一類臨界問題的分析

韓平

在機械能與圓周運動的綜合問題中，常常會遇到有關臨界條件的判斷. 求解此類問題，在正確應用機械能守恒定律的同時，要注意物體做圓周運動約束特征的分析. 例如，當物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動時，若為輕繩約束，物體能通過最高點的臨界速度為■；若為輕桿約束，物體能通過最高點的臨界速度則趨近于零. 有時，還需考慮外力提供向心力的約束條件，如繩子所能承受的最大張力等.

■ 例1如圖1所示，長為l的輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，另一端有固定轉軸O，桿可在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉動. 若在最低點P處給小球一沿切線方向的初速度■，不計空氣阻力，則以下判斷正確的是（）

A. 小球不能到達最高點

B. 小球能到達最高點，且在Q點的速度小于■

C. 小球能到達最高點，且在Q點受到輕桿向上的彈力

D. 小球能到達最高點，且在Q點受到輕桿向下的彈力

■ 解析對于輕桿約束，物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動能通過最高點的臨界速度趨近于零. 假設小球能到達最高點Q點，根據(jù)機械能守恒定律，■mv2P=mg·2l+■mv2Q，而vP=■，可得小球在Q點的速度為vQ=■＜■. 小球在Q點所需向心力F=m■=■mg＜mg，故小球在Q點受到輕桿向上的彈力. 本題正確選項為BC.

本題若混淆了輕桿與輕繩的約束條件，則會誤選A.

■ 例2一根內(nèi)壁光滑的細圓鋼管，形狀如圖2所示，處于豎直平面內(nèi). 一粒小鋼球被彈簧槍從與鋼管圓心O處于同一水平面上的A處正對管口射入，射擊時無機械能損失. 第一種情況使小鋼球恰能到達最高點C處；第二種情況使小鋼球經(jīng)最高點C處后平拋，恰好又落回到A處. 這兩種情況下彈簧槍的彈性勢能之比為多少？

■ 解析小鋼球在豎直細圓鋼管內(nèi)的圓周運動，屬于雙面約束，類似輕桿約束. 在第一種情況下，小鋼球恰能到達最高點C處，說明到C處的速度為零. 在第二種情況下，小鋼球從C處開始做平拋運動，又恰好落回A處，說明平拋運動的水平位移與豎直位移大小相等，且x=y=R. 選小鋼球、地球為一系統(tǒng)，因只有重力做功，故兩種情況下系統(tǒng)的機械能均守恒. 取鋼管圓心O所處的水平面為重力勢能的參考平面，由機械能守恒定律可得

第一種情況Ep1=mgR，

第二種情況Ep2=mgR+■mv2，

又R=vt=■gt2，

聯(lián)立以上兩式解得Ep2=■mgR，

故彈簧槍的彈性勢能之比為■=■.

■ 例3如圖3所示，質(zhì)量為m的小球由長為l的細線系住，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=■l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，若線能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將小球懸線拉至水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運動，求釘子位置在水平線上的取值范圍（不計線與釘子碰撞時的能量損失）.

■ 解析設在D點時繩剛好承受最大拉力，DE=x，則AD=■.

懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為r=l-AD=l-■.

當小球落到D點正下方時，繩受的拉力為F，此時小球的速度為v，由牛頓第二定律有

F-mg=m■，

因F=9mg，故有m■=8mg，

由機械能守恒定律得mg■+r=■mv2，

即v2=2g■+r，

由以上三式聯(lián)立解得x=■l.

設在D′點，小球剛能繞釘子做圓周運動到達圓周的最高點，ED′=x′，則

ED′=■，

故r′=l-AD′=l-■，

在最高點mg=m■，

由機械能守恒定律得mg■-r′=■mv′2，

由以上三式聯(lián)立解得x′=■l.

可見，在水平線EF上釘子的位置范圍是x′≤DE≤x，即■l≤DE≤■l.