相容次序矩陣的AOR方法的收斂性

羅 芳 ，王振芳

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同037009)

給定線性方程組

其中，A∈Rc×c為非奇異的實相容次序矩陣，其對角線上元素全不為零。

令A＝D－L－U，D為A的對角線元素構成的非奇異對角矩陣，L和U分別是嚴格下三角和嚴格上三角矩陣。

為A的Jacobi迭代矩陣。用AOR法求解(1)時，迭代矩陣為[1－2]：

其中，γ為松弛因子，ω為加速因子，ω∈R{0}。易知：

(1)當 γ＝ω 時，迭代矩陣記為 Lγ，γ，AOR 法即為 SOR法，有：

(2)當ω＝－1時，迭代矩陣記為：

可推得：

故 Lγ，ω為 Lγ，γ的外插迭代，也是 Lγ，1的外插迭代。

1 收斂性定理

設 A∈Cn×n為(1，1)相容次序矩陣，其對角線元素均不為零，μj為Jacobi迭代矩陣B的特征值，記我們分三種情況討論AOR方法的收斂性。

1.1 當 ｜μj｜2＝α(常數(shù))

定理 1[3]設 A∈Cn×n為(1，1)相容次序矩陣，其對角線元素均不為零，μj為Jacobi迭代矩陣B的復數(shù)特征值，且｜μj｜2＝α (常數(shù))，則迭代矩陣 Lγ，1收斂的充分必要條件是：

對于 AOR 迭代矩陣 Lγ，ω的收斂范圍，若 Lγ，1的特征值為：

則成立如下定理：

定理 2[3]設 A∈Cn×n為(1，1)相容次序矩陣，其對角線元素均不為零，μj為Jacobi迭代矩陣B的復數(shù)特征值，且｜μj｜2＝α (常數(shù))，則 AOR 迭代矩陣 Lγ，ω收斂的一個充分條件是(γ，ω是實數(shù))：

(1)ω滿足

(2)γ滿足：

1.2 當 μj=±iαj(αj≥0)，j＝1，2，…，n

定理 3[4－5]設 A∈Cn×n為(1，1)相容次序矩陣，其對角線元素均不為零，μj為Jacobi迭代矩陣B的復數(shù)特征值，滿足 μj=±iαj(αj≥0)， j＝1，2，…，n，則AOR 迭代矩陣 Lγ，ω滿足

(1)收斂范圍為：

(2)收斂范圍為：

其中，

NR和NI分別是根號下為非負和負的下標i的集合。

1.3 當 μj(j=1，2，…，n)均為實數(shù)

定理 4[2]設 A∈Cn×n為(1，1)相容次序矩陣，其對角線元素均不為零，Jacobi迭代矩陣B的特征值μj(j=1，2，…，n)均為實數(shù)，且 μ2j＜1(?j)，則 AOR 迭代矩陣 Lγ，ω的收斂范圍為：

在此范圍外，Lγ，ω不收斂，此處

MR和NI分別是根號下為非負和負的下標i的集合。

2 最優(yōu)因子

定理 5[4－5]在定理 3 條件下，若 Lγ，ω收斂范圍為(1)，則最優(yōu)參數(shù)：

相應的譜半徑為：

若Lγ，ω收斂范圍為 (2)，且若有 γ≤ω，此時最優(yōu)參數(shù)：

相應的譜半徑為：

定理 6[6]設 A∈Cn×n為(1，1)相容次序矩陣，其對角線元素均不為零，Jacobi迭代矩陣B的特征值μj(j=1，2，…，n)均為實數(shù)，且 μ2j＜1(?j)，則 AOR 方法的最優(yōu)因子γopt，ωopt如下：

3 數(shù)值例子

考慮線性方程組Ax＝b，其系數(shù)矩陣為：

對應的Jacobi矩陣的特征值為：

于是

采用SOR方法，

按定理6，

由此可見，在本例中，用AOR方法取得了較SOR方法好的收斂性。

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