簡(jiǎn)單層次網(wǎng)絡(luò)上的自組織臨界行為

楊秋英，顏學(xué)文

（常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇常熟 215500）

簡(jiǎn)單層次網(wǎng)絡(luò)上的自組織臨界行為

楊秋英，顏學(xué)文

（常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇常熟 215500）

采用改進(jìn)的二維格子地震（OFC）模型研究了簡(jiǎn)單兩層網(wǎng)絡(luò)上的雪崩行為.考慮到層間的性質(zhì)或功能有差異，在OFC模型中引進(jìn)層內(nèi)控制參量α和層間控制參量β，得到其雪崩大小在一定范圍內(nèi)滿(mǎn)足冪律分布，超出一定的值，系統(tǒng)便不再處于自組織臨界態(tài)，而處于超臨界態(tài).另外，膜電位平均值的時(shí)間序列的功率譜也近似滿(mǎn)足1/5冪律行為.

改進(jìn)的OFC模型；層次網(wǎng)絡(luò)；自組織臨界行為

1 引言

自組織臨界性（SOC）是Bak、Tang和Wiesenfeld在1987年提出來(lái)的[1]，主要指一大類(lèi)有多個(gè)單元組成的復(fù)雜系統(tǒng)，在外界驅(qū)動(dòng)和內(nèi)部組元間的相互作用下，能夠通過(guò)一個(gè)漫長(zhǎng)的自組織過(guò)程演化到一個(gè)動(dòng)力學(xué)臨界狀態(tài).在這個(gè)狀態(tài)下，系統(tǒng)的一個(gè)微小的擾動(dòng)可能會(huì)通過(guò)類(lèi)似“多米諾效應(yīng)”的機(jī)制被放大，延伸到整個(gè)系統(tǒng)，形成大雪崩，其特征是雪崩大小分布遵從冪律分布.SOC理論可以用來(lái)解釋很多復(fù)雜系統(tǒng)（例如地震系統(tǒng)[2]，生物演化系統(tǒng)[3]，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)[4]等）中出現(xiàn)的冪律行為.至1993年，相繼提出了幾個(gè)SOC模型[5-9]，其中之一是Olami、Feder和Christensen提出的OFC地震模型，他們?cè)诙S規(guī)則格點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)上模擬地震行為，并假設(shè)每個(gè)方向上的能量或力的傳輸是均等的.Hopfield[10]注意到腦的神經(jīng)生物學(xué)中脈沖發(fā)放機(jī)制和地震模型中的累積-發(fā)放機(jī)制間有很強(qiáng)的相似性，他指出地震模型中的一個(gè)滑動(dòng)事件對(duì)應(yīng)神經(jīng)細(xì)胞的一個(gè)動(dòng)作電位，地層板塊間的彈性連接對(duì)應(yīng)于神經(jīng)細(xì)胞間的突觸連接，所以地震模型中的復(fù)雜行為在神經(jīng)元中也可能存在，故可用累積-發(fā)放機(jī)制來(lái)模擬神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為.

實(shí)際神經(jīng)元的連接表現(xiàn)出局部模塊或群組織結(jié)構(gòu).神經(jīng)元結(jié)構(gòu)連接的信息表明哺乳動(dòng)物腦皮層具有區(qū)域?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)[11-12]，某些區(qū)域連接得緊密，而區(qū)域之間連接較稀疏.本文提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的兩層網(wǎng)絡(luò)模型，層內(nèi)運(yùn)用最原始的二維規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，并將OFC動(dòng)力學(xué)機(jī)制運(yùn)用到兩層層次網(wǎng)絡(luò)上.這里考慮到網(wǎng)絡(luò)是兩層次的，層間的結(jié)構(gòu)有所不同就有可能導(dǎo)致OFC模型中發(fā)放機(jī)制有所改變，我們用控制參量α和β分別來(lái)調(diào)節(jié)層內(nèi)和層間的發(fā)放.下面詳細(xì)討論改進(jìn)的OFC模型以及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)自組織臨界行為的影響.

2 模型

在我們的模型中采用兩層規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，每層網(wǎng)格大小為S=30×30.兩層網(wǎng)絡(luò)之間的關(guān)系用邊連接，為了簡(jiǎn)化，只取兩網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，如圖1所示，網(wǎng)絡(luò)1中的節(jié)點(diǎn)4只和網(wǎng)絡(luò)2中的節(jié)點(diǎn)4連接，而不與網(wǎng)絡(luò)2中其他節(jié)點(diǎn)相連.

原初的OFC地震模型描述是在方格中任一節(jié)點(diǎn)都賦予一動(dòng)力學(xué)變量Fi，在（0，1）之間取值，代表板塊承受的應(yīng)力，在神經(jīng)元模型中，代表每個(gè)神經(jīng)元的膜電位，再給出一閾值，取Fth=1，如果格子中所有格點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)變量Fi＜Fth時(shí)，認(rèn)為地殼處于靜息狀態(tài)，為了描述地震應(yīng)力的緩慢演化現(xiàn)象，增加所有地震的應(yīng)力直到其中一個(gè)板塊的應(yīng)力超過(guò)閾值，板塊變得不穩(wěn)定，開(kāi)始滑動(dòng).向鄰近的節(jié)點(diǎn)發(fā)放應(yīng)力，自己回落到靜息態(tài)，即

圖1 層間節(jié)點(diǎn)的連接方式

式中j表示i節(jié)點(diǎn)的所有近鄰，α是控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)耗散水平的參量，當(dāng)α=0.25時(shí)表示系統(tǒng)的能量守恒，α＜0.25對(duì)應(yīng)能量耗散系統(tǒng).

在同層次中發(fā)放滿(mǎn)足：Fi→0，

在不同層次間發(fā)放滿(mǎn)足：Fi→0，

其中，wij表示i節(jié)點(diǎn)和j節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)變量和，nn表示所有i節(jié)點(diǎn)的最近鄰節(jié)點(diǎn).這種發(fā)放模式一直進(jìn)行直到網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的變量Fi都小于閾值，即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，我們把這個(gè)過(guò)程定義為雪崩，而這過(guò)程中不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)的總數(shù)定義為雪崩大小.

至此，我們已經(jīng)完成了網(wǎng)絡(luò)演化的動(dòng)力學(xué)模型，下面具體研究在兩層網(wǎng)絡(luò)上的自組織臨界行為.

3 模擬結(jié)果

3.1 雪崩大小概率分布

首先討論雪崩大小的概率分布，即相同雪崩大小發(fā)生的概率.在我們的模型中，有多個(gè)可調(diào)參數(shù)：層間連接數(shù)、控制參量和網(wǎng)格大小等.

3.1.1 層間連接數(shù)對(duì)雪崩大小分布影響

首先研究不同層間連接數(shù)對(duì)雪崩大小分布的影響，選定其他參量：兩層次網(wǎng)格大小N=1800，方程（2）（3）中的參量a,b都取為0.7，層間連接數(shù)取5，從圖2可知，其一，雪崩大小分布不是一個(gè)簡(jiǎn)單的冪律分布，分布曲線中間出現(xiàn)拐點(diǎn)，行為相對(duì)復(fù)雜.其二，分布曲線尾部上翹，這一特征是超臨界行為.由此可知層次之間應(yīng)具有一定量的連接數(shù)，不然系統(tǒng)就處于超臨界狀態(tài)，便不能正常工作.

下面詳細(xì)討論層間不同的連接數(shù)對(duì)雪崩行為的影響.圖3給出了相同參數(shù)條件下雪崩大小分布隨層間連接數(shù)變化的關(guān)系，從圖中可以看出，當(dāng)連接數(shù)大于50時(shí)，忽略胖尾效應(yīng)，雪崩大小分布滿(mǎn)足冪律分布，即P(S)∝S-τ，隨層間連接數(shù)增加冪律指數(shù)先增后減.另外，層間連接數(shù)為600時(shí)有個(gè)分界線.層間連接數(shù)小于600時(shí)，隨連接數(shù)增加，分布的截?cái)鄿p小，即大雪崩減少；而大于600時(shí)，隨著連接數(shù)增加，截?cái)嘣黾?，即大雪崩增?隨著層間連接數(shù)的增加，雪崩大小分布出現(xiàn)了兩種變化趨勢(shì).這是可以理解的，當(dāng)層間連接數(shù)較小時(shí)，層次之間網(wǎng)格處于稀疏狀態(tài)，關(guān)聯(lián)度不高，此時(shí)增加連接數(shù)，只會(huì)導(dǎo)致每個(gè)節(jié)點(diǎn)被分配到的能量減少，不容易發(fā)生雪崩，而當(dāng)連接數(shù)大到一定程度時(shí)，此時(shí)，層次間連接緊密，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的連通性非常好，所以大雪崩越來(lái)越多.

在上面的研究中，我們給出了雪崩大小分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，為更好地理解雪崩大小分布，下面給出整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均雪崩大小與層間連接數(shù)的關(guān)系，所謂平均雪崩大小，就是指這個(gè)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之前所有雪崩大小與所有雪崩次數(shù)的比值.圖4給出了平均雪崩大小隨層間連接數(shù)的變化關(guān)系（選定兩層網(wǎng)格大小N=1800，控制參量a=0.7,b=0.7，層間連接數(shù)分別為100，200，500，600，700，850，900）.隨著層間連接數(shù)增加，平均雪崩大小先減后增，這與雪崩大小分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是一致的.

3.1.2 層間控制參量對(duì)雪崩大小分布的影響

當(dāng)層間連接數(shù)很少時(shí)，系統(tǒng)行為趨于超臨界態(tài).我們選定層間連接數(shù)為50，研究層間控制參量對(duì)雪崩行為的影響.考慮到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的不同，層內(nèi)和層間網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為應(yīng)有所不同，我們來(lái)考察層間控制參量對(duì)雪崩大小分布的影響.選層內(nèi)動(dòng)力學(xué)行為的控制參量a固定為0.7，改變層間動(dòng)力學(xué)行為的控制參量b.從圖5中得到，當(dāng)b＞0.7時(shí)，雪崩大小分布滿(mǎn)足冪律行為，且隨b增大，截?cái)喾炊鴾p小.而當(dāng)b＜0.7時(shí)，尾部同樣出現(xiàn)了上翹現(xiàn)象，這是超臨界特征.

3.1.3 網(wǎng)格大小對(duì)雪崩大小分布的影響

圖2 層間連接數(shù)為5時(shí)雪崩大小分布圖

圖3 不同層間連接數(shù)對(duì)應(yīng)的雪崩大小分布圖，插圖是冪指數(shù)隨連接數(shù)變化的關(guān)系圖

圖4 不同層間連接數(shù)對(duì)應(yīng)的平均雪崩大小

選定控制參量a=0.7,b=0.7，單層二維網(wǎng)格大小為L(zhǎng)×L，L分別取32，48，64.研究雪崩大小分布情況.圖6中左邊是雪崩大小分布的原始數(shù)據(jù)圖，可以看到除去胖尾，雪崩大小分布滿(mǎn)足冪律分布，并隨網(wǎng)格增大，大雪崩出現(xiàn)的概率增大.為了提取胖尾中的噪音信息，圖6右邊對(duì)雪崩大小分布做了分箱統(tǒng)計(jì)[17].從圖中可以看出，分箱統(tǒng)計(jì)方法有效減少了大規(guī)模雪崩的噪音影響，使模擬效果更接近真實(shí)情況.

3.2 類(lèi)腦電波及功率譜分析

下面研究大腦中神經(jīng)元膜電位的暫態(tài)性質(zhì).不同時(shí)間所有神經(jīng)元膜電位的平均值，即一個(gè)時(shí)間序列信號(hào)，由于它的波形與腦電波相似，故稱(chēng)為類(lèi)腦電波.我們把每次雪崩完成后，所有節(jié)點(diǎn)膜電位平均值的時(shí)間序列定義為

圖5 層間控制參量對(duì)應(yīng)的雪崩大小分布圖

圖6 左為不同網(wǎng)格大小對(duì)應(yīng)的雪崩大小分布圖，右為對(duì)原始數(shù)據(jù)作分箱統(tǒng)計(jì)后的雪崩大小分布圖

類(lèi)腦電波，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

由于整個(gè)模擬數(shù)據(jù)太大，圖形表示不清晰，故從中選取時(shí)間步從2000到4000步，其時(shí)間序列如圖7（a）所示，平均膜電位在某個(gè)值附近振蕩.同時(shí)我們還對(duì)這個(gè)平均膜電位信號(hào)做了功率譜分析，如圖7（b）所示，它滿(mǎn)足1 f的冪律分布，這也是通常所說(shuō)的1 f噪聲.選定兩層網(wǎng)格大小N=1800，層間連接數(shù)為100，控制參量a=1,b=0.8，其類(lèi)腦電波的功率譜滿(mǎn)足S(f)∝f-τ，冪律指數(shù)τ=1.7948，驗(yàn)證了大腦處于一個(gè)自組織臨界態(tài).

圖7 （a）平均膜電位的時(shí)間序列圖，（b）平均膜電位的時(shí)間序列的功率譜

4 結(jié)論

為了體現(xiàn)神經(jīng)元的團(tuán)簇性，我們?cè)谕負(fù)浣Y(jié)構(gòu)中采用了兩層規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)考慮到節(jié)點(diǎn)的發(fā)放與鄰近神經(jīng)元有關(guān)，在原初的OFC模型中加入了與鄰近節(jié)點(diǎn)相關(guān)的權(quán)重值.研究發(fā)現(xiàn)，該模型在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)SOC行為.即雪崩大小分布滿(mǎn)足冪律分布.但是當(dāng)模型中的參量超出一定范圍時(shí)，則出現(xiàn)由自組織臨界到超臨界狀態(tài)的轉(zhuǎn)變.此外，還研究了在一定參量值時(shí)的類(lèi)腦電波，發(fā)現(xiàn)其功率譜也滿(mǎn)足冪律性質(zhì)，說(shuō)明大腦工作狀態(tài)處于自組織臨界態(tài).

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SOC Behavior of Simple Hierarchical Network

YANG Qiu-ying,YAN Xue-wen
(School of Physics and Electronics Engineering,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

The avalanche behavior of simple two-level network is studied by using the improved OFC model in this paper.Considering the different nature or function between levels,two different control parameters,andare introduced to express control parameters of level internal and levels respectively.The conclusion is reached that the avalanche distribution obeys the power-law distribution within a certain range.The system will not be in the self-organized critical state,but in the supercritical state when the parameters exceed the certain value.Otherwise, the power spectrum of time series of the average membrane potential approximately obeys the power-law behavior.

improved OFC model;hierarchical network;self-organized critical

N93

B

1008-2794（2012）04-0046-06

2012-03-10

楊秋英（1981—），女，江蘇常熟人，講師，碩士，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及非線性動(dòng)力學(xué).