微積分基本定理的解讀與活用

王勇 龔俊峰

⊙襄陽(yáng)一中一般地，如果[fx]是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且[Fx=fx]，那么[abfxdx=Fb-Fa].這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.為了方便，我們常常把[Fb-Fa]記成[Fxba]，即[abfxdx=Fxba=Fb-Fa].

一、對(duì)微積分基本定理的解讀

1. 根據(jù)定積分的定義求定積分，往往比較困難，而利用上述定理求定積分比較方便.

2. 利用微積分基本定理計(jì)算定積分[abfxdx]的關(guān)鍵是找到滿足[Fx=fx]的函數(shù)[Fx].通常，我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出[Fx].

3. 在微積分基本定理中，函數(shù)[Fx]叫做函數(shù)[fx]在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).因?yàn)閇[Fx+c]=Fx]（其中[c]為任意常數(shù)），所以[Fx+c]也是函數(shù)[fx]的原函數(shù).求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算.

二、微積分基本定理的活用

1. 計(jì)算定積分

例1計(jì)算定積分：[0π2sin2x2dx].

分析利用定積分的性質(zhì)及微積分基本定理求定積分時(shí)，有時(shí)需先化簡(jiǎn)，再求積分.

解[0π2sin2x2dx=0π21-cosx2dx]

[=0π212dx-0π2cosx2dx]

[=12xπ20-12sinxπ20=12π2-0-12sinπ2-sin0]

[=π4-12=π-24].

點(diǎn)撥本題先利用降冪公式對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行降冪后，再利用定積分的性質(zhì)及微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算.

例2計(jì)算定積分：[-332x+3+3-2xdx].

分析這類定積分不能直接積分，也不能換元轉(zhuǎn)化，只能變換被積函數(shù)去掉其中的絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)用定積分的性質(zhì)，分區(qū)間討論.

解 設(shè)[y=2x+3+3-2x=-4x x≤-32,6-32

[∴-332x+3+3-2xdx]

[=-3-32-4xdx+-32326dx+3234xdx]

[=-2x2-32-3+6x32-32+2x2332]

[=-2×-322--2×-32+6×32]

[-6×-32+2×32-2×322=45.]

點(diǎn)撥對(duì)于分段函數(shù)的定積分，可利用定積分的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為各個(gè)小區(qū)間上的定積分的和.

2. 研究定積分中的參數(shù)問(wèn)題

例3已知[f(x)=ax2+bx+c(a≠0)]，且[f(-1)=2]，[f(0)=0]，[01f(x)dx=-2]，求[a]、[b]、[c]的值.

分析根據(jù)三個(gè)條件列出三個(gè)方程，解方程組即可求出[a]、[b]、[c]的值．

解由[f(-1)=2]得，[a-b+c=2].①

又[f(x)=2ax+b]，∴[f(0)=b=0].②

而[01f(x)dx=01(ax2+bx+c)dx]

[=(13ax3+12bx2+cx)10][=13a+12b+c=-2]．③

聯(lián)立①②③，解得[a=6]，[b=0]，[c=-4]．

點(diǎn)撥本題主要考查函數(shù)知識(shí)間的聯(lián)系，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)、定積分等基本運(yùn)算能力．解答本題的方法是：根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，通過(guò)解方程組求[a]、[b]、[c]的值．

例4 設(shè)[fx=ax+b]，且[-11[fx]2dx=1]，求[fa]的取值范圍.

解析由[-11[fx]2dx=1]可知，

[-11ax+b2dx=-11a2x2+2abx+b2dx]

[=a23x3+abx2+b2x1-1=1].

即[2a2+6b2=3]且[-22≤b≤22].

于是[fa=a2+b=-3b2+b+32=-3b-162][+1912]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象知，[-22≤fa≤1912].

故[fa]的取值范圍為[-22,1912].

點(diǎn)撥先由[-11fx2dx=1]得到[2a2+6b2=3]，再由[2a2+6b2=3]得到[b]的取值范圍，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于[b]的二次函數(shù)的值域問(wèn)題，注意定義域?yàn)閇-22,22].

3. 求曲邊梯形的面積

例5由曲線[y=x2]和直線[x=0]，[x=1]，[y=t2]，[t∈(0,1)]所圍成圖形（如圖陰影部分）面積的最小值為（ ）

A．[14] B．[13] C．[12] D．[23]

解析[S=S1+S2=0t(t2-x2)dx+t1(x2-t2)dx]

[=(t2x-13x3)t0+(13x3-t2x)1t]

[=t3-13t3+13-t2-13t3+t3]

[=43t3-t2+13(0

由[S=4t2-2t=0]，解得[t=12]或[t=0]（舍去）．

當(dāng)[t]變化時(shí)，[S]、[S]的變化情況如下表：

[[t]&[(0,12)]&[12]&[(12,1)]&[S]&-&[0]&[+]&[S]&↘&極小值[14]&↗&]

∴當(dāng)[t=12]時(shí)，[S]取得極小值[14]，此極小值就是[S]的最小值，[Smin=14]．故選A．

點(diǎn)撥本題利用定積分的幾何意義、定積分的性質(zhì)和微積分基本定理求出[S=43t3-t2+13(0

例6如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形[AOBC]內(nèi)，曲線[y=x2]和曲線[y=x]圍成一個(gè)葉形圖（如圖中陰影部分），向正方形[AOBC]內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在正方形[AOBC]內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是（ ）

A．[12]B．[13]C．[14] D．[16]

解析全部事件的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積為[S=1]，陰影部分的面積為[S0=01(x-x2)dx][=(23x32-13x3)10=13]，所以，所投點(diǎn)落在葉形區(qū)域內(nèi)的概率為[13]．故選B．

點(diǎn)撥本題是定積分與幾何概型的交匯綜合題，題目設(shè)計(jì)得小巧玲瓏、韻味十足，體現(xiàn)了高考“出活題、考能力”的基本要求．

4. 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

例7一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其[v-t]曲線如圖所示，求該物體在[12s~6s]間的運(yùn)動(dòng)路程．

分析由圖可以看出物體在[0≤t<1]時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，[1≤t<3]時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，[3≤t≤6]時(shí)也做加速運(yùn)動(dòng)，但加速度不同，也就是說(shuō)[0≤t≤6]時(shí)，[v(t)]為一個(gè)分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出該物體在[12s~6s]間的運(yùn)動(dòng)路程．

解析[v(t)=2t?????(0≤t<1),2????(1≤t<3),13t+1??(3≤t≤6).]由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式可得，

[s=126v(t)dt=1212tdt+132dt+36(13t+1)dt]

[=t2112+2t31+(16t2+t)63=494m．]

所以物體在[12s~6s]間的運(yùn)動(dòng)路程是[494m]．

點(diǎn)撥用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與路程問(wèn)題時(shí)，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是關(guān)鍵．做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程[s]，等于其速度函數(shù)[v=v(t)(v(t)≥0)]在時(shí)間區(qū)間[[a,b]]上的定積分．因此，利用微積分基本定理求出[s=abv(t)dt]．而變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時(shí)要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段分別求．

5. 求變力所做的功

例8如圖所示，一物體沿斜面在拉力[F]的作用下由[A]經(jīng)[B]，[C]運(yùn)動(dòng)到[D]，其中[AB=50m]，[BC=40m]，[CD=30m]，變力[F=14x+5?(0≤x≤90),20??(90

分析從[A→B→C]是變力且力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向不一致，故應(yīng)先求出變力[F]在運(yùn)動(dòng)方向上的分力，從[C→D]是恒力且力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致．

解析在[AB]段運(yùn)動(dòng)時(shí)[F]在運(yùn)動(dòng)方向上的分力[F1=Fcos30°]，在[BC]段運(yùn)動(dòng)時(shí)[F]在運(yùn)動(dòng)方向上的分力[F2=Fcos45°]．

由變力做功公式得，

[W=050(14x+5)cos30°dx+5090(14x+5)cos45°dx]

[+20×30]

[=38(12x2+20x)500+28(12x2+20x)9050+600]

[=112534+4502+600≈1724J]．

點(diǎn)撥解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵應(yīng)弄清做功的力是恒力還是變力，而且要弄清力與物體的運(yùn)動(dòng)方向是否一致．