萬有引力知識(shí)在高考中的應(yīng)用

周孝明

隨著我國航天事業(yè)的快速發(fā)展，“神舟八號(hào)”和“天宮一號(hào)”的順利對(duì)接，探月計(jì)劃的順利實(shí)施、北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的建立，萬有引力與航天成為高考中的熱點(diǎn). 縱觀2011年全國各省的物理高考試題，有關(guān)萬有引力與航天的知識(shí)點(diǎn)幾乎是必考的. 筆者認(rèn)為只要能掌握以下兩種物理模型和兩種關(guān)系就能輕輕松松應(yīng)對(duì).

■ 模型一：橢圓軌道的天體運(yùn)動(dòng)

規(guī)律應(yīng)用：開普勒三定律、萬有引力定律及牛頓第二定律的應(yīng)用.

模型建立：設(shè)衛(wèi)星繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第二定律可得，衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度最小. 根據(jù)開普勒第三定律可得，所有繞著地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的軌道半長軸的三次方與周期的平方是一個(gè)常數(shù)即■=k. 由G■=ma可得a=G■，即離開地球越遠(yuǎn)，衛(wèi)星的加速度就越小.

■ 模型二：圓軌道的天體運(yùn)動(dòng)

規(guī)律應(yīng)用：萬有引力定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.

模型建立：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，繞著地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星和地球之間的距離為r. 以衛(wèi)星為研究對(duì)象，設(shè)衛(wèi)星的線速度為v，角速度為ω，周期為T，因衛(wèi)星只受到地球的萬有引力作用，結(jié)合勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可得：

G■=m■①

G■=mω2r②

G■=m（■）2r③

由①可得v=■，衛(wèi)星離地球越遠(yuǎn)線速度越小.

由②可得ω=■，衛(wèi)星離地球越遠(yuǎn)角速度越小.

由③可得T=2π■，衛(wèi)星離地球越遠(yuǎn)周期越大，由③也可得M=■，這也是常常求中心天體質(zhì)量的方法.

■ 說明以上兩種典型模型中的物體雖然是衛(wèi)星和地球，但在實(shí)際處理問題時(shí)可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，只要符合一個(gè)物體在萬有引力作用下繞著另一個(gè)物體做橢圓軌道或圓軌道運(yùn)動(dòng)即可.

■ 關(guān)系一：近似相等關(guān)系

規(guī)律：忽略地球的自轉(zhuǎn)，萬有引力近似等于重力.

設(shè)某天體的質(zhì)量為M，半徑為R，天體表面附近的重力加速度為g，天體表面附近有一個(gè)質(zhì)量為m的物體，忽略天體的自轉(zhuǎn)，物體所受的重力等于萬有引力，

mg=■④

由④可得g=■，此式在物理上常常被稱為黃金代換式，由④也可得M=■，此式也是求天體質(zhì)量的一種方式.

■ 關(guān)系二：能量的關(guān)系

1. 衛(wèi)星繞著地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)：近地點(diǎn)速度最大，質(zhì)量不變，因此動(dòng)能最大；遠(yuǎn)地點(diǎn)則動(dòng)能最小. 因衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中只受萬有引力作用，衛(wèi)星和地球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能保持不變.

2. 衛(wèi)星繞著地球做圓軌道運(yùn)動(dòng)：離地球越遠(yuǎn)，速度越小，如果質(zhì)量不變，則動(dòng)能越??；衛(wèi)星要進(jìn)入更高的軌道，需要助推器點(diǎn)火助推，因此機(jī)械能增加，同時(shí)克服萬有引力做功，引力勢能增加.

正確理解和掌握以上兩種模型和兩個(gè)關(guān)系，就能輕輕松松解決以萬有引力與航天為考點(diǎn)的高考試題，下面就以2011年高考部分試題為例加以分析說明.

■ 例1（江蘇卷）一行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng). 由天文觀測可得，其運(yùn)行周期為T，速度為v. 引力常量為G，則（）

A. 恒星的質(zhì)量為■

B. 行星的質(zhì)量為■

C. 行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為■

D. 行星運(yùn)動(dòng)的加速度為■

■ 解析當(dāng)衛(wèi)星在圓形軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力充當(dāng)向心力，即

G■=m■

G■=m（■）2r，

可得恒星的質(zhì)量為■，行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為■，A、C正確. 又因?yàn)閍=■=vw，可求a=■，D正確.

■ 例2（全國卷）我國“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星發(fā)射后，先在“24小時(shí)軌道”上繞地球運(yùn)行（即繞地球一圈需要24小時(shí)）；然后，經(jīng)過兩次變軌依次到達(dá)“48小時(shí)軌道”和“72小時(shí)軌道”；最后奔向月球. 如果按圓形軌道計(jì)算，并忽略衛(wèi)星質(zhì)量的變化，則在每次變軌完成后與變軌前相比（）

A. 衛(wèi)星動(dòng)能增大，引力勢能減小

B. 衛(wèi)星動(dòng)能增大，引力勢能增大

C. 衛(wèi)星動(dòng)能減小，引力勢能減小

D. 衛(wèi)星動(dòng)能減小，引力勢能增大

■ 解析當(dāng)衛(wèi)星在圓形軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力充當(dāng)向心力，即

G■=m（■）2r，得

T=2π■，周期越大，軌道半徑越大，因此衛(wèi)星動(dòng)能減小，引力勢能增大，D正確.

■ 例3（海南物理卷）2011年4月10日，我國成功發(fā)射第8顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星. 建成以后北斗導(dǎo)航系統(tǒng)將包含多顆地球同步衛(wèi)星，這有助于減少我國對(duì)GPS導(dǎo)航系統(tǒng)的依賴. GPS由運(yùn)行周期為12小時(shí)的衛(wèi)星群組成. 設(shè)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)的同步衛(wèi)星和GPS導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道半徑分別為R1和R2，向心加速度分別為a1和a2，則R1 ∶ R2=______，a1 ∶ a2=________. （可用根式表示）

■ 解析同步衛(wèi)星周期為T1=24 h，由G■=m（■）2r可得■=■，代入數(shù)據(jù)得■=■，由G■=ma可得a=G■，代入數(shù)據(jù)得■=■=■.

以上三個(gè)例題用到了兩種模型和兩個(gè)關(guān)系中的部分，在2011年高考物理中，四川、山東、天津、廣東、重慶、北京都有萬有引力和航天知識(shí)點(diǎn)的考題，利用以上方法也可以輕松解決. 萬有引力和航天是當(dāng)今世界的前沿科學(xué)與熱點(diǎn)，因此也成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，相信這個(gè)熱點(diǎn)還是會(huì)持續(xù)下去.