中美初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容難度的比較研究

胡莉莉 李雅琪

【摘要】本文主要應(yīng)用數(shù)學(xué)課程難度模型，對(duì)中美兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容作定量的比較，從中得到些許啟示，以期對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革起到點(diǎn)滴借鑒意義

【關(guān)鍵詞】中美比較，初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2012）03-0081-02

1.課程難度數(shù)學(xué)模型 N=αS/T+(1-α )G/T

本課程難度模型N=αS/T+(1-α )G/T是由史寧中、孔凡哲等教授構(gòu)建的，用來(lái)刻畫(huà)課程內(nèi)容難度水平。N表示課程難度，G表示課程廣度，S表示課程深度，T表示課程實(shí)施時(shí)間。其中G/T表示可比廣度（單位時(shí)間下課程的廣度），S/T表示可比深度（單位時(shí)間下課程的深度），α稱為加權(quán)系數(shù)，0＜α＜1，是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，反映了可比廣度、可比深度對(duì)課程難度影響的側(cè)重程度。其中，課程深度是指課程內(nèi)容所需要的思維的深度，目前多是用課程目標(biāo)要求的不同程度或是用抽象度分析法來(lái)量化。課程實(shí)施時(shí)間是指完成課程內(nèi)容所需要的時(shí)間，可以用“課時(shí)”來(lái)量化。課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及范圍和領(lǐng)域的廣泛程度，可以用我們通常所說(shuō)的“知識(shí)點(diǎn)”的多少進(jìn)行量化。為了方便起見(jiàn)，對(duì)于同一門課程不同版本的兩個(gè)教材A和B，分別用N（A）和N(B)表示其課程難度系數(shù)，N (A)>N(B)說(shuō)明A比B難，難度系數(shù)的差值越大，則說(shuō)明難度的差別越大。

2.兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容難度的比較

本論文中的教材主要是指教科書(shū)。我國(guó)的數(shù)學(xué)教材是指人民教育出版社2004年版7-9年級(jí)學(xué)段的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)。美國(guó)的數(shù)學(xué)教材是由美國(guó)Pearson Prentice Hall 出版社2004年出版的7-9年級(jí)學(xué)段數(shù)學(xué)教科書(shū)，簡(jiǎn)稱PH版教材。之所以選用這兩套教科書(shū)作為比較的對(duì)象，主要有兩個(gè)原因。①兩套教材在本國(guó)的使用范圍都比較廣泛，具有很強(qiáng)的代表性。②這兩套教材都是新課程改革背景下的教科書(shū)。

本文對(duì)課程深度、課程廣度和課程時(shí)間具體規(guī)定如下：

課程深度： 本文主要應(yīng)用相對(duì)抽象度分析法對(duì)中美初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行分析。

課程廣度：對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和中學(xué)數(shù)學(xué)中知識(shí)點(diǎn)的劃分，目前尚無(wú)統(tǒng)一認(rèn)識(shí)。為了比較的公平性，我們把兩國(guó)在新授課中需花費(fèi)一個(gè)課時(shí)（40-45分鐘）進(jìn)行的主要內(nèi)容看作為一個(gè)大的知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)對(duì)兩國(guó)相應(yīng)內(nèi)容的比較，發(fā)現(xiàn)兩國(guó)每個(gè)大的知識(shí)點(diǎn)所包括的定理，概念，運(yùn)算等數(shù)量基本一致。美國(guó)的教材每章中的每一小節(jié)基本上就是一個(gè)課時(shí)，因此每一小節(jié)的主要內(nèi)容就視為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。我國(guó)人教版的初中數(shù)學(xué)教材每個(gè)小節(jié)視內(nèi)容的多少，每節(jié)相應(yīng)分成幾個(gè)部分，每一部分需一課時(shí)。以上對(duì)知識(shí)點(diǎn)劃分的合理性分別通過(guò)對(duì)中美兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教師的訪談得到了驗(yàn)證。

課程時(shí)間：對(duì)每部分內(nèi)容所占課時(shí)的多少。我國(guó)的教材主要是根據(jù)人教社所制定的課時(shí)計(jì)劃。美國(guó)的初中數(shù)學(xué)教材每一小節(jié)就是一個(gè)課時(shí)，這與美國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)所公布的總課時(shí)數(shù)約為260課時(shí)基本一致。

2.1一次函數(shù)的比較

人教版教材一次函數(shù)內(nèi)容設(shè)置在八年級(jí)下冊(cè)，內(nèi)容設(shè)置的整體思路是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析給出了函數(shù)的定義，接著研究了一次函數(shù)的圖像和表示方法，在研究特殊的一次函數(shù)——正比例函數(shù)的圖像的性質(zhì)基礎(chǔ)上研究了一次函數(shù)圖像的性質(zhì)。主要知識(shí)點(diǎn)為：變量與函數(shù)的概念，函數(shù)的三種表示法，正比例函數(shù)，一次函數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)再認(rèn)識(shí)二元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程組。共六大知識(shí)點(diǎn)，共15課時(shí)。

根據(jù)抽象度分析法：A函數(shù)的定義及畫(huà)法1.0，B正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)1.0，C一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)0.5，D一次函數(shù)與二元一次方程0.5，E一次函數(shù)與一元一次不等式0.5，F(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程組。綜合深度deg(F|A)=3.5,即課程深度S=3.5。

美國(guó)PH版教材一次函數(shù)的內(nèi)容分布在七、八兩個(gè)年級(jí)，七年級(jí)第12章在研究數(shù)列的基礎(chǔ)上給出了一次函數(shù)的定義，繼而研究了一次函數(shù)的圖像及解析式的求法，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。在七年級(jí)的基礎(chǔ)上深化，八年級(jí)的第五章繼續(xù)研究了一次函數(shù)（線性函數(shù)）的實(shí)際應(yīng)用，把函數(shù)看成映射，并學(xué)習(xí)了定義域、值域。七、八兩個(gè)年級(jí)的課時(shí)總量為12課時(shí)。主要知識(shí)點(diǎn)為：數(shù)列與關(guān)系，一次函數(shù)的定義畫(huà)法，求解析式，一次函數(shù)（線性函數(shù)）的實(shí)際應(yīng)用，映射共5大知識(shí)點(diǎn)12課時(shí)。

根據(jù)抽象度分析法：A一次函數(shù)的定義畫(huà)法0.5，B解析式1.0，C一次函數(shù)（線性函數(shù)）的實(shí)際應(yīng)用1.0，D正比例函數(shù)1.0，E函數(shù)及映射。綜合深度deg(E|A)=3.5,即課程深度S=3.5。

其中0＜α＜1，所以0.2330＜N1＜0.400， 0.2920＜N2＜0.417，如果取α=0.5, 則N1=0.316, N2=0.354

通過(guò)比較得出：N2>N1，因而美國(guó)PH版初中數(shù)學(xué)教材一次函數(shù)課程難度要高于中國(guó)人教版相應(yīng)課程內(nèi)容的難度。

2.2二次函數(shù)內(nèi)容難度的比較

人教版教材二次函數(shù)的內(nèi)容設(shè)置在九年級(jí)第二十六章，本章主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和基本性質(zhì)，用二次函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程，用二次函數(shù)分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題等，共5個(gè)知識(shí)點(diǎn)，總課時(shí)數(shù)為12，課程深度為3。

美國(guó)PH版教材此部分內(nèi)容設(shè)置在八年級(jí)的第十章，主要知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)的概念、圖像、基本性質(zhì)、應(yīng)用，總課時(shí)數(shù)為4，課程深度為3。

其中0＜α＜1，所以0.250＜N1＜0.500， 0.750＜N1＜1.250，如果取α=0.5，則N1=0.375， N2=1.000

通過(guò)比較得出：N2>N1，因而美國(guó)PH版初中數(shù)學(xué)教材二次函數(shù)課程難度要高于中國(guó)人教版相應(yīng)課程內(nèi)容的難度。