求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

張國(guó)慶

摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，而求數(shù)列的通項(xiàng)公式又是數(shù)列知識(shí)的關(guān)鍵，其常用方法有：觀察法、定義法、疊加法、疊乘法、歸納猜想法、待定系數(shù)法、倒數(shù)法、公式法、等方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；觀察法；定義法；疊加法；疊乘法；歸納猜想法；待定系數(shù)法；倒數(shù)法；公式法等

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1674-9324（2012）09-0135-02

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容，它與高中數(shù)學(xué)的其他知識(shí)有著緊密的聯(lián)系，具有較強(qiáng)的綜合性和實(shí)用性。而求數(shù)列的通項(xiàng)公式又是數(shù)列的核心內(nèi)容之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣，函數(shù)有了解析式便可研究其性質(zhì)等，而數(shù)列有了通項(xiàng)公式便可求出任意一項(xiàng)以及前N項(xiàng)和等，因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口，關(guān)鍵點(diǎn)；同時(shí)，由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式又能很好地鍛煉學(xué)生的分析、判斷能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)因果關(guān)系的思考，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思維能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。為此我在這里談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公式的幾種常見(jiàn)的方法，不到之處，敬請(qǐng)廣大同仁批評(píng)指正。

一、觀察法

例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）1，1/2，1/4，1/8，…

解：（1）變形為：101-1，102-1，103-1，104-1，……

∴通項(xiàng)公式為：10n-1

（2）變形為：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，……，

∴通項(xiàng)公式為：1/2n-1

觀察法就是要抓住各項(xiàng)的特點(diǎn)，與常見(jiàn)的數(shù)列形式相聯(lián)系進(jìn)行變形，探索出各項(xiàng)的變化規(guī)律，從而找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系，寫(xiě)出通項(xiàng)公式。

二、定義法

例2：已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數(shù)列，若函數(shù)f（x）=（x-1）2，且a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q-1），求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

解：（1）∵a1=f（d-1）=（d-2）2，a3=f（d+1）=d2，

∴a3-a1=d2-（d-2）2=2d，∴d=2，

∴an=a1+（n-1）d=2（n-1）；

又b1=f（q+1）=q2，b3=f（q-1）=（q-2）2，

由q∈R，且q≠1，得q=-2，∴bn=b·qn-1=4·（-2）n-1

當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，只需求得首項(xiàng)及公差或公比，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

三、疊加法

例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，…求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。解：已知a2-a1=3，a3-a2=5，…，an-an-1=2n-1，…各式相加得：an-a1=3+5+…+（2n-1）=n2-1

∴an=n2+5n

對(duì)于可表述成為an-an-1=f（n）的形式的數(shù)列，即可通過(guò)疊加的方法消去a2至an-1項(xiàng)，從而利用的已知求出。

四、疊乘法

例4：設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿(mǎn)足（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：∵（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0，可分解為[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0 又∵{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，∴an+1+an≠0，∴（n+1）an+1-nan=0，由此得出：a1=2a2，2a2=3a3，…，（n-1）a（n-1）=nan，這n-1個(gè)式子，將其相乘得：a1=nan，又∵a1=1，∴an=■，∵n=1也成立，∴an=■（n∈N*）。

對(duì)于相鄰的兩項(xiàng)有確定的比例關(guān)系的遞推式，可以通過(guò)疊乘法消去和，從而利用的已知求出此類(lèi)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

五、歸納、猜想法

如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)和能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。

例5：已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，Sn=■an，求通項(xiàng)an.

解析：由a1=1，當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=■a2，a2=2a1=2，當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=2a3

a3=3，同理可得a4=4，…猜想得an=n，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，已驗(yàn)算成立，（2）假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即ak=k，當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=■ak+1，又Sk+1=■ak=■，二式相減，得ak+1=■ak+1-■∴ak+1=k+1，即n=k+1時(shí)猜想也成立，由（1）（2）知對(duì)于一切自然數(shù)n都有an=n.

這類(lèi)題的關(guān)鍵是通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項(xiàng)，再猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

總之，數(shù)列是初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)度的橋梁，而求數(shù)列的通項(xiàng)公式又是學(xué)好數(shù)列知識(shí)的關(guān)鍵，它具有很強(qiáng)的技巧性。但是由于同學(xué)們?cè)趧倓偨佑|數(shù)列知識(shí)時(shí)，對(duì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式?jīng)]有系統(tǒng)的方法，常常感覺(jué)無(wú)從下手，需要教師和學(xué)生共同努力，共同思考，不斷的完善求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和技巧，開(kāi)拓思維，創(chuàng)新學(xué)習(xí)，逐步樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并能融會(huì)貫通的運(yùn)用到其他的知識(shí)學(xué)習(xí)中去。