含各向異性單負材料的一維光子晶體的全向帶隙

董麗娟，石云龍

(山西大同大學固體物理研究所，山西大同037009)

單負材料是特異材料(metamaterials)中的一類，包括電單負材料 (介電常數(shù)ε小于零，磁導率μ大于零)和磁單負材料(介電常數(shù)ε大于零，磁導率μ小于零)，它們擁有很多普通材料沒有的新奇的物理特性，是近年來國際上的一個研究熱點[1-5]。由于單負材料的折射率是純須數(shù) (無損耗時)，因此電磁波從空氣中入射到單負材料中時，只能以迅衰場的形式存在。但是，令人們驚奇的是，在兩種不同的單負材料排列在一起組成的雙層結構中，當滿足阻抗和相位匹配時，會發(fā)生共振透射的現(xiàn)象[6]。由電單負材料和磁單負材料組成的雙層結構為原胞周期性排列組成的一維光子晶體中存在一種不同于Bragg帶隙的新帶隙--零有效相位帶隙，該帶隙與晶格常數(shù)的標度無關而且受晶格無序的影響很小，并且不隨入射角度和偏振狀態(tài)的變化而變化[7，8]。

目前，針對各向同性特異材料的研究較多，其介電常數(shù)和磁導率都是用標量來描述。但實際上，人工制備的特異材料多是各向異性的，也就是說一般的材料都是各向異性的，或者是單軸各向異性的。所以研究各向異性特異材料的性質(zhì)也是很重要的。2002年，文獻[9]中研究了單軸各向異性左手材料的電磁傳播特性。2003年，文獻[10]研究了各向異性負折射率材料介質(zhì)的透射情況，發(fā)現(xiàn)可以實現(xiàn)斜入射角度的全透射，這種機理不同于布儒斯特角的透射機理。2003年，Smith在文獻[11]中提出了“不確定媒質(zhì)(indefinite media)”，這種介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導率是各向異性的，并且主軸上 (非主軸元素為0)的值的符號沒有確定，根據(jù)主軸元素取不同的符號，作者把不確定媒質(zhì)分成了4種類型：正常截止、反常截止、永不截止和總是截止。在本文中，我們將根據(jù)色散關系討論不確定煤質(zhì)是單負材料范圍時的情況，并且利用轉移矩陣方法研究含各向異性單負材料的一維光子晶體中的帶隙特性。

1 各向異性單負材料的確定

為了簡化，我們假設各向異性材料只具有對角化的介電常數(shù)張量和磁導率張量，它們有以下形式：

假定入射電磁波的波矢k位于xz平面 (入射面，z為法向方向)。設入射電磁場分別為

和

對于TE波，入射電場可以寫為：

利用公式▽×E＝iωμH，可以寫出入射磁場的形式為：

由方程(2)和(3)描述的平面波滿足以下色散關系：

則根據(jù)方程 (4)，在不考慮材料損耗時，k2z的符號可以用來區(qū)別平面波解的種類。k2z＞0對應于kz具有實數(shù)解，表示平面波有傳播解；k2z＜0對應于kz具有虛數(shù)解，表示平面波有衰逝解。從方程(4)可以推導，截止頻率為

我們知道，單負材料中的電磁波只能以迅衰場的形式存在。因此，單負材料選值的范圍對應于＜0的虛數(shù)解。單負材料包括電單負材料和磁單負材料兩種。在這里，根據(jù)方程(4)各向異性電單負材料對應于 εy＜0，μx＞0，μz＞0 的情況，各向異性磁單負材料對應于 εy＞0，μx＜0，μz＜0 的情況。

對于TM波，入射磁場可以寫為：

利用公式▽×H＝－iωμE，可以寫出入射電場的形式為：

由方程(5)和(6)描述的平面波滿足以下色散關系：

同理，根據(jù)方程(7)，各向異性磁單負材料對應于μy＞0，εx＜0，εz＜0 的情況，各向異性磁單負材料對應于 μy＜0，εx＞0，εz＞0 的情況。

2 全向帶隙

考慮一個置于空氣中的由各向異性電單負材料和磁單負材料交替生長形成的一維光子晶體。因為體系是周期結構，電場和磁場滿足布洛赫定理，因此可以根據(jù)該定理寫出體系的色散方程。對于TE波，該光子晶體的色散關系可以寫為：

對于TM波，色散關系可以寫為：

其中，β表示體系的布洛赫波矢，其余物理量的右下角標1和2分別表示各向異性電單負材料和磁單負材料的參數(shù)，d是光子晶體中一個周期的總厚度d＝d1＋d2。對于有限結構的光子晶體，其傳輸參數(shù)可以通過轉移矩陣的方法來計算[12]。

在本文中，選取光子晶體的結構為(AB)20，A為各向異性電單負材料，B為各向異性磁單負材料，20表示周期數(shù)。對于TE波，各向異性電單負材料選取 εy＝1－100/ω2，μx＝μz＝3，d1＝6 mm，各向異性磁單 負 材 料 選 取 εy＝3， μx＝1 －100/ω2，μz＝－1，d2＝12 mm。對于TM波，各向異性電單負材料選取εx＝1－100/ω2，εz＝－1，μy＝3，d1＝6 mm，各向異性磁單負材料選取 εx＝εy＝3，μy＝1－100/ω2，d2＝12 mm。

圖1 含各向異性單負材料的光子晶體(AB)20的TE波透射率隨入射角度的變化

圖2 含各向異性單負材料的光子晶體(AB)20的TM波透射率隨入射角度的變化

圖1 和圖2分別給出了含各向異性單負材料的光子晶體 (AB)20的TE波和TM波透射率隨入射角度的變化曲線。從圖1和圖2中我們可以看到，對于TE波和TM波，無論入射角度如何變化都存在一個共同的帶隙，范圍從0.59 GHz到1 GHz。也就是說，該帶隙幾乎不隨入射角度和偏振狀態(tài)的變化而變化，該性質(zhì)可以用來設計一定帶寬的全向反射鏡。

3 結論

本文研究了各向異性電單負材料和各向異性磁單負材料組成的一維光子晶體中的帶隙特征。由于兩種不同的各向異性單負材料的特殊性質(zhì)，在該研究結構中擁有一個全向帶隙，它隨入射角度和偏振狀態(tài)的變化很不敏感。這種性質(zhì)可以用來設計全向反射鏡。

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