淺析定積分常見錯誤

毛仁義 鄒同儉

1. 定義應用中的錯誤

例1用定義法求[02x3dx]的值.

錯解第一步——分割：把區(qū)間[0，2] 分成[2n]等分，則[△x＝1n]．

第二步——近似代替：[ΔSi=fξiΔx=in3?Δx.]

第三步——求和：[1nΔSi=1nin3?1n.]

第四步——取極限：[S=][limx→∞][1n4?14n2?n+12=14.]

∴ [02x3dx]=[14]．

分析用定義法求積分可分四步：分割，近似代替，求和，取極限．這里認為教材中區(qū)間為[0，1]時將區(qū)間分成[n]等分，本題是[0，2]因此要分成[2n]等分，沒有理解定義，同時解題跨步太大.

正解第一步——分割：

把區(qū)間[0，2] 分成[n]等分，則[△x=2n]．

第二步——近似代替：

△[Si=f(ξi)Δx=2in3Δx]

第三步——求和：

[i=1nΔSi≈i=1n2in3Δx][=i=1n2in3·2n].

第四步——取極限：

[S=limn→∞2n2n3+4n3+?+2nn3]

[=limn→∞24n413+23+?+n3=limn→∞[24n4×14n2(n+1)2]]

[=limn→∞4(n2+2n+1)n2]=4．

∴[02x3dx]=4.

點撥本題運用微積分的基本定義法來求非常簡單．一般地，其它方法計算定積分比較困難時，用定義法，應注意把區(qū)間[n]等分，同時注意其四個步驟中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是求和，體現(xiàn)的思想方法是先分后合，以直代曲．

2. 微積分基本定理中的錯誤

例2求下列定積分的值：（1）[12(x2+2x+1)dx]；（2）[12lnxdx]；（3）[033dx].

錯解（1）[12(x2+2x+1)dx]

=[2x+221=4+2-4=2].

（2）[12lnxdx=1x+c21=-12].

（3）[033dx=0].

分析沒理解微積分基本定理中[Fx=fx].

正解（1）函數(shù)[y＝x2+2x+1]的一個原函數(shù)是[y＝x33+x2+x]．

所以[12(x2+2x+1)dx]＝[(x33+x2+x)21]

[=83+4+2-13+1+1]=[193]．

（2）（3）略.

點撥運用微積分基本定理計算定積分的關(guān)鍵是找到滿足[Fx=fx]的被積函數(shù)的原函數(shù)[F(x)].常數(shù)的原函數(shù)是一次函數(shù).

3. 幾何意義應用中的錯誤

例3（1）求由曲線[y=x3]與直線 [x=-1]，[x=2]及[x]軸所圍成的平面圖形的面積．

（2）求定積分[12|3-2x|dx].

錯解（1）如圖可得[A=-12x3dx=14x42-1=154].

（2）當[1≤x≤32]時，

[12|3-2x|dx=12(3-2x)dx=(3x-x2)21=0].

當[32

[12|3-2x|dx=12(3-2x)dx=-6.]

故所求值為0或-6.

分析（1）幾何問題中圖形位于[x]軸下方時，定積分為負值，要通過取絕對值將其變?yōu)檎涤嬎? （2）去絕對值后，沒有在對應區(qū)間求值.

正解（1）[A=-12x3dx=-10-x3dx+02x3dx=174.]

（2）[12(3-2x)dx=132(3-2x)dx+322(2x-3)dx]

[=3x-x2321+x2-3x232=12].

點撥（1）若圖形中有[x]軸下方部分，要適當分區(qū)間考慮，通過取絕對值將其變?yōu)檎?；?）若被積函數(shù)是分段函數(shù)，當分段點在積分區(qū)間內(nèi)時，計算定積分要注意定積分對應區(qū)間的可加性.

4. 性質(zhì)應用中的錯誤

例4計算定積分[024-2x4-x2dx]

錯解[024-2x4-x2dx]

[=024-2xdx×024-x2dx]

[=4x-x220×4x-13x320=643].

分析誤用性質(zhì)公式，性質(zhì)公式中只有和（差）的積分等于積分的和（差），沒有積的積分等于積分的積.

正解[024-2x4-x2dx]

[=0216-8x-4x2+2x3dx=403.]

例5求下列定積分：（1）[-π4π4tanxdx]；（2）[-ππx2sinxx2+1dx]．

主要問題對這類題因原函數(shù)很難找到，我們很難通過微積分的基本定理求解.

分析對于（1）用微積分的基本定理可以解決，而（2）的原函數(shù)很難找到，若運用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間的積分性質(zhì)，則能迎刃而解．

解由被積函數(shù)[tanx]及[x2sinxx2+1]是奇函數(shù)，所以在對稱區(qū)間的積分值均為零．

所以（1）[-π4π4tanxdx]＝0.

（2）[-ππx2sinxx2+1dx]＝0．

點撥（1）只有正確地理解性質(zhì)，才能掌握其特征，從而正確地運用性質(zhì)與公式解題.（2）一般地，若[f(x)]在[[－a，a]]上連續(xù)，則有性質(zhì)：①當[f(x)]為偶函數(shù)時，[-aaf(x)dx]＝2[0af(x)dx]；②當[f(x)]為奇函數(shù)時，[-aaf(x)dx]＝0．

5. 換元計算中錯誤

例6計算[0aa2-x2dxa>0].

錯解設[x=asint,dx=acostdt]，則有

[0aa2-x2dx=0aacost?acostdt]

[=a22t+12sin2ta0][=a22a+12sin2a].

分析自變量換元后對應角沒有相應的變換.

正解設[x=asint,dx=acostdt]，

當[x=0]時,[t=0],當[x=a]時,[t=π2],

[0aa2-x2dx=0π2acost?acostdt]

[=a22t+12sin2tπ20][=π4a2].

點撥應用定積分的換元積分法計算定積分時，省略了將新積分變量還原為原積分變量的步驟，但要注意換元的同時要換積分限.另外，求定積分時，除了防止出現(xiàn)上面各類問題外，還要防止出現(xiàn)計算中的錯誤，如：[12x-12xdx=12x2-1xdx=12(x-1x)dx=(x2-lnx)21][=3-ln2].

6. 實際應用出錯

定積分可以用來解決平面幾何中的面積問題．其實，除幾何方面外，定積分在工程、物理等方面的應用也極其廣泛，可以用來處理變速直線運動的路程和速度問題，也可以用來解決變力做功的問題等．

例7模擬火箭自靜止開始豎直向上發(fā)射，設起動時即有最大加速度，以此時為起點，加速度滿足[a(t)=100-4t2]，求火箭前[5s]內(nèi)的位移．

錯解由題設知，

[s(5)=05a(t)dt=][05(100-4t2)dt]

[=(100t-43t3)50=][100×5-43×53=10003]，

即火箭前[5s]內(nèi)的位移為[10003]．

分析錯誤的原因在于對實際應用中的相關(guān)問題理解不夠透徹，關(guān)系混淆．變速直線運動的路程問題的一般解法：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程[s]，等于其速度函數(shù)[v=v(t) (v(t)≥0)]在時間區(qū)間[[a，b]]上的定積分，即[s= a bv(t)dt]．而變速直線運動的速度問題的一般解法：作變速直線運動的物體所具有的速度[v]，等于其加速度函數(shù)[a=a(t)]在時間區(qū)間[[a，b]]上的定積分，即[V= a ba(t)dt].

正解由題設知，[t=t0=0]，[v(0)=0]，[s(0)=0]，

所以[v(t)=0t(100-4t2)dt=100t-43t3]，

那么[s(5)=05v(t)dt=05(100t-43t3)dt]

[=(50t2-13t4)50=31253].

即火箭前[5s]內(nèi)的位移為[31253]．

點撥先通過定積分求解變速直線運動的物體所具有的速度函數(shù)[v(t)]，再根據(jù)已求的速度函數(shù)，通過定積分求解在對應時間的位移．

練習

1. 計算[0π2sinxcos2xdx].

2. 計算[-55x3sin2xx4+2x2+1dx].

3. 計算[023a2dx].

4. 若[0xf(t)dt=x24]，則[041xf(x)dx=].

A. 16 B. 8 C. 4D. 2

5. 求由函數(shù)[y=x]與[y=x]所圍成的圖形的面積.

答案

1. [14] 2. 03. [6a2]4. D5. [16]