請把四邊形固定住。其實，四邊形之所以不穩(wěn)定，因為雖然邊長確定但角度不能確定，在四邊形四條邊長確定的前提下，只要固定四邊形的一個角（兩個圖釘可以固定一個角），四邊形就確定了。通過分析、討論、探索和教師的提示，學生基本上明白了操作的數(shù)學道理。

結(jié)論：穩(wěn)定性是三角形所特有的，如果三邊的長度確定了，那么三個角的度數(shù)就隨之確定。其他的多邊形一般不具有這個性質(zhì)。

（二）三角形全等條件（ＳＳＳ）的應用

1.出示例題

例１：（1）如圖4，若AB=DC，AC=DB，則△ABC與△DCB全等嗎？為什么？

（2）AB與DC的交點記為O點，問圖中還有三角形全等嗎？它們是？如何說明？

（3）△OBC是特殊三角形嗎？（等腰三角形）如何說明？

學生討論，師生共同分析，共同完成解答。

解：△ABC≌△DCB。

因為AB=DC，AC=DB，BC=CB。 根據(jù)“SSS”， △ABC≌△DCB。

所以 ∠A=∠D，又∠AOC=∠DOB， AC=DB。

根據(jù)“AAS”，△AOC≌△DOB 。

所以OC=OB，所以△OBC是等腰三角形。

設計意圖及教學過程回顧：此例由課后的“練一練”改編而來，原題只有第一問，第二、三問是筆者補充的，這樣層次性更強。此例還可以充分開發(fā)，組成問題串：固定一個三角形，另一個三角形沿著從左向右的方向平移（或從右向左方向平移，進一步探究）；還可以固定一個三角形，把另一個三角形翻轉(zhuǎn)，然后從一個方向向另一個方向平移，進行探索；最后，教師用幾何畫板拖動一下，充分展示數(shù)學味，進行變式訓練。

例２：工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法如下：如圖5，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB 的平分線。為什么？

２．課堂練習

原始設計：

（1）如圖6，點A、C、D、F在同一直線上，AB=FE，BC=ED，AD=FC，試說明△ABC≌△FED。

（2）如圖7，方格紙中△DEF的三個頂點分別在小正方形的頂點（格點）上，請你在圖中再畫1個格點三角形ABC，且使△ABC與△DEF全等。

設計意圖：練習1直接利用SSS來判定△ABC與△FED全等；練習2是練習用格點圖形確定三角形的邊長，進而通過SSS判定三角形全等。

優(yōu)化后設計：

（1）已知：如圖6，點A、C、D、F在同一直線上，AB=FE，BC=ED，要使△ABC≌△FED，可以添加條件_________。

（2）如圖7，方格紙中△DEF的三個頂點分別在小正方形的頂點（格點）上，請你在圖中再畫一個格點三角形ABC，且使△ABC與△DEF全等。你還能找到這樣的格點嗎？這樣的格點共有幾個？

設計意圖：練習1變原來的單一思考為開放思考，給出兩條邊對應相等，若使△ABC與△FED全等不僅可以利用SSS來探索，還可以嘗試SAS來探索；練習2設計成問題串，引導學生逐步拓展探究，養(yǎng)成良好的探究習慣和數(shù)學思考能力。

教學反思

筆者在17年的初中數(shù)學教學生涯中有過6次關于三角形全等判定的教學經(jīng)歷，在這次磨課的過程中，依然有很多新體會。在以往的三角形全等的判定中，主要是以自己的講授為主，在黑板上用作圖的方法得到滿足三邊對應相等的兩個三角形全等，之后開始大量的配套練習，學生也能很好地掌握，但是，很少主動參與。

本節(jié)課將著眼點放在如何引導學生獲得知識、探究知識上。在原有的知識基礎上，借助學生已有的經(jīng)驗，讓學生動眼觀察、動腦思考，讓學生動手做——先做后想或先想后做，使學生在“做”中感受和體驗，主動獲取數(shù)學知識，揭示具體“事例”的數(shù)學本質(zhì)，使學生的學習過程充分數(shù)學化。同時將過程性評價和形成性評價相結(jié)合，注重學生是否積極主動地參與課堂活動，是否能有條理地表達自己的觀點，能否自發(fā)地綜合應用。

為突出重點、突破難點，提高課堂效率。本節(jié)課采用啟發(fā)、引導與學生自主探究相結(jié)合，并輔以多媒體演示的教學組織形式。本課設計有三大突出之處，一是充分利用信息技術，結(jié)合本節(jié)課的特點，準確把握信息技術與數(shù)學學科的整合點，利用PPT、幾何畫板軟件制作了CAI課件，對課堂教學的順利實施具有很好的輔助作用。特別是使用幾何畫板軟件的拖動協(xié)助探究，完善學生的探究過程，解釋了尺規(guī)作圖的數(shù)學原理。二是充分進行了變式訓練，一題多變、一圖多動、動靜結(jié)合，組成問題串，幫助學生理解動態(tài)問題，培養(yǎng)其數(shù)學探究能力。三是對三角形穩(wěn)定性及四邊形的穩(wěn)定性的探究，充分挖掘?qū)W生身邊的素材，調(diào)動了學生的積極性，提高了學生學習數(shù)學的興趣。

（作者單位：中國礦業(yè)大學附屬中學）