確定復(fù)雜復(fù)變函數(shù)極點(diǎn)階數(shù)的一種方法

王文琦

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

1 問題的引出

復(fù)變函數(shù)中定義函數(shù)不解析的點(diǎn)為奇點(diǎn)，如果函數(shù)f(z)雖然在z0不解析，但在z0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)處處解析，則稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。孤立奇點(diǎn)及其性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)中是非常重要的知識點(diǎn)，具有非常重要的地位[1-3]。如復(fù)變函數(shù)的積分、洛朗級數(shù)展開、復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)、留數(shù)定理等很多有關(guān)復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)都與孤立奇點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)孤立奇點(diǎn)概念及其性質(zhì)時(shí)，怎樣確定復(fù)變函數(shù)的奇點(diǎn)的類型是重點(diǎn)和難點(diǎn)，尤其是在確定極點(diǎn)階數(shù)的問題時(shí)往往比較困難。確定奇點(diǎn)的類型，通常有兩種方法：

(1)把復(fù)變函數(shù)f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0的某去心領(lǐng)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)，然后根據(jù)展開的洛朗級數(shù)中(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)的情況來確定該奇點(diǎn)屬于哪一類奇點(diǎn)(無負(fù)冪項(xiàng)為可去奇點(diǎn)，有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)為極點(diǎn)，無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)為本性奇點(diǎn))；

2 用零點(diǎn)與極點(diǎn)的聯(lián)系確定復(fù)變函數(shù)的極點(diǎn)階數(shù)

把函數(shù)表示成以簡單函數(shù)的商、和及積的3種形式：f(z)=P(z)/Q(z)，f(z)=P(z)+Q(z)，f(z)=P(z)Q(z)，相比將一個(gè)函數(shù)表示成f(z)=1/g(z)的形式，要更為容易一些[4]。下面利用復(fù)變函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的性質(zhì)以及零點(diǎn)和極點(diǎn)之間的關(guān)系來確定以上這3種形式的函數(shù)的極點(diǎn)階數(shù)。

2.1 第1種情況

z=z0是函數(shù)P(z)的m階零點(diǎn)，是函數(shù)Q(z)的n階零點(diǎn)。函數(shù)f1(z)=P(z)/Q(z)，f2(z)=P(z)+Q(z)，f3(z)=P(z)Q(z)，那么z0與這 3個(gè)函數(shù)的關(guān)系如何？

z0是函數(shù)P(z)的m階零點(diǎn)，是函數(shù)Q(z)的n階零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)的定義[1]可知P(z)和Q(z)可以表示為：P(z)＝（z－z0）mφ(z)，Q(z)＝（z－z0）nφ(z)，且 φ(z)和 φ(z)在z0解析，并且φ(z0)≠ 0，φ(z0)≠ 0。m和n為正數(shù)。

因?yàn)棣?z0)和φ(z0)在z0解析，根據(jù)解析函數(shù)的性質(zhì)可知，在分母不為零時(shí)兩個(gè)解析函數(shù)的商仍為解析函數(shù)[2]，因?yàn)?φ(z0)≠ 0,所以 φ(z)/φ(z)在 z0的鄰域內(nèi)解析，將φ(z)/φ(z)在z0的鄰域上展開成泰勒級數(shù)[3]:

當(dāng)時(shí)m＜n時(shí)，

f1(z)在z0的去心鄰域上展開成洛朗級數(shù)后，其(zz0)的負(fù)冪項(xiàng)為有限個(gè)，(z-z0)-1項(xiàng)的最高冪為(zz0)-(n-m)，該項(xiàng)系數(shù)為c0。因?yàn)閏0≠ 0，m-n＜0所以z0是 f1(z)的n-m階極點(diǎn)。

當(dāng)m＞n時(shí)，

f1(z)=(z-z0)m-nφ(z)/φ(z)，φ(z)/φ(z)在 z0解析，且φ(z)/φ(z)=c0≠ 0，m-n ＞ 0，故z0是 f1(z)的 mn階零點(diǎn)。(此時(shí)z0不是f1(z)的孤立奇點(diǎn))

當(dāng)m=n時(shí)，f1(z)在z0的去心鄰域上的洛朗展開式為:

其中沒有(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)，因此z0是f1(z)的可去奇點(diǎn)。

z0為f2(z)零點(diǎn)，φ(z0)+φ(z0)≠ 0時(shí)，零點(diǎn)的階數(shù)取m、n中較小的值。將上式右邊做級數(shù)展開后，系數(shù)不為零的(z-z0)的最低冪為m和n中較小的那一項(xiàng)。

2.2 第2種情況

z＝z0是函數(shù)P(z)的m階極點(diǎn)，是函數(shù)Q(z)的n 階極點(diǎn)。函數(shù) g1(z)=P(z)/Q(z)，g2(z)=P(z)+Q(z)，g3(z)=P(z)·Q(z)，那么z0與這3個(gè)函數(shù)的關(guān)系如何。

z0是函數(shù)P(z)的m階極點(diǎn)，是函數(shù)Q(z)的n階極點(diǎn)，根據(jù)極點(diǎn)定義[4]，可得，

其中，φ(z)和φ(z)是z0鄰域內(nèi)的解析函數(shù)，且，φ（z0）≠0，φ（z0）≠0。

（1）g1（z）＝P（z）/Q（z），

當(dāng)m＜n時(shí)，

φ（z）/φ（z）在 z0鄰域內(nèi)解析，且 φ（z）/φ（z）≠0，n－m ＞0，z0是g1（z）的n－m階零點(diǎn)。

當(dāng)m＞n時(shí)，

φ（z）/φ（z）在 z0鄰域內(nèi)解析，且 φ（z）/φ（z）≠0，m－n＞0，z0是g1（z）的m－n階極點(diǎn)。

當(dāng)m＝n時(shí)，z0是g1（z）的可去奇點(diǎn)。

（2）g2（z）＝P（z）＋Q（z）

當(dāng)m≠n時(shí)，令N＝max（m，n），z0為函數(shù)g2（z）的N階極點(diǎn)。因?yàn)閷（z）和Q（z）做洛朗展開后再相加，（z－z0）－1的最高冪取m和n中較大的那一項(xiàng)。

當(dāng)m＝n，φ（z0）＋φ（z0）≠0時(shí)，

所以z0是函數(shù)g2（z）的N＝m＝n階極點(diǎn)。

當(dāng)m＝n，φ（z0）＋φ（z0）＝0時(shí)，z0是函數(shù)g2（z）的低于n階的極點(diǎn)或可去奇點(diǎn)。

（3）g3（z）＝P（z）·Q（z）

z0為函數(shù)g3（z）的m＋n階極點(diǎn)。

綜上所述，形式較復(fù)雜的函數(shù)，可以通過整理變形使之以較為簡單的函數(shù)商、和以及積的形式表示出來，再利用復(fù)變函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)直接的關(guān)系通過上述方式來確定其極點(diǎn)的階數(shù)。

[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].2版.北京:高等教育出版社,1994.

[2]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.工程數(shù)學(xué)·復(fù)變函數(shù)[M].4版.北京:高等教育出版社,1996.

[3]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室.高等數(shù)學(xué)(第4冊)[M].2版.北京:高等教育出版社,2008.

[4]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].3版.北京:高等教育出版社,2004.