數學與音樂之約

數學是推理中的音樂，而音樂則是感覺中的數學。代表理性的數學，其規(guī)律與秩序所產生的美感，雖無聲音之傳遞，但與音樂是根本相通的；而代表感性的音樂，其音強、音高、音色、節(jié)奏、旋律、曲式及風格，雖無明顯的數學表達，但數學的蹤影卻處處可見。

數學概念在樂章中一個非常有趣的方面是Fibonacci數列和黃金分割理論的存在。前者是由意大利的數學家L.Fibonacci命名的一個整數數列。其特點是：從第三項起，每一項都是前兩項的和，而且前一項與后一項的比值，逐漸趨向黃金數。也就是說，越往后的各項，此比值越接近0.618，所以這個數列也成為黃金數列。

音樂結構的美的效應，也同樣有賴于樂曲各部分之間的完美數學比例關系。所謂黃金分割法則，其定義如下：當樂曲之結構符合或近似黃金比例，則其黃金分割點應出現在全曲之黃金數0.618或近似0.618處；亦即將全曲小節(jié)數乘以0.618，或更嚴謹的將節(jié)拍數乘以0.618。此時若屬黃金分割點，則此處應相當于該曲之重要段落、附屬主題、轉調段落、主題再現部、展開部或是歌曲的副歌開始之處。

下面我們就以莫扎特的小提琴協奏曲為例來具體探討一下黃金分割法在作曲中的應用。

我們最為熟悉莫扎特所作的小提琴協奏曲有5首，分別是第一號降B大調K.207、第二號D大調K.211、及本文研究選定之第三、四、五號作品。

依前述黃金分割段落之說明，我們分析莫扎特的協奏曲，發(fā)現其樂曲結構也都明確地遵守黃金分割法則，暗示這些作品的曲式結構，與黃金分割的規(guī)律有著密切的關系，而呈現樂曲各部分之間的完美數學比例關系，如表一所示。

在計算莫扎特音樂黃金分割點的同時，我們亦由表二所列此3首協奏曲各樂章的升記號數目和調性之次序性，再一次證明莫扎特音樂所呈現的完美形式。

從表二我們可以清楚地看出，此3首樂曲中第一樂章與第三樂章均為相同的調性，此乃古典時期協奏曲的曲式要求。然而第二樂章之調性均一致的采取五度遞增方式后，再回到原主調，則非古典時期協奏曲的曲式要求；且同一樂章的升記號數目，依第三、四、五號分別呈現次序的數列，第一樂章是：1、2、3；第二樂章是：2、3、4；第三樂章又還原為：1、2、3，其調性之間亦均為完全五度的遞增：GDA；DAE；GDA，也都不是古典時期協奏曲的曲式要求，而是莫扎特此3首樂曲所呈現之一致性和規(guī)律性。我們嘗試將上述升記號數目的次序，以數學行列式表示如下：

將此3.3三階行列式展開并計算其值，（1·3.3+2·2·3+2·4·1）（1·3·3+2·2·3+2·4·1），令人贊嘆的完美答案0。我們進一步檢視此行列式后發(fā)覺，其實任何3首調性符合古典時期協奏曲的曲式要求之協奏曲，將其升降記號數目以33之三階行列式表示時，其值一定是0。因為依古典時期協奏曲的曲式要求，其第一和第三樂章的調性相同，所以其所形成之行列式，無論第二樂章的調性為何，一定至少有兩行或兩列是完全相等的；而依行列式之性質得知，行列式中有兩行相等或兩列相等時，則此行列式之值為0。因此莫扎特此三首協奏曲的調性，因為符合古典時期協奏曲的曲式要求，使其3·3行列式之展開式具有高度之對稱性和完美的答案0。

除了上述莫扎特音樂中數學關系的探討之外，我們也選擇莫扎特的第三、四和五號協奏曲結構的數學解析及段落主題進行敘述。

提琴協奏曲之第一樂章與黃金分割比例的關系。從各樂段的小節(jié)數，我們可以算出與全樂章小節(jié)數之比范圍，如表四所示。

由表四可知其黃金分割段落均落在展開部之中。我們進一步分析此段落，發(fā)現此3首協奏曲第一樂章的展開部都存在兩個主題，此二主題結束之小節(jié)數分別是第三號：第一主題為135小節(jié)，比值為135/214=0.631、第二主題為第155小節(jié)，比值為155/214=0.724；第四號：第一主題為第125小節(jié)，比值為125/212=0.590、第二主題為145小節(jié)，比值為145/212=0.684；第五號：第一主題為134小節(jié)，比值為134/222=0.604、第二主題為143小節(jié)，比值為143/222=0.644。故其最接近黃金分割點0.618的段落，均為展開部的第一主題結束，此三者之黃金分割點分別為第三號135/214=0.631；第四號125/212=0.590；第五號134/222=0.604。

總之，一定程度上數學有多少藝術成分，就有多少科學成分，人們了解這一點是非常重要的，這將改變相關的普遍觀念，并且人們對它的要素和普遍性會理解得更好。期望通過對數學與音樂多元對話的探討，了解音樂中的數學關系、數學的藝術表達，提供音樂的另類思考模式，即美是數學固有的內在。

參考文獻：

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（作者單位 重慶市第八中學）