對(duì)幾組易混淆函數(shù)值域求解的探究

伍愛(ài)紅

求函數(shù)值域沒(méi)有固定模式和方法，但對(duì)于不同的函數(shù)類型，有針對(duì)性的解法最簡(jiǎn)捷、有效。可是有些函數(shù)在結(jié)構(gòu)形式上極其類似，甚至有些只差一個(gè)負(fù)號(hào)，但解法上截然不同，如果考生在這些細(xì)微點(diǎn)警戒性不高，稍不留心，便會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。下面，筆者通過(guò)歸納對(duì)比幾組易混淆函數(shù)值域的求解，給出辨別技巧及解決策略。

一、 忽視負(fù)號(hào)，生搬硬套

問(wèn)題1 求函數(shù)F（X）=-的值域，函數(shù)g（x）=+ 的值域。

問(wèn)題2 求函數(shù)f（x）=x+3-1-x的值域，函數(shù)g（x）=x+3+1-x的值域。

簡(jiǎn)析：教師應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)雙根式型和雙絕對(duì)值型函數(shù)值域問(wèn)題求解的基本方法和特殊方法，尤其是易錯(cuò)點(diǎn)。上面兩組問(wèn)題在函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式上只差一個(gè)負(fù)號(hào)，但在解法上不一樣，學(xué)生容易類比遷移解題，出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體解法如下。

問(wèn)題1：易知函數(shù)的定義域{x？誆-3≤x≤1}，由于函數(shù)y=為遞增函數(shù)，函數(shù)y=-也為遞增函數(shù)，根據(jù)在公共定義域中，“增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)”的單調(diào)性質(zhì)，函數(shù)f（x）為遞增函數(shù)。

∴f（-3）≤f（x）≤f（1），即-2≤f（x）≤2。

顯然函數(shù)g（x）不能根據(jù)“增+減=增（減）”的單調(diào)性進(jìn)行判斷，而采用等價(jià)轉(zhuǎn)化的形式來(lái)處理，由于+≥0，故g2（x）=4+2。

∴4≤g2（x）≤4+2=8，且g（x）≥0。

∴2≤g（x）≤2。

該題另一解法雙換元后數(shù)型結(jié)合處理，令u=，v=，則u2+v2=4（u，v≥0）且直線l∶u+v=y，即直線v在軸上的截距等于y，數(shù)型結(jié)合易知y∈[2，2]。

問(wèn)題2：該類雙絕對(duì)值型解法有三種，在利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)解題時(shí)易出錯(cuò)。絕對(duì)值不等式性質(zhì)：a-b≤a±b≤a+b，具體解法如下。

∵x+3-1-x≤（x+3）+（1-x）=4，

∴-4≤x+3-1-x≤4，即-4≤f（x）≤4，本題易錯(cuò)認(rèn)為（x+3）-（1-x）≤4。

而x+3+1-x≥（x+3）+（1-x）=4，即g（x）≥4。

另一解法是利用絕對(duì)值的幾何意義，轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)-3與1距離之差或距離之和，說(shuō)明 -3與1兩點(diǎn)將數(shù)軸化分為三段，結(jié)合數(shù)軸易找出答案。還有一種解法是去掉絕對(duì)值，劃分為三段的一次分段函數(shù)，做出圖像，由圖像可知。

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域是常見(jiàn)的方法，除導(dǎo)數(shù)法處理外，復(fù)雜函數(shù)的形成大體分兩類，第一類由基本初等函數(shù)加減乘除四則運(yùn)算組合而成，另一類由復(fù)合而成。但對(duì)單調(diào)性的處理截然不同，第一類要熟記一些性質(zhì)，如增+增=增，增—減=增，第二類的處理根據(jù)同增異減的法則處理。

二、名稱不一，方法有別

問(wèn)題3 求下列函數(shù)的值域：①y=的值域，②y=。

簡(jiǎn)析：易發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)的分母只有函數(shù)名稱不一樣，可解法截然不同，同名的可用函數(shù)的有界性解決，異名的應(yīng)用數(shù)型結(jié)合更方便。

解： ①函數(shù)y=的定義域sinx+2≠0，

∴x∈R，原式可化為sinx=。

由于-1≤sinx≤1，則-1≤≤1，轉(zhuǎn)化為分式不等式組，后解略。

②y==，可看做過(guò)定點(diǎn)（-2，1）與動(dòng)點(diǎn)（cosx，sinx）連線的直線斜率，由于動(dòng)點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，

∴看做過(guò)點(diǎn)（-2，1）向單位圓引的兩條切線的斜率，由=1解出k=0或k=-，即-≤sinx≤0，

另解也可用有界性，原式可變?yōu)椋?sin（x+θ）= （tanθ=-），由≤1，兩邊平方可解出，后略。

三、不顧定義，亂用均值

問(wèn)題4 求下列函數(shù)的值域：①y= 的值域，②y=的值域。

簡(jiǎn)析：上兩式分子的常數(shù)不一，可利用的思想完全不同，如果不細(xì)心函數(shù)的定義，通用均值不等式法，有點(diǎn)畫蛇添足。兩式可化為y=x+（a>0，x>0），使用均值不等式，忽視均值不等式成立的“一正二定三相”等條件，尤其是取最值時(shí)，自變量是否在定義域內(nèi)，否則，利用單調(diào)性判斷，

錯(cuò)解①原式可化為y=+ ，令t=≥2，

∴函數(shù)y=t+ ≥2 =2，當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，即t=1取等號(hào)，顯然不在定義域中。

正確解法：函數(shù)y=t+（t≥2）在[2，+∞）遞增，y≥2+=。

②原式可化為y=+ ，令t=≥2，

∴函數(shù)y=t+≥2=4 ，當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，即t=2取等號(hào)，x=0取最小值。

四、次數(shù)之分，換元有別

問(wèn)題5 求下列函數(shù)的值域：①f（x）=x+的值域，②f（x）=x+。

簡(jiǎn)析：運(yùn)用換元法將所給函數(shù)的解析式化為較易求解的函數(shù)，上兩式根號(hào)里有次數(shù)之別，全用換元思想，當(dāng)次數(shù)是一次時(shí)用代數(shù)換元，形如f（x）=ax+b+（c≠0）的用普通換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域的求解，表達(dá)式中含有結(jié)構(gòu)的用三角換元法。

解①f（x）=x+的定義域?yàn)閧x│x<1}。

令t= （t≥0），則x=1-t2，f（x）=-t2+t+1=-（t-）2+，

∴f（x）≤。

② 令t=sinθ （-≤θ≤） ，f（x）=sinθ+cosθ=sin（θ+），

∵-≤θ≤，

∴-≤θ+≤， -≤sin（？漬+）≤1。

∴-1≤f（x）≤。

綜上所述，本文通過(guò)具體的一些易混淆問(wèn)題，介紹了處理函數(shù)值域應(yīng)用的方法和策略及辨別技巧，以幫助學(xué)生提高解決這類問(wèn)題的能力。

（通渭縣第二中學(xué)）