應(yīng)用萬有引力定律幾種常見的錯誤例析

周為仲

由于航天技術(shù)、人造地球衛(wèi)星屬于現(xiàn)代科技發(fā)展的主要領(lǐng)域，所以萬有引力、人造地球衛(wèi)星成為近年來高考的熱點. 但同學(xué)們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，由于混淆了一些概念，在解決問題時經(jīng)常出現(xiàn)錯誤，為幫助同學(xué)們明晰思路，現(xiàn)將部分同學(xué)們常犯的錯誤作一歸類總結(jié).

■ 一、 誤把在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體看成衛(wèi)星

■ 例1同步衛(wèi)星離地心的距離為r，運行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，運行速率為v2，地球半徑為R，則（）

A. ■=■ B. ■=■

C. ■=■ D. ■=■

■ 解析一部分同學(xué)把在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體看成衛(wèi)星，其軌道半徑為地球半徑R，把運行的速度v2當(dāng)成第一宇宙速度，故誤得向心加速度之比為：

■=■=■，

運行速率之比為：

■=■ ∶ ■=■

錯選B、D答案.

事實上，在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體除了受地球?qū)λ娜f有引力外，還要受地面對它的支持力作用，因此不能把這個物體當(dāng)成衛(wèi)星來處理. 由于該物體在赤道上隨地球一起自轉(zhuǎn)，故該物體與同步衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的角速度是相等的，因而向心加速度之比為：

■=■=■，

運行速率之比為：

■=■=■，正確答案應(yīng)為A、C.

■ 二、 不知道近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的特點

■ 例2已知靠近地面運轉(zhuǎn)的人造地球衛(wèi)星每天轉(zhuǎn)n圈，如果發(fā)射一顆同步衛(wèi)星，它離地面的高度應(yīng)是地球半徑的多少倍？

■ 解析有部分同學(xué)由于不知道近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的特點而無法求解此題.

近地衛(wèi)星的特點：衛(wèi)星運行的軌道半徑約為地球的半徑R，軌道平面不一定在赤道平面上. 同步衛(wèi)星的特點是：軌道平面一定在赤道平面上，運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，因而周期與地球自轉(zhuǎn)的周期相同T=24 h.

若能掌握上述特點，則對近地衛(wèi)星有：

■=m■2R

對同步衛(wèi)星有：

■=m■2r

其中r=h+R，解得■=■-1，即同步衛(wèi)星離地面的高度應(yīng)是地球半徑的（■-1）倍.

■ 三、 混淆了衛(wèi)星軌道處的重力加速度和衛(wèi)星表面處的重力加速度

■ 例3一衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動. 已知行星表面的重力加速度為g行，行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比■=81，行星的半徑為R行與衛(wèi)星的半徑為R衛(wèi)之比■=3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R行之比■=60. 設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度為g衛(wèi)，則在衛(wèi)星表面有

■=mg衛(wèi)

經(jīng)過計算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的三千六百分之一. 上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若錯誤，求出正確結(jié)果.

■ 解析在解決此題時，若不知道衛(wèi)星軌道處的重力加速度和衛(wèi)星表面處的重力加速度的區(qū)別，則很容易認(rèn)為上述結(jié)果是正確的.

實際上，衛(wèi)星軌道處的重力加速度是由行星對衛(wèi)星的萬有引力產(chǎn)生的，而行星表面的重力加速度是由行星對它表面上物體的萬有引力產(chǎn)生的（忽略行星自轉(zhuǎn)），衛(wèi)星表面處的重力加速度是由衛(wèi)星對它表面上物體的萬有引力產(chǎn)生的（忽略衛(wèi)星自轉(zhuǎn)），因而有：

■=m′g行

■=m′g衛(wèi)，

解得g衛(wèi)=0.16g行.

■ 四、 衛(wèi)星的運行速度和發(fā)射速度混淆不清

■ 例4如圖所示,發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點火，使其沿橢圓軌道2運動，最后再次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是

（）

A. 衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率

B. 衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度

C. 衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點時的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點時的加速度

D. 衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度

■ 解析衛(wèi)星的運行速度是指衛(wèi)星在地球周圍的圓軌道上穩(wěn)定運行時的線速度，它與軌道半徑的關(guān)系是：v=■，一定的軌道半徑對應(yīng)著一定的運行速度. 衛(wèi)星的發(fā)射速度是指衛(wèi)星離開發(fā)射裝置時的初速度，衛(wèi)星的軌道半徑越大，需要的發(fā)射速度就越大. 有些同學(xué)根據(jù)v=■也可以知道衛(wèi)星在軌道3上的運行速率小于在軌道1上的速率，但會提出這樣的疑問：當(dāng)衛(wèi)星在橢圓軌道上的P點再次點火時，完全可以將衛(wèi)星速率提高到大于軌道1上的運行速率，對A選項產(chǎn)生了懷疑. 事實上當(dāng)衛(wèi)星在P點速率大于軌道1上的運行速率時，衛(wèi)星就不能在軌道3上穩(wěn)定運行了. 故正確答案是BD.