Abel環(huán)的性質(zhì)和刻劃

宛凌宇

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036）

Abel環(huán)的性質(zhì)和刻劃

宛凌宇

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036）

對(duì)帶有自同態(tài)的Abel環(huán)展開研究，得到豐富的性質(zhì)和刻劃，并推廣了許多已知結(jié)論.

Abel環(huán)；冪等元；自同態(tài)

Abel環(huán)是冪等元中心的環(huán)，這一類環(huán)具有十分廣泛的性質(zhì)，與多種環(huán)聯(lián)系密切.文獻(xiàn) [1-2]分別指出Semicommutative環(huán)和Armendriz環(huán)是Abel環(huán).而文獻(xiàn)[3]證明了Reversible環(huán)是Semicommutative環(huán)，從而是Abel環(huán).文獻(xiàn)[4]總結(jié)了Abel環(huán)的多種刻劃，并對(duì)其做出推廣.本文引入環(huán)R的子集A（R）＝｛a｜ea＝a（1－e），?e∈E（R）｝，Ar（R）＝｛a｜ea＝a（1－σ（e）），?e∈E（R）｝，Al（R）＝｛a｜σ（e）a＝a（1－e），?e∈E（R）｝，其中σ是R的自同態(tài)，這些子集從新的角度反映了Abel環(huán)的性質(zhì)，可以用來判定一個(gè)環(huán)成為Abel環(huán)的條件.筆者從這個(gè)角度出發(fā)，來研究帶有自同態(tài)的環(huán)R的Abel性，給出Abel環(huán)的多種性質(zhì)和刻劃.為敘述方便，本文中的環(huán)R均指含幺環(huán)，σ表示R的自同態(tài)而不作特別說明.E（R），N（R）和C（R）分別代表環(huán)R的冪等元、冪零元全體以及R的中心.設(shè)a∈R，l（a）（r（a））表示a的左（右）零化子.

1 主要結(jié)果

定義1 稱環(huán)R為Abel環(huán)，如果E（R）?C（R）.

定義2 記 A（R）＝｛a｜ea＝a（1－e），?e∈E（R）｝，設(shè)σ是R 的一個(gè)自同態(tài)，記 Ar（R）＝｛a｜ea＝a（1－σ（e）），?e∈E（R）｝，Al（R）＝｛a｜σ（e）a＝a（1－e），?e∈E（R）｝.

這3個(gè)子集具有多種性質(zhì)，并與環(huán)R的Abel性密切相關(guān)，筆者有如下結(jié)果：

定理1 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）；

2）Ar（R）＝0；

3）Al（R）＝0；

4）eR（1－σ（e））＝0，?e∈E（R）；

5）σ（e）R（1－e）＝0，?e∈E（R）.

證明 1）?2）.?a∈Ar（R），?e∈E（R）使得ea＝a（1－σ（e））＝a（1－e），從而ea＝ea（1－e）＝e（1－e）a＝0.同理，（1－e）a＝（1－e）ae＝（1－e）ea＝0.故a＝ea＋（1－e）a＝0.類似地可以證明1）?3）.

2）?4）.顯然eR（1－σ（e））?Ar（R）＝0.同理有3）?5）.

4）?1）.由于eR（1－σ（e））＝0，?e∈E（R），從而e（1－σ（e））＝0，e＝eσ（e）.又（1－e）Rσ（e）＝0，從而（1－e）σ（e）＝0，即σ（e）＝eσ（e）＝e.因而eR（1－e）＝0，?e∈E（R），從而R是Abel環(huán).同理有5）?1）.

條件σ（e）＝e不能去掉.令R＝Z5⊕Z5，其中Z4＝Z／4Z.R是Reduced環(huán)，從而是Abel環(huán).令環(huán)R的自同態(tài)σ滿足σ（（a，b））＝（b，a）.顯然，對(duì)e＝（1，0）∈E（R），σ（e）＝e≠e，i＝1，2.而Ar（R）?eR（1－σ（e））?（1，0）（2，3）（（1，1）－σ（1，0））＝（1，0）（2，3）（1，0）＝（2，0）≠0，Al（R）?σ（e）R（1－e）?（0，1）（2，3）（（1，1）－σ（0，1））＝（1，0）（2，3）（1，0）＝（0，3）≠0.

顯然，R是Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)?e∈E（R），eR（1－e）＝0，它可以視為定理1的推論，廣泛用于Abel環(huán)的判定.

推論1 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)；

2）A（R）＝0；

3）eR（1－e）＝0，?e∈E（R）.

由推論1不難證明，R是Abel環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)?e∈E（R），?e∈R，re＝0蘊(yùn)含er＝0，更一般地，有

定理2 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）；

2）aσ（e）＝0?ea＝0，?e∈E（R），?a∈Ar（R）；

3）σ（e）a＝0?ae＝0，?e∈E（R），?a∈Al（R）；

4）ea＝0?aσ（e）＝0，?e∈E（R），?a∈Ar（R）；

5）ae＝0?σ（e）a＝0，?e∈E（R），?a∈Al（R）.

證明 由定理1，1）?2），1）?3），1）?4），1）?5），顯然.

2）?1）.?e∈E（R），?r∈R，令a＝er（1－σ（e））∈Ar（R）.顯然aσ（e）＝0，故ea＝er（1－σ（e））＝0.由定理1，R是Abel環(huán).

3）?1）.?e∈E（R），?r∈R，令a＝σ（e）r（1－e）∈Al（R）.顯然aσ（e）＝0，故ea＝er（1－σ（e））＝0.由定理1，R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）.

類似地，可以證明4）?1）和5）?1）.

推論2 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）；

2）rσ（e）＝0?er＝0，?e∈E（R），?r∈R；

3）σ（e）r＝0?re＝0，?e∈E（R），?r∈R；

4）er＝0?rσ（e）＝0，?e∈E（R），?r∈R；

5）re＝0?σ（e）r＝0，?e∈E（R），?r∈R.

推論3 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)；

2）re＝0?er＝0，?e∈E（R），?r∈R；

3）er＝0?re＝0，?e∈E（R），?r∈R；

4）ae＝0?ea＝0，?e∈E（R），?a∈A（R）；

5）ea＝0?ae＝0，?e∈E（R），?a∈A（R）.

定理3 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）；

2）eRa＝0，?e∈E（R），?a∈Ar（R）；

3）aRσ（e）＝0，?e∈E（R），?a∈Ar（R）；

4）σ（e）Ra＝0，?e∈E（R），?a∈Al（R）；

5）aRe＝0，?e∈E（R），?a∈Al（R）.

證明 由定理1，1）?2），1）?3），1）?4），1）?5），顯然.

2）?1）?e∈E（R），?r∈R，令a＝er（1－σ（e））∈Ar（R），則er（1－σ（e））＝ea∈eRa＝0.由定理1，R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）.

類似可以證明3）?1），4）?1），5）?1）.

推論4 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）；

2）eR（1－e）Rσ（e）＝0，?e∈E（R）；

3）eR（1－σ（e））Rσ（e）＝0，?e∈E（R）；

4）σ（e）R（1－σ（e））Re＝0，?e∈E（R）；

5）σ（e）R（1－e）Re＝0，?e∈E（R）.

推論5 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)；

2）eRa＝0，?e∈E（R），?a∈A（R）；

3）aRe＝0，?e∈E（R），?a∈A（R）.

定理4 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）.

2）aσ（l（a））＝0，?a∈Ar（R）.

3）σ（r（a））a＝0，?a∈Al（R）.

證明 由定理1，1）?2）和1）?3）顯然.

2）?1）.?e∈E（R），?r∈R，令a＝er（1－σ（e））∈Ar（R），則1－e∈l（a），從而er（1－σ（e））＝a（1－σ（e））∈aσ（l（a））＝0.由定理1知，R 是 Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）.

類似地可以證明3）?1）.

推論6 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)；

2）al（a）＝0，?a∈A（R）；

3）r（a）a＝0，?a∈A（R）.

設(shè)k∈R，稱RRk（kRR）是投射的，如果?e∈E（R）使得l（k）＝l（e）（r（k）＝r（e））.令 Pl（R）＝｛k∈R｜RRk是投射的｝，Pr（R）＝｛k∈R｜kRR是投射的｝.顯然E（R）?Pr（R），Pl（R）.

定理5 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）；

2）σ（k）l（k）＝0，?k∈Pr（R）；

3）r（k）σ（k）＝0，?k∈Pl（R）.

證明 1）?2）.?k∈Pr（R），?e∈E（R）使得l（k）＝l（e）?1－e，從而（1－e）k＝0，k＝ek，因此σ（k）l（k）＝eσ（k）l（e）＝σ（k）l（e）e＝0.類似地可證1）?3）.

2）?1）.由于E（R）?Pr（R），且?e∈E（R），r∈R，r（1－e）∈l（e），從而σ（e）r（1－e）＝0.由定理1，R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）.類似地可證3）?1）.

推論7 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)；

2）kl（k）＝0，?k∈Pr（R）；3）r（k）k＝0，?k∈Pl（R）.

稱一個(gè)環(huán)R為左（右）pp環(huán)，如果?k∈R，RRa（kRR）是投射的.也即，R是左（右）pp環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)Pl（R）＝R（Pr（R）＝R）.由推論7，有如下推論：

推論8 R是左（右）pp環(huán).則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）；

2）σ（a）l（a）＝0（r（a）σ（a）＝0），?a∈R.

定理6 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）；

2）?e，g∈E（R），eg＝gσ（e）；

3）?e，g∈E（R），σ（e）g＝ge；

4）?e∈E（R），a∈Ar（R），ea＝aσ（e）；

5）?e∈E（R），a∈Al（R），ea＝aσ（e）.

證明 1）?2），1）?3），1）?4），1）?5），顯然.

2）?1）取g＝e，則有e＝eσ（e）.再取g＝1－e，則σ（e）＝eσ（e），從而σ（e）＝e.?r∈R，取g＝e＋er（1－e），顯然g∈E（R），由eg＝gσ（e）得，er（1－e）＝0.從而R是Abel環(huán).類似地可證3）?1）.

4）?1）?e∈E（R），?r∈R，令a＝er（1－σ（e））∈Ar（R），則er（1－σ（e））＝ea＝aσ（e）＝0.由定理1，R是Abel環(huán)，且σ（e）＝e，?e∈E（R）.類似地可證5）?1）.

推論9 設(shè)R是環(huán)，則以下命題等價(jià)：

1）R是Abel環(huán)；

2）?e，g∈E（R），eg＝ge；

3）?e∈E（R），a∈A（R），ea＝ae.

[1]Huh C，Lee Y，Smoktunowicz A.Armendariz rings and semicommutative rings[J].Comm Algebra，2002，30（2）：751-761.

[2]Kim N K，Lee Y.Armendariz rings and reduced rings[J].J Algebra，2000，223：477-488.

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[4]魏俊潮.冪等元在環(huán)論中的應(yīng)用[D].揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2010.

The Properties and Characterization of Abelian Ring

WAN Ling－yu
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper researched on Abelian rings with endomorphisms，obtained abundant of properties and characterization of such rings，and generalized many known results as well.

Abelian rings；idempotent；endomorphism

O153.3 MSC2010：13M05

A

1674-232X（2012）04-0319-04

11.3969／j.issn.1674-232X.2012.04.007

2011-01-01

杭州師范大學(xué)2012年“沈括杯”大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目.

宛凌宇（1987—），男，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事代數(shù)學(xué)研究.E-mail：shuhunwly2006＠163.com