有限p－群可交換的若干條件

何 美 ， 劉小川

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

有限交換群可以分解成若干有限p－群的直積，有限p－群的交換性在研究有限群中起到重要作用。本文對(duì)有限p－群的子群進(jìn)行了研究，得到若干有限p－群可交換的條件。文中符號(hào)均與文獻(xiàn)[1]、[2]中一致，p表示一個(gè)素?cái)?shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]p是素?cái)?shù)，如果群G的任意元素的階均為p的方冪，則稱G為p－群。

引理1[2]G是有限p群當(dāng)且僅當(dāng)群G的階為p的方冪。

引理2設(shè) ｜G｜＝pn，N是G的子群，則N是G的極大子群當(dāng)且僅當(dāng)｜N｜＝pn－1，而且N是G的正規(guī)子群。

證明 (必要性)N是G的極大子群，則N≠G，即N＜G，從而N＜NG(N)，又N是G的極大子群，所以NG(N)＝G，于是，N是G的正規(guī)子群。

由N的極大性得到商群G/N沒有非平凡子群。否則，若G/N有非平凡子群M，由群的同態(tài)基本定理知，存在M是的G非平凡子群，而且N＜M＜G，這與N是G的極大子群矛盾，所以G/N沒有非平凡子群，于是G/N是p階循環(huán)群，[G∶N]＝p，從而｜N｜＝ pn－1。

(充分性)｜N｜＝ pn－1，則 N ＜ G，若存在 M ＜ G，N ≤ M，則｜N｜｜M｜，｜M｜｜G｜，而且 p 是素?cái)?shù)，于是M＝N，即得N是G的極大子群。

引理 3[3－6]｜G｜＝pn，｜N｜＝ p，N 是 G 的正規(guī)子群，則N ≤ Z(G)。

引理4 G是一有限p－群，且是一循環(huán)群，則G的任意階子群均唯一。

2 主要結(jié)論

定理2[7－8]G是一有限p－群，如果G的極大子群唯一，則G是循環(huán)群。

證明 ｜G｜＝ pn，N 是 G 的極大子群，則 ｜N｜＝ pn－1，且N＜G。

取 a∈G，a?N，令 M ＝ ＜a＞，則 M≤G。

若M＜G，則存在G的極大子群N1，使得 M≤N1，由條件，G的極大子群唯一，所以N＝N1，于是M≤N與a的取法相矛盾，即得M＝G，G是循環(huán)群。

定理3 G是一有限p－群，如果G存在p階正規(guī)子群N，且G/N是循環(huán)群，則G是可換群。

證明 ｜G｜＝ pn，｜N｜＝ p，則 ｜G/N｜＝ pn－1。 G/N是循環(huán)群，存在a∈G，G/N＝＜aN＞。而且aN的階為 pn－1，即?k ＜ pn－1，有(aN)k＝ akN≠N，所以ak?N，而 apn－1N＝N，即 apn－1

∈N。(1) 若 apn－1＝1∈N，則｜＜a＞｜＝ pn－1，令 M ＝ ＜a＞，則｜M｜＝pn－1，即M是G的一個(gè)極大子群，得M是G的正規(guī)子群。

又MⅠ N＝1，M＜MN≤G，得G＝MN＝M×N，M與N均為循環(huán)群，是可換群，所以G是可換群。

(2) 若 apn－1≠1，即 apn－1

∈N，由N是p階循環(huán)群，知 ，｜＜apn－1

＞ ｜＝ p，即得｜＜a＞｜＝ p，G 中存在 pn階元素a，所以G＝＜a＞是循環(huán)群是可換群。

定理4 G是一有限p－群，如果對(duì)于G的每一個(gè)元素a，都有ap＝1，則G是交換群。

證明 設(shè)｜G｜＝ pn

如果n＝0，則｜G｜＝1，G是交換群；

當(dāng)n≥1時(shí)，由a∈G，ap＝1，得expG＝p，于是得G是初等交換p群，從而是交換群。

定理5｜G｜＝pn，G的任意p階子群N均為G正規(guī)子群，G/N是交換群，而且至少存在2個(gè)p階子群，則G可交換。

證明N均為G正規(guī)子群，由G/N是可交換，得到?a，b∈G， [a，b]＝ a－1b－1ab∈N，即 G 的導(dǎo)群G′≤N 。

又若N1≠N2均為G的p階子群，由p是素?cái)?shù)知 N1Ⅰ N2＝ 1，而 G′≤N1，G′≤N2，所以 G′≤N1Ⅰ N2，即G′＝1，得到G是交換群。

定理6｜G｜＝pn，N是G的唯一p階子群，G/N是交換群，p＞2，則G是循環(huán)群。

證明 (1)N是G的p階子群，｜N｜＝p＞2，得｜G｜＞1，所以Z(G)＞1且N≤ Z(G)，由N的唯一性得N是G的正規(guī)子群，而且存在G中元素a，使得N ＝ ＜a＞。

(2)G/N 可交換，所以?a，b∈G，[a，b]＝ a－1b－1ab∈N，即 G 的導(dǎo)群 G′≤N 。

(3)G中一定存在pn階元素。

1°n＝1時(shí)，｜G｜＝p，G是循環(huán)群；2°n ＝ 2 時(shí)，｜G｜＝ p2。

若G不存在p2階元素，必有 ?a∈G，有ap＝1，得到 G ＝ ＜a＞×＜b＞，a，b均為 p階元素，而且＜a＞I＜b＞＝1，從而得到兩個(gè)不相同的p階子群，這與G的p階子群唯一相矛盾，所以G中必存在p2階元素，亦即G是循環(huán)群；

3°n ＞ 2時(shí)，｜G｜＝ pn

假設(shè)G不存在pn階元素，則由p群的性質(zhì)，G中必存在階數(shù)最大的元素b，設(shè)其階為pα，α＞1。

令 M ＝ ＜b＞，N ＝ ＜a＞，則｜＜bpα－1

＞｜＝p，所以N＜M，而且b?N。于是必存在 c∈G，c?M，從而｜＜c＞｜＝ pβ，α≥β＞ 1，得｜＜cpβ－1

＞｜＝ p∈＜a＞ ＝ N，存在bkp∈M，使

當(dāng)p＝2時(shí)，此結(jié)論不成立。例如G是四元數(shù)群，只含有一個(gè)2階子群，符合定理的條件，但G是非交換群。

對(duì)于一般的有限p－群，根據(jù)引理4及定理6有如下定理。

定理7有限p－群G是循環(huán)群當(dāng)且僅當(dāng)G的任意階真子群皆是循環(huán)群且各階子群均唯一。

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