例談數(shù)學解題的反思

徐月季

解題反思是一種對解題活動的“再認識”，屬于解題活動的“元認知”.它是對解題活動的深層次再思考.它不僅僅是對數(shù)學解題學習的一般性回顧或重復，而且更是探究數(shù)學解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，具有探究性、批判性、自主性。

著名數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中將數(shù)學解題劃分為4個階段：弄清問題—擬定計劃—實現(xiàn)計劃—回顧這個過程中的“回顧”就是解題反思，是對整個解題活動的深層次思考，是再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程。

美籍匈牙利數(shù)學家喬治?波利亞說過：“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”，“你能否用別的方法導出這個結(jié)果？你能不能把這個結(jié)果或方法用于其他的問題？”由此可見，解題過程中的反思不僅能鞏固所學知識，而且能提高學生總結(jié)、歸納、概括、綜合問題的意識和能力。因此數(shù)學教師平時應注重自己的解題反思。本文將結(jié)合具體案例淺談教師的解題反思。

反思屬元認知范疇，反思能力屬元認知能力．從思維的角度看，它主要反映思維的批判性品質(zhì)．一般認為，思維的深刻性品質(zhì)是一切思維品質(zhì)的基礎，數(shù)學思維水平的差異主要地體現(xiàn)在思維深刻性品質(zhì)的差異上．因此，發(fā)展數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)主要地就是要發(fā)展數(shù)學思維的深刻性品質(zhì)．

案例一：已知實數(shù)a，b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，則t的取值范圍是______

解1：由a2+ab+b2=1，ab-a2-b2=t，得ab=

又(a+b)2=a2+ab+b2+ab=1+ab=≥0，

∴t≥-3，且a+b=?

于是，a，b是關于x的方程x2眡+=0的兩個實數(shù)根．

∴ =-2(t+1)=-t-≥0即t≤-

綜上，t的取值范圍是-3≤t≤-。

反思：這一解法沿用了“據(jù)韋達定理構造方程”的解題模式．該模式的一般程序是：據(jù)條件a，b∈R.構造以a，b為根的一元二次方程x2-p（t）x+q（t）=0．則其判別式D=p2（t）-4q（t）≥0．據(jù)此即可求解。

事實上，由于p2（t）-4q（t）=（a+b)2-4ab=（a-b)2≥0。這即表明，構造方程并非實質(zhì)步驟，甚至有掩蓋實質(zhì)的嫌疑。

基于這樣的認識，我們可以用下面的方法來解答例1：

解2：由，得

再由（a眀)2=a2+b2?ab≥0（或2|ab|≤a2+b2)，

得

解得t的取值范圍是-3≤t≤-。

兩相對比，易見“解2”更自然，更簡潔，也更實質(zhì)．這里，“反思”讓我們不但簡化了解法，而且領悟了“經(jīng)典模式”的實質(zhì)。

我們認為，數(shù)學思維的深刻性品質(zhì)不但與個體的數(shù)學知識、數(shù)學經(jīng)驗（包括數(shù)學活動經(jīng)驗及創(chuàng)造性數(shù)學活動經(jīng)驗）及數(shù)學直覺等密切相關，而且與思維的批判性品質(zhì)密切相關．特別是，對于確定的個體，其數(shù)學知識、經(jīng)驗、直覺等在確定的時刻是相對穩(wěn)定的，此時，思維的批判性品質(zhì)往往起著決定性的作用！

案例二：設二次方程anx2-an+1x+1=0.(n∈N*）有兩根 和 ，且滿足6 -2+6 =3

（1）試用an表示an+1；

（2）求證：數(shù)列{an-}是等比數(shù)列

解：（1）根據(jù)韋達定理，得 + =，=，由6 -2+6 =3

得：6-=3，故an+1=an+

（2）===

故{an-}為等比數(shù)列

反思：在遞推公式的背景下求數(shù)列的通項，實際上是將非等差、非等比的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列求解。而本題中，屬于an+1=pan+q(p≠1或q≠0）模型。即構造數(shù)列為等比數(shù)列{an+c}為等比數(shù)列。

an+1+c=p(an+c)，∴an+1=pan+pc-c，即pc-c=q，∴c=。進一步明確這模型為an+1=pan+pn，可化為=+，即數(shù)列{}為等差數(shù)列。

將此模型進一步推廣到an+1=pan+qn，可化為=+，再轉(zhuǎn)化為+c=(+c)，即數(shù)列{+c}為等比數(shù)列。

解題反思，有助于教師能對題目進行本質(zhì)的理解，只有通過對本質(zhì)的理解，才能更好地將知識傳授給學生。只有這樣，才能提高教師的課堂掌控能力。解題反思，讓我們清楚，教師不是僅僅是在解題，而是應該花更多的時間在反思上，反思一題多解，反思多種解法中的最優(yōu)解，反思一題多變，反思如何從一個問題的解決到一類問題的解決，本例就是從一個問題的解決推廣到一類問題解決的典型案例。

教師是學生數(shù)學活動的組織者、引導者與合作者。只有在教師在教學過程中不斷反思，才能提高個人教學能力和業(yè)務水平，才可以使學生在知識的發(fā)生和發(fā)展中領會數(shù)學的真諦，讓學生從有意義的數(shù)學活動中，激發(fā)其好奇心，讓學生獲得發(fā)展。這正是當今數(shù)學教學努力追求的較高境界，這也是我們數(shù)學教師的最終目標。

（責任編輯 若曦）