數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中常用的解題策略

陳志遠(yuǎn)

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟。波利亞也有一句名言：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”他強(qiáng)調(diào)指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練.”在掌握數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)上進(jìn)行解題訓(xùn)練，形成解題技能，將解題技能、方法，乃至于經(jīng)驗(yàn)在理性層面上進(jìn)行概括，便形成解題策略。解題策略一旦形成，就可對(duì)新情境下的數(shù)學(xué)問題的解題途徑作出總體性的、方向性的決策，從而有利于解題順利進(jìn)行。

一、問題的構(gòu)建

數(shù)學(xué)的真正部分是問題和問題的解決，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。在課堂教學(xué)中如何營(yíng)造問題氛圍，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入教學(xué)活動(dòng)，一起參與對(duì)問題的分析、探究解題方法及其本質(zhì)等。直接關(guān)系到學(xué)生是否能充分發(fā)揮自己的創(chuàng)新思維能力和方式.

什么是“好問題”？“好問題”應(yīng)具有張奠宙教授在《數(shù)學(xué)素質(zhì)教育設(shè)計(jì)（草案）》中所提出的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：

①對(duì)學(xué)生來說不是常規(guī)的，不能靠簡(jiǎn)單的模仿來解決；

②可以是一種情景，其中隱含的數(shù)學(xué)問題要靠學(xué)生自己去提出、求解并作出解釋；

③具有趣味和魅力，能引起學(xué)生的思考和向?qū)W生提出智力挑戰(zhàn)；

④不一定有終極答案，各種不同水平的學(xué)生都可以由淺入深地作出回答；

⑤解決它往往需伴以個(gè)人或小組的數(shù)學(xué)活動(dòng).

但好問題不一定就是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，它甚至可以是一個(gè)很簡(jiǎn)單的、生活實(shí)踐中十分常見和答案顯而易見的問題，只要它透露著必要的數(shù)學(xué)思想和有一定的啟發(fā).

二、常見的策略簡(jiǎn)述

（一）定義法

概念與其定義是對(duì)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的描述和界定，因而是數(shù)學(xué)推理論證的邏輯基礎(chǔ)，對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題，如果從所涉及的數(shù)學(xué)概念的原始定義去考慮，往往能獲得題設(shè)信息所固有的本質(zhì)屬性，減少不必要的中間環(huán)節(jié)，達(dá)到準(zhǔn)確判斷、合理運(yùn)用、靈活解題的目的，在中學(xué)教材及高考試題中有著廣泛的應(yīng)用.

例1 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|x-a|+1,x∈R，求f（x）的最小值.

分析 因?yàn)楹瘮?shù)解析式中含有絕對(duì)值，利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，可將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最小值的問題.

解：（1）x≥a時(shí)，f（x）=x2+x-a+1=（x+）2-a+

若a≤-，則f（x）在[a,+∞）上的最小值為f（-）=-a；若a>-，則f（x）在[a,+∞）上單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（a）=a2+1.

（2）x≤時(shí)，f（x）=x2-x+a+1=（x-）2++a

若a≤，則f（x）在（-∞,a]上的最小值為f（a）=a2+1；若a>，則f（x）在（-∞,a]上的最小值為f（）=+a.

綜上，a≤-時(shí)，f（x）的最小值為-a；

a>時(shí)，f（x）的最小值為+a.

（二）特殊化與一般化

特殊化與一般化是相輔相成的辯證思維過程.

所謂特殊化，就是縮小研究對(duì)象的原有范圍或增加約束條件的思維方法，表現(xiàn)為一種“以退求進(jìn)”的解題策略。在解決一個(gè)較為抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以先考慮簡(jiǎn)單情形，特殊對(duì)象或極端情況，以尋找解決一般性問題的方向與途徑。華羅庚先生說過：“解題時(shí)要足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去”.總之，特殊化是從具體到抽象、從局部到整體的思維過程，可以提示解題方向，突現(xiàn)問題的切入點(diǎn).

所謂一般化，就是把研究對(duì)象或問題從原有范圍擴(kuò)展到更大范圍內(nèi)進(jìn)行考慮的思維方法，表現(xiàn)為一種“以進(jìn)求退”的解題策略。當(dāng)解決的問題是某個(gè)問題的特例，而這個(gè)一般性命題比較容易解決，甚至已有明確的結(jié)論時(shí)，我們可以利用整體來揭示局部，更為明確地表達(dá)問題的本質(zhì).

例2 設(shè)a1、a2、a3、a4、a5都是大于1的實(shí)數(shù)，證明：

16（a1a2a3a4a5+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）（1+a4）（1+a5）

分析：改證一般性命題：若a1、a2、a3、a4、a5都大于1，則n>2時(shí)，

2n-1（a1a2a3…an+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an），n=5時(shí)即為原命題.

證明：①n=2時(shí)，易證2（a1a2+1）>（1+a1）（1+a2）；

②設(shè)n≤k時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)，

2k（a1a2…akak+1+1）=2k-1[a1a2…（akak+1）+1]>2 （1+a1）（1+a2）…（1+ak-1）（1+akak+1）>（1+a1）（1+a2）…（1+ak-1）（1+ak）（1+ak+1）

即n=k+1時(shí)一般性命題成立；

綜上，一般性命題成立，從而n=5時(shí)命題成立

所以，當(dāng)a1、a2、a3、a4、a5大于1，則

16（a1a2a3a4a5+1）>（1+a1）（1+a2）（1+a3）（1+a4）（1+a5）

（三）利用對(duì)稱性

在數(shù)學(xué)解題過程中，利用對(duì)稱思想解題，一方面是利用題設(shè)中已有的對(duì)稱性，另一方面，還要善于利用題設(shè)條件創(chuàng)造對(duì)稱性。有了對(duì)稱性，就能使我們發(fā)現(xiàn)解題途徑，縮短解題過程，使復(fù)雜的問題得到較為方便的解法。高斯求和法就是利用對(duì)稱思想解題最典型的例子.

例3 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么不同排法共有多少種？

分析：本題若分類討論，較為繁瑣，換一個(gè)角度考慮問題，注意到有一個(gè)B站在A的右邊的排法，交換A、B的位置，就得到一個(gè)B站在A的左邊的排法；因此，在五人的全排列中，B站在A的右邊的排法與B站在A的左邊的排法數(shù)相等，依對(duì)稱性原則，所求排列數(shù)為A55=60.

例4 求（2+）2n+1展開式中x的整數(shù)次冪項(xiàng)系數(shù)之和；

分析 直接展開計(jì)算顯然不是最理想的方式，依據(jù)二項(xiàng)式定理的系數(shù)的性質(zhì)及共軛根式的對(duì)稱性，增設(shè)（2-）2n+1，配成完整式f（x）=（2+）2n+1+（2-）2n+1.

易見f（x）展開式中的非整數(shù)次冪項(xiàng)系數(shù)之和為0，x的整數(shù)次冪項(xiàng)系數(shù)之和為所求（2+）2n+1展開式中x的整數(shù)次冪項(xiàng)系數(shù)之和的2倍.故所求為f（x）=（32n+1+1）.

除了上述的三種策略之外，其他的策略還有利用圖形、正難則反（反證法）、函數(shù)思想等等.

三、幾點(diǎn)反思

解題策略的傳授與發(fā)現(xiàn)是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一環(huán)，關(guān)鍵在于教師在課堂教學(xué)中給學(xué)生主動(dòng)探究、自主學(xué)習(xí)的空間。因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高，不是通過教師講解或完全靠課本上的間接經(jīng)驗(yàn)達(dá)成的，而更多的是通過自己的探究和體驗(yàn)得來的，在探究和自主學(xué)習(xí)中，他們能夠形成多方面的能力和技能.

另一方面，教師應(yīng)當(dāng)營(yíng)造合作式學(xué)習(xí)環(huán)境，并鼓勵(lì)學(xué)生大膽用頓悟知覺去尋找問題解決的策略，鼓勵(lì)學(xué)生在進(jìn)行獨(dú)立探究和小組討論中積極參與對(duì)解題策略的評(píng)論和發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生自主創(chuàng)作，敢說，敢想，敢動(dòng)手操作，敢問，敢討論，鼓勵(lì)學(xué)生尋求多向、多維的交往形式，增加師生、生生之間的多維有效互動(dòng).

最后，激發(fā)學(xué)生多方面的思維和尋求民主和諧的課堂教學(xué)氣氛。我覺得民主和諧的課堂教學(xué)氣氛是良好課堂秩序的重要組成部分，也是學(xué)生積極參與解題策略探究和實(shí)現(xiàn)的重要保證。教育過程是教育者幫助受教育者按照預(yù)期方式變化的過程，教師的主要任務(wù)是確定學(xué)生應(yīng)發(fā)生什么變化，以及在次過程中如何為他們提供幫助。因此教師必須在把知識(shí)形態(tài)轉(zhuǎn)化為解題策略時(shí)，抓住“問題”這個(gè)數(shù)學(xué)的“心臟”，達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的良性循環(huán)。

（責(zé)任編輯 鄭文）