對(duì)機(jī)械能守恒定律的解讀

王剛

機(jī)械能守恒定律是屬于高中物理的主干知識(shí)之一，也是每年高考必考內(nèi)容. 它是能量守恒定律的特例，在只有重力或彈力做功的條件下，系統(tǒng)內(nèi)的動(dòng)能和勢(shì)能（重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能）相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能總量保持不變. 可從兩個(gè)角度理解：（1） E初=E末（即ΔE=0），系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變，體現(xiàn)的物理意義是：初狀態(tài)機(jī)械能=末狀態(tài)機(jī)械能；（2） ΔEk=-ΔEp，即在系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)能的增加來(lái)源于勢(shì)能的減少（或勢(shì)能的增加來(lái)源于動(dòng)能的減少），體現(xiàn)的物理意義是：“變”與“不變”的統(tǒng)一構(gòu)成了“守恒”，即機(jī)械能守恒是動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化的動(dòng)態(tài)過(guò)程. 除深入理解上述兩點(diǎn)外，還應(yīng)把握：條件性、系統(tǒng)性、相對(duì)性. 這是靈活運(yùn)用機(jī)械能守恒定律的關(guān)鍵.

1. 條件性充分理解“只有重力或彈力做功”的含義：（1） 對(duì)某一個(gè)物體系統(tǒng)（這是指一個(gè)物體和地球、彈簧組成的系統(tǒng)），只有重力或彈簧彈力做功，其它力不做功或做功的代數(shù)和為零. （2） 對(duì)多物體系統(tǒng)（包括地球、彈簧），系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈力做功，其它內(nèi)力和外力不做功或做功的代數(shù)和為零. 但有時(shí)多物體系統(tǒng)內(nèi)力（非重力，彈力）確實(shí)做功（有正功，負(fù)功），其功的值不易判斷，這時(shí)可用能量守恒加以判斷，系統(tǒng)除了動(dòng)能和勢(shì)能外，看看是否有其它形式能產(chǎn)生，若有其它形式能產(chǎn)生則系統(tǒng)機(jī)械能就不守恒，反之則守恒. 所以，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解答問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷系統(tǒng)守恒的條件性.

■ 例1如圖1所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)硬棒的底端和中點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A、B，為使輕質(zhì)硬棒能繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)，求：A小球在圖示位置應(yīng)具有的最小速度？

■ 解析雖桿對(duì)兩小球分別都做了功（功值難判斷），但因系統(tǒng)除機(jī)械能外，沒(méi)有其它形式的能產(chǎn)生，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒. 因?yàn)樾∏蜣D(zhuǎn)到最高點(diǎn)的最小速度為0，且最低點(diǎn)時(shí)，vB=vA/2，設(shè)最低點(diǎn)A球最小速度為v，有：

■mv2+■m■2=mgL+mg×2L

得：v=■=■

2. 系統(tǒng)性勢(shì)能是系統(tǒng)的概念，只有系統(tǒng)才具有勢(shì)能，而且存在于保守力場(chǎng)中，如：重力勢(shì)能（屬于地球和物體系統(tǒng)所有）、彈簧的彈性勢(shì)能（屬于彈簧和與之連接的物體所組成的系統(tǒng)所有）、靜電場(chǎng)中的電勢(shì)能（屬于電場(chǎng)和電荷系統(tǒng)所有）、分子勢(shì)能（屬于相互作用的分子系統(tǒng)），例1中系統(tǒng)的機(jī)械能即為兩球的動(dòng)能與重力勢(shì)能的總和. 多物體系統(tǒng)的機(jī)械能守恒表達(dá)式，常常用ΔE=0，更簡(jiǎn)單明了.

■ 例2如圖2所示，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài). 一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤. 開(kāi)始時(shí)各段繩都為伸直狀態(tài)，A上方的一段沿豎直方向. 現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C，由靜止釋放C，A上升，最后B剛要離開(kāi)地面，但沒(méi)有向上運(yùn)動(dòng). 若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為（m1+m3）的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g.

■ 解析開(kāi)始時(shí)，B靜止，設(shè)彈簧的壓縮量為x1，則

kx1=m1g

掛C后，當(dāng)B剛要離地時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為x2，有

kx2=m2g

此時(shí)，A和C速度均為零. 從掛C到此時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，彈簧彈性勢(shì)能的改變量為ΔEp

ΔEp-m3g（x1+x2）+m1g（x1+x2）=0

將C換成D后，有

ΔEp+■（m1+m3+m1）v2-（m1+m3）g（x1+x2）+m1g（x1+x2）=0

聯(lián)立以上各式可以解得

v=■

3. 相對(duì)性機(jī)械能包含動(dòng)能和勢(shì)能，Ek=■mv2中涉及到參考系的選擇，這里只能選慣性參考系. Ep=mgh中涉及到零勢(shì)能位置（參考平面）的選取，（彈性勢(shì)能的零勢(shì)能位置為彈簧的原長(zhǎng)處），因此相對(duì)于不同的參考系和零勢(shì)能面描述的結(jié)果不相同，涉及多個(gè)物體組成的系統(tǒng)或發(fā)生多個(gè)物理過(guò)程，要選取統(tǒng)一的慣性參考系和零勢(shì)能面.

■ 例3如圖3所示，將質(zhì)量均為m、厚度不計(jì)的兩物塊A、B用輕質(zhì)彈簧相連接. 第一次只用手托著B(niǎo)物塊于H高度，A在彈簧彈力的作用下處于靜止，現(xiàn)將彈簧鎖定，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為Ep，現(xiàn)由靜止釋放A、B，B物塊剛要著地前瞬間彈簧瞬間自動(dòng)解除鎖定（解除鎖定無(wú)機(jī)械能損失），B物塊著地后速度立即變?yōu)?，在隨后的過(guò)程中B物塊恰能離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升. 第二次用手拿著A、B兩物塊，使得彈簧豎直并處于原長(zhǎng)狀態(tài)，此時(shí)物塊B離地面的距離也為H，然后由靜止同時(shí)釋放A、B，B物塊著地后速度同樣立即變?yōu)?. 求：

（1） 第二次釋放A、B后，A上升至彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)的速度v1.

（2） 第二次釋放A、B后，B剛要離地時(shí)A的速度v2.

■ 解析（1） 第二次釋放A、B后，A、B做自由落體運(yùn)動(dòng)，B著地后，A和彈簧相互作用至A上升到彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程中，彈簧對(duì)A做的總功為零.

對(duì)A從開(kāi)始下落至彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程，對(duì)A由機(jī)械能定律有mgH=■mv21

解得v1=■方向向上.

（2） 設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，第一次釋放AB前，彈簧向上產(chǎn)生的彈力與A的重力平衡.

設(shè)彈簧的形變量（壓縮）為Δx2，有Δx2=■

第一次釋放AB后，B剛要離地時(shí)彈簧產(chǎn)生向上的彈力與B的重力平衡

設(shè)彈簧的形變量（伸長(zhǎng)）為Δx2，有Δx2=■

第二次釋放AB后，在B剛要離地時(shí)彈簧產(chǎn)生向上的彈力與B的重力平衡

設(shè)彈簧的形變量（伸長(zhǎng)）為Δx3，有Δx3=■

由上得：Δx2=Δx2=Δx3

即這三個(gè)狀態(tài)，彈簧的彈性勢(shì)能都為Ep.

在第一次釋放AB后至B著地前過(guò)程，對(duì)A、B和彈簧組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒有

2mgH=■×2mv2

從B著地后到B剛要離地的過(guò)程，對(duì)A和彈簧組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒有

■mv2+Ep=mg（Δx1+Δx2）+Ep

第二次釋放后，對(duì)A和彈簧系統(tǒng)，從A上升至彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)到B剛要離地過(guò)程，由機(jī)械能守恒有■mv21=mgΔx3+Ep+■mv22

由以上得：v2=■.