例析定積分的簡單應(yīng)用

高愛莉

一、定積分在幾何中的應(yīng)用

定積分的幾何意義：在區(qū)間[a,b]上的曲線[y=f(x)]連續(xù)且恒有[f(x)≥0]，那么定積分[abf(x)dx]表示由直線[x=a,x=b,x]軸和曲線[y=f(x)]所圍成的曲邊梯形的面積.

1. 不分割圖形面積的求解

例1求由曲線[y=x]，直線[y＝x－2]及[y]軸所圍成的圖形的面積.

分析結(jié)合圖形，從圖中可以看出所求圖形面積可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)曲邊梯形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求面積[S].

解如圖，陰影部分面積即為所求，求得曲線[y=x]與直線[y＝x－2]的交點(diǎn)為[A(4,2)]，

∴[S陰＝04(x－x＋2)dx=(23x32-12x2+2x)40][=163].

2. 分割圖形面積的求解

例2計(jì)算由直線[y=4]，曲線[y=4x]及直線[y=x]所圍成的封閉圖形的面積.

分析結(jié)合圖形，從圖中可以看出所求圖形面積可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)曲邊梯形的面積的和，進(jìn)而可以用定積分知識求面積[S].

解由[y=4y=4x]得[A(1,4)]； 由[y=4xy=x]得[B(2,2)]； 由[y=4y=x]得[C(4,4)].

從而所求的圖形面積為

[S=12(4-4x)dx+24(4-x)dx]

[=(4x-4lnx)21+(4x-x22)42=6-4ln2].

點(diǎn)撥求曲線圍成的平面圖形的面積的解題步驟：（1）畫出圖形，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形（如例題2）；(2)確定圖形范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，定出積分的上、下限；（3）確定被積函數(shù)，要特別注意被積函數(shù)的上、下位置；（4）寫出平面圖形的定積分表達(dá)式；（5）運(yùn)用微積分基本公式計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積.

二、定積分在物理中的應(yīng)用

1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程[s]，等于其速度函數(shù)[v=v(t)(v(t)]≥0)在時(shí)間區(qū)間[[a，b]]上的定積分，即[s=abv(t)dt].

例3一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度[v(t)=5-t+551+t](單位:m/s)緊急剎車至停止，求（1）火車從開始緊急剎車到完全停止所經(jīng)過的時(shí)間；（2）緊急剎車后，火車運(yùn)行的路程.

分析火車停止即速度為零，火車運(yùn)行的路程即為速度函數(shù)在這一時(shí)間段上的定積分.

解（1）火車停止時(shí)，[v(t)=0]，

所以[5-t+551+t=0]，解得[t=10].

即火車從開始緊急剎車到完全停止所經(jīng)過的時(shí)間為10秒.

（2）緊急剎車后，火車運(yùn)行的路程

[s=010v(t)dt=010(5-t+551+t)dt]

[=5t-12t2+55ln(1+t)100=55ln11m]

答: 緊急剎車后，火車運(yùn)行的路程為[55ln11]米.

點(diǎn)撥路程是位移的絕對值，從時(shí)刻[t=a]到[t=b]所經(jīng)過的路程:

（1）若[v(t)≥0,s=abv(t)dt;]

（2）若[v(t)≤0,s=-abv(t)dt;]

（3）若在區(qū)間[a,c]上[v(t)≥0,]在區(qū)間[c,b]上[v(t)<0]，則[s=acv(t)dt-cbv(t)dt.]

2. 變力做功

一物體在變力[F(x)]（單位：N）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與[F]相同的方向從[x=a]移動(dòng)到[x=b][(a

例4 一物體按規(guī)律[x=bt3]做直線運(yùn)動(dòng)，式中[x]為時(shí)間[t]內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比（比例系數(shù)為正實(shí)數(shù)[k]），試求物體由[x=0]運(yùn)動(dòng)到[x=a]時(shí)，阻力做的功．

分析本題的關(guān)鍵是找到阻力的函數(shù)解析式，所以首先要找到物體的運(yùn)動(dòng)速度. 結(jié)合導(dǎo)數(shù)的物理意義，物體的運(yùn)動(dòng)速度等于物體的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入題意即得到阻力做的功.

解由題意知：物體的位移函數(shù)為[v(t)=bt3]，

∴速度函數(shù)為[v(t)=x(t)=3bt2].

媒質(zhì)阻力[f阻=k?v2(t)=9kb2t4]，又[t=(xb)13]，

[∴f阻=9kb2t4=9kb2(xb)43=9kb23x43].

∴阻力做的功是

[W阻=0af阻dx=0a9kb23x43dx]

[=9kb23(37x73)a0=277kb23a23].

點(diǎn)撥求變力做功的方法（1）求變力做功，要根據(jù)物理學(xué)的實(shí)際意義，求出變力[F]的表達(dá)式，這是求功的關(guān)鍵. （2）由功的物理意義知，物體在變力[F(x)]的作用下，沿力[F]的方向做直線運(yùn)動(dòng)，使物體從[x=a]到[x=b][(a

練習(xí)

1. 由曲線[y＝x2＋1]，[x＋y＝3]及[x]軸、[y]軸所圍成的區(qū)域的面積為.

2. 函數(shù)[f(x)＝x+1 (-1≤x<0),cosx (0≤x≤π2),]的圖象與[x]軸所圍成的封閉圖形的面積為（ ）

A. [32]B. 1 C．2 D. [12]

3. 已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率[v=gt]，則落體運(yùn)動(dòng)從[t=0]到[t=t0]所走的路程為（ ）

A．[gt203]B．[gt20] C．[gt202]D．[gt206]

4. 如果1N能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，需做功（ ）

A．0.18J B．0.26J

C．0.12J D．0.28J

答案

1. [103]2. A3. C4. A