兩體二能級(jí)系統(tǒng)的糾纏特性

成耀宇，胡占寧，寧振動(dòng)

(1.天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300160；2.天津工業(yè)大學(xué)環(huán)境科學(xué)與化學(xué)工程學(xué)院，天津300160)

糾纏是量子力學(xué)有別于經(jīng)典力學(xué)的最主要原因之一，并且在早期的量子物理學(xué)中激發(fā)了許多哲學(xué)上的討論[1]。最近，糾纏被看作量子信息處理的來(lái)源[2]。事實(shí)上，它是實(shí)現(xiàn)量子隱形傳態(tài)、量子密碼的關(guān)鍵因素之一[3]，而且被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的重要來(lái)源。然而，用于量子信息處理的量子體系不可避免的要與周圍的環(huán)境發(fā)生相互作用，它使得量子體系由純態(tài)變?yōu)榛旌蠎B(tài)[4]。因此，分析量子體系與周圍環(huán)境的相互作用而引起的糾纏衰退甚至糾纏突然死亡就成為當(dāng)前的一個(gè)重要課題[5]。在單體量子系統(tǒng)中，這一過(guò)程被稱作退相干，人們采取了許多辦法來(lái)減弱這一過(guò)程[6]。具有非局域量子關(guān)聯(lián)性質(zhì)的多體量子系統(tǒng)的糾纏演化更加能引起人們的關(guān)注。 例如，糾纏突然死亡是由Yu and Eberly發(fā)現(xiàn)的[7]，它意味著糾纏在有限的時(shí)間內(nèi)消失，而且與單量子比特的相干演化有著顯著的不同。這一有趣的現(xiàn)象可以通過(guò)糾纏的原子系綜來(lái)觀測(cè)到[8]。人們對(duì)糾纏和糾纏突然死亡的演化進(jìn)行了分析并且得到了許多有趣的結(jié)果[9,10]。本文基于量子糾纏這一非常重要的物理概念，通過(guò)對(duì)物理模型的計(jì)算和分析，重點(diǎn)研究了兩體二能級(jí)系統(tǒng)在零溫玻色歐姆和零溫玻色超歐姆環(huán)境下的糾纏特性。

1 糾纏度的定義

糾纏度有許多定義，如線性熵、Concurrence、Negativity等。我們將采用Wootters定義Concurrence來(lái)度量糾纏[11]。對(duì)于一個(gè)處于狀態(tài)ρ的任意兩體二能級(jí)系統(tǒng)，Concurrence定義為

其中，μi(i=1,2,3,4)為矩陣

則concurrence簡(jiǎn)化為

如果系統(tǒng)處于混合態(tài)且密度矩陣可表示為以下形式：

則concurrence簡(jiǎn)化為[12]

2 模型

考慮一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)[13]，該系統(tǒng)由兩個(gè)相互作用并且各自都同外浴 (玻色環(huán)境)耦合的二能級(jí)系統(tǒng)組成。它的哈密頓量由三部分組成，兩體二能級(jí)系統(tǒng)自由哈密頓量Hs，兩體二能級(jí)系統(tǒng)和外浴相互作用的哈密頓量H1，外浴自由哈密頓量HB：

常數(shù)λn和gn是兩個(gè)二能級(jí)體系分別同外浴耦合的系數(shù)，γ是兩個(gè)自旋1/2粒子之間的耦合強(qiáng)度。假設(shè)同外浴耦合的每個(gè)二能級(jí)體系的耦合常數(shù)是不同的，對(duì)自旋A設(shè)為λn，對(duì)自旋B設(shè)為gn。

為了度量與環(huán)境相互作用的兩體二能級(jí)系統(tǒng)的糾纏度，必須知道其隨時(shí)間演化的約化密度矩陣。設(shè)兩體二能級(jí)系統(tǒng)初態(tài)為

在弱耦合極限條件下，經(jīng)過(guò)時(shí)間t的演化，其約化密度矩陣為

其中，消相干因子Γi（t）定義為

且

環(huán)境引起的耗散為

且

譜密度函數(shù)Ji（ω）為

假設(shè)在零溫歐姆環(huán)境下，消相干因子具有如下形式[13]：

在零溫超歐姆環(huán)境下，消相干因子為

該形式與自旋－玻色模型在零溫的形式類似[14]，其中Λ是外浴的中斷頻率。

為了達(dá)到本文的目的，我們將定義一個(gè)初始密度矩陣，也稱作類Werner態(tài)：

其中，r∈（0，1］表示初態(tài)的混合度，ρ是 4×4矩陣，ρ的密度矩陣表示如下：

其中，a=d,b=c,且a,b,c,d都為非負(fù)實(shí)數(shù)，

｜a｜2＋｜b｜2＋｜c(diǎn)｜2＋｜d｜2＝1。初始態(tài)｜φ〉為

其中，p表示初態(tài)的糾纏程度，｜0〉，｜1〉為泡利算符σz的本征值，p＝1/2時(shí)，(14)式為貝爾態(tài)。

由方程(9)～(14)，我們可以得到t＞0的約化密度矩陣：

為了得到Concurrence得具體表達(dá)式我們需要計(jì)算矩陣

的本征值，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到其本征值：

考慮初始條件可得：

因?yàn)樵诹銣夭Ｉ珰W姆環(huán)境和零溫玻色超歐姆環(huán)境下都有 γ0A＝γ0B＝γAB＝γ0，因此，(16)式可簡(jiǎn)化為

當(dāng)

時(shí)，將會(huì)發(fā)生糾纏突然死亡現(xiàn)象。很明顯，

因此，如果初始態(tài)是糾纏的，那么糾纏突然死亡總是會(huì)發(fā)生。當(dāng)

時(shí)，取b=1/3，則在零溫玻色歐姆庫(kù)環(huán)境下，(18)式可表示為

在零溫玻色超歐姆庫(kù)環(huán)境下，(18)式可表示為

在零溫玻色歐姆和零溫玻色超歐姆兩種環(huán)境中，兩體系統(tǒng)糾纏度(Concurrence)的變化規(guī)律將有何異同點(diǎn)呢？下面就此問(wèn)題展開(kāi)討論。

通過(guò)分析得到的解析解如：式(19)和式(20)，從兩式可以看到：兩體系統(tǒng)糾纏度是參數(shù)t，r，p(視Λ為常數(shù))函數(shù)。為了清晰化、直觀化，我們進(jìn)行了數(shù)值模擬并得到了圖1～6。 其中，圖1，2，3表示令參數(shù)p為定值，兩體系統(tǒng)糾纏度隨t，r的變化；圖4，5，6表示令參數(shù)r為定值，兩體系統(tǒng)糾纏度隨t，p的變化。

圖1 當(dāng)兩體系統(tǒng)耦合了一個(gè)耦合常數(shù)為γ0=0.1的零溫玻色歐姆環(huán)境時(shí)，C作為r和t的函數(shù)，Λ=100，p=0.5

圖2 當(dāng)兩體系統(tǒng)耦合了一個(gè)耦合常數(shù)為γ0=0.1的零溫玻色超歐姆環(huán)境時(shí)，C作為r和t的函數(shù)，Λ=100，p=0.5

圖3 上層為超歐姆環(huán)境情況，下層為歐姆環(huán)境情況

從圖1、圖2中可以看出，在兩種環(huán)境下，均出現(xiàn)了糾纏突然死亡的現(xiàn)象；當(dāng)參數(shù)r增大時(shí)，兩種環(huán)境下的糾纏突然死亡的時(shí)間都會(huì)變長(zhǎng)。圖3為圖1和圖2的結(jié)合，可以看到，在相同條件(p和Λ一致)下，零溫玻色超歐姆環(huán)境下的糾纏突然死亡時(shí)間要比零溫玻色歐姆環(huán)境下的糾纏突然死亡時(shí)間長(zhǎng)。

從圖4、圖5中可以看出，在兩種環(huán)境下，同樣都出現(xiàn)了糾纏突然死亡的現(xiàn)象；與圖1、2相同，當(dāng)參數(shù)p增大時(shí)，兩種環(huán)境下的糾纏突然死亡的時(shí)間都會(huì)變長(zhǎng)。圖6為圖4和圖5的結(jié)合，我們可以看到，在相同條件(r和Λ一致)下，零溫玻色超歐姆環(huán)境下的糾纏突然死亡時(shí)間要比零溫玻色歐姆環(huán)境下的糾纏突然死亡時(shí)間長(zhǎng)。

圖4 當(dāng)兩體系統(tǒng)耦合了一個(gè)耦合常數(shù)為γ0=0.1的零溫玻色歐姆環(huán)境時(shí)，C作為p和t的函數(shù)，Λ=100，r=0.8

圖5 當(dāng)兩體系統(tǒng)耦合了一個(gè)耦合常數(shù)為γ0=0.1的零溫玻色超歐姆環(huán)境時(shí)，C作為p和t的函數(shù)，Λ=100，r=0.8

圖6 上層為超歐姆環(huán)境情況，下層為歐姆環(huán)境情況

通過(guò)以上分析，我們可以看到參數(shù)r，p對(duì)兩體系統(tǒng)糾纏突然死亡時(shí)間的影響基本保持一致，也就是說(shuō)零溫玻色超歐姆環(huán)境下的糾纏突然死亡時(shí)間要比零溫玻色歐姆環(huán)境下的糾纏突然死亡時(shí)間長(zhǎng)。

3 結(jié)論

分析了在零溫玻色歐姆環(huán)境和零溫玻色超歐姆環(huán)境的下兩體二能級(jí)系統(tǒng)的糾纏特性，并得到了上述結(jié)果。但我們最終的目的是要調(diào)控和保護(hù)糾纏，并使其能夠運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)環(huán)境，因?yàn)樗菍?shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的重要來(lái)源。盡管我們注意到許多關(guān)于糾纏調(diào)控和保護(hù)所取得的進(jìn)展，但是許多基礎(chǔ)的困難仍然存在，其中最主要的困難就是系統(tǒng)與環(huán)境相互作用而導(dǎo)致的糾纏突然死亡。本文最主要的結(jié)果就是通過(guò)一些特殊的環(huán)境來(lái)幫助延遲糾纏突然死亡的時(shí)間。希望我們的結(jié)果能對(duì)糾纏的調(diào)控和保護(hù)研究做出一點(diǎn)貢獻(xiàn)。

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