任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合振蕩器陣列及其在共形陣中的應(yīng)用

凌 祥，胡志慧，姜志森

（1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，山東 煙臺(tái) 264001；2.海軍裝備研究院，上海 200436）

隨著微波集成電路技術(shù)的發(fā)展，有源集成天線成為近年來(lái)一個(gè)很重要的研究領(lǐng)域。有源集成天線將有源器件和天線單元集成起來(lái)，使得其既具有傳統(tǒng)輻射單元的功能，同時(shí)又具備了信號(hào)和波形處理能力，如混頻、放大[1]。1993年，R.A.York首先提出了基于有源集成天線陣列的波束掃描新方法[2]，這種新的相控陣天線不需要移相器，具有低成本、小型化、易集成的優(yōu)點(diǎn)，特別是在毫米波段，由于無(wú)須高性能的移相器，使得該技術(shù)更具優(yōu)勢(shì)。圖1是他提出的一維線陣的原理圖，相鄰振蕩器通過(guò)耦合線進(jìn)行互相耦合，通過(guò)對(duì)稱地控制陣列邊界單元的自由振蕩頻率，可以在陣列中實(shí)現(xiàn)線性的相位分布，用于無(wú)移相器的波束掃描。這種陣列利用振蕩器之間的耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)波束掃描，因而也被稱為耦合振蕩器陣列。

York和隨后的眾多學(xué)者對(duì)一維和二維平面陣列的理論進(jìn)行了深入研究[3-6]，并設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)陣列對(duì)原理進(jìn)行驗(yàn)證。Ted Heath等人還設(shè)計(jì)了25單元的二維耦合振蕩器陣列天線用于L1波段的GPS中[7]。

機(jī)載、彈載和星載相控陣天線由于飛行器的限制，更適合采用共形陣列天線，將天線單元安裝在飛行器的表面上，使陣列天線表面與飛行器表面相吻合，既可以克服波束掃描范圍窄，天線增益和測(cè)角精度隨掃描角的增加而降低的缺陷，同時(shí)還可以改善飛行器的空氣動(dòng)力學(xué)性能。而耦合振蕩器陣列天線體積小、集成度高、并且不需使用移相器，因此在共形相控陣中具有較好的應(yīng)用前景。

圖1 一維耦合振蕩器陣列天線原理圖

到目前為止，York等學(xué)者研究的耦合振蕩器陣列都是平面模型，而共形相控陣的單元都是分布在曲面上的，曲面耦合振蕩器陣列的波束掃描方法與平面陣列差別很大，必須建立曲面耦合振蕩器陣列模型，找到曲面陣列相位控制的新方法，這樣才有可能實(shí)現(xiàn)共形陣列。

本文提出了一種任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的曲面耦合振蕩器陣列模型，討論了幅度方程對(duì)陣列穩(wěn)態(tài)性能的影響。采用圖論的方法討論了當(dāng)自由振蕩頻率任意分布的情況下，相位方程定點(diǎn)唯一存在性的條件，并分析了其穩(wěn)定性和單元間相位差的范圍。最后，對(duì)圓柱形陣列天線進(jìn)行了仿真，表明本文提出的任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的曲面耦合振蕩器陣列有可能用于波束掃描，并且可以看到Y(jié)ork等人的平面耦合振蕩器陣列波束掃描方法是本文方法的一個(gè)特例。

1 任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的曲面耦合振蕩器陣列

共形陣列天線波束掃描時(shí)，當(dāng)天線波束最大值在(θ0,φ0)方向上時(shí)，每個(gè)天線單元的相位加權(quán)Δ φi0必須為[8]：

式中，(xi,yi,zi)為第i個(gè)單元在空間中的坐標(biāo)。由于每個(gè)單元的相位加權(quán)不是線性分布的，平面耦合振蕩器陣列模型難以用于共形陣列，因而首先建立任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的曲面耦合振蕩器陣列模型，見圖2。M為一曲面，圓點(diǎn)代表了振蕩器，虛線代表耦合線。

圖2 具有任意拓?fù)湫问降那骜詈险袷幤麝嚵?/p>

對(duì)利用任意N 端口互耦網(wǎng)絡(luò)連接N個(gè)正弦振蕩器組成的陣列(如圖1或圖2)的分析方法是相同的，都可分2步進(jìn)行：首先，用Y 參數(shù)來(lái)表達(dá)和分析耦合網(wǎng)絡(luò)；然后，對(duì)振蕩器進(jìn)行建模，進(jìn)而得到各振蕩器振蕩幅度及相位滿足的一般微分方程組。平面陣列的幅度和相位方程推導(dǎo)過(guò)程在文獻(xiàn)[2]中作了詳細(xì)介紹，這里直接給出結(jié)論：

式(2)中：i=1,2,…,N；Ai是振蕩器瞬時(shí)幅度；αi是自由振蕩幅度；ωi為自由振蕩頻率；?i為振蕩器的瞬時(shí)相位；μ是描述振蕩器增益的經(jīng)驗(yàn)值；Q為振蕩器品質(zhì)因素；Φij和εij分別為振蕩器單元之間的耦合相位和耦合系數(shù)，當(dāng)εij=0振蕩器之間不耦合，每個(gè)振蕩器處于自由振蕩器狀態(tài)，振蕩幅度為Ai=αi，頻率為ωi。

對(duì)任意耦合形式的陣列而言，它的相鄰耦合單元不定，將其中第i個(gè)振蕩器的所有相鄰單元的序號(hào)組成一個(gè)集合，并記為Si。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)耦合相位 Φij=0。對(duì)第i個(gè)振蕩器而言，定義來(lái)自第j個(gè)振蕩器的耦合強(qiáng)度 ρi=εijAj，該參數(shù)影響陣列能否同步。在分析時(shí)可設(shè)定一個(gè)常數(shù)作為每個(gè)振蕩器共同的耦合強(qiáng)度，這樣既降低了對(duì)方程分析的難度，同時(shí)在陣列設(shè)計(jì)時(shí)也是可以實(shí)現(xiàn)的。改寫方程(2)可得任意耦合形式的振蕩器陣列幅度、相位方程

由于我們對(duì)相位方程更為關(guān)心，希望能夠在一定條件下對(duì)幅度方程進(jìn)行近似簡(jiǎn)化。因此，首先來(lái)定性地分析幅度方程對(duì)陣列穩(wěn)態(tài)的影響。

將幅度和相位組成復(fù)數(shù)Ei=Aiej?i，同時(shí)引入一個(gè)復(fù)數(shù)參數(shù)Ec，定義如下：

Ec可以被看作是陣列狀態(tài)參數(shù)，用來(lái)考察陣列的幅度和相位是否實(shí)現(xiàn)了同步[9]，圖3中的星號(hào)代表復(fù)數(shù)Ec。假設(shè)有N=16的振蕩器陣列，其自由振蕩頻率 ωi在鎖相帶寬內(nèi)隨機(jī)分布，品質(zhì)因素Q=10，令ρ=0.1。

圖3 增大耦合強(qiáng)度后的陣列相位幅度分布變化圖

從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)振蕩器的幅度很快達(dá)到一致，但虛線圓的半徑稍大于振蕩器自由振蕩幅度iα，這是由于振蕩器之間的耦合強(qiáng)度增大所造成的。從c)、d)兩張圖看到振蕩器之間的相位也被鎖定了，因?yàn)檫@兩張圖只是旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。也可以從 Ec的分布來(lái)考慮，圖中的星號(hào)總是沿著虛線圓運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明 Ec也達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。

振蕩器陣列的幅度通常比相位更早達(dá)到穩(wěn)定，即使在相位失鎖狀態(tài)下，較小的耦合強(qiáng)度也能使幅度都達(dá)到一致。因此，在實(shí)際電路中，如果能保證振蕩器單元盡可能一致，那么在陣列相位鎖定狀態(tài)下，可以忽略幅度對(duì)陣列狀態(tài)的影響。為了使陣列達(dá)到相位鎖定狀態(tài)，ρ 必須大于某一值ρlock，ρlock的確定將在下面討論。

由于振蕩器輸出信號(hào)帶寬遠(yuǎn)小于其中心頻率，即ωi的變化范圍較小。因此，可以改寫(3)中的相位方程，得到

2 相位方程穩(wěn)定性分析

利用圖論方法對(duì)耦合振蕩器陣列定點(diǎn)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，可以把耦合振蕩器陣列看成是一個(gè)圖G，陣列中的振蕩器單元是圖中的頂點(diǎn)V，而振蕩器之間的耦合線可以看成是圖的邊E。假設(shè)有N個(gè)振蕩器，M條耦合線，即圖含有N個(gè)頂點(diǎn)、M條邊。圖可以用矩陣來(lái)表示[10]，圖的鄰接矩陣 A=(aij)，是一個(gè)N×N矩陣，其定義為

鄰接矩陣表明了圖中哪些頂點(diǎn)之間有邊存在，是相鄰的。另一個(gè)重要的矩陣是關(guān)聯(lián)矩陣 B=(bij)，是一個(gè)N×M矩陣，其定義為

利用矩陣來(lái)改寫耦合振蕩器的相位方程(5)，?和ω分別為N×1的陣列相位向量和自由振蕩器頻率向量，

當(dāng)方程(6)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，

首先要判定的是該穩(wěn)態(tài)方程是否有解，再來(lái)分析解的穩(wěn)定性如何。利用Banach 不動(dòng)點(diǎn)原理可以證明[11]，當(dāng)耦合強(qiáng)度滿足式(8)時(shí)，方程(7)存在唯一的解且振蕩器之間的相位差范圍為

式(8)中：λ2(BBT)和λN(BBT)分別為BBT的最小非零特征值和最大特征值，為范數(shù)。

式(8)給出了陣列相位鎖定時(shí)，耦合強(qiáng)度ρ 必須達(dá)到的最小值ρlock。

式中，C為N×N的系數(shù)矩陣(雅可比矩陣)，

根據(jù)方程(6)，可以得到雅可比矩陣C，

在分析定點(diǎn)的唯一存在性時(shí)，已知穩(wěn)態(tài)時(shí)相鄰單元之間的相位差的取值范圍為那么，向量中的任一元素都大于0。根據(jù)圖論中的定理[10-11]，TBB是一個(gè)半正定的對(duì)稱陣，由此得知矩陣C的特征值均為負(fù)(含一個(gè)0 特征值)。根據(jù)線性穩(wěn)定性定理，對(duì)應(yīng)的微小擾動(dòng)δ 將以指數(shù)形式快速地衰減，陣列的穩(wěn)態(tài)相位分布?～是線性穩(wěn)定的。

3 數(shù)值仿真

圓柱形相控陣是目前研究得較多的一種共形相控陣，仿真時(shí)我們采用如圖4a)所示的圓柱形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的5×5耦合振蕩器陣列，耦合方式采用最鄰近耦合法，每個(gè)振蕩器都接有一個(gè)輻射單元，并且振蕩器的自由振蕩頻率分別可控。圓柱面的圓心角α=60°，陣列中俯仰面單元中心間距 dy=0.5λ0，水平面單元中心沿圓柱表面間距 dx=0.5λ0。

圖4 5×5的圓柱形耦合振蕩器陣列

假設(shè)主瓣位于俯仰方向θ=20°，水平方向φ=50°(主瓣水平方向掃描的中心位置在φ=30°)時(shí)，仿真步驟如下：

1)首先按照式(1)計(jì)算出每個(gè)振蕩器單元需滿足的相位分布 ?s(單位為角度)，

式中，?s就是穩(wěn)態(tài)時(shí)陣列所要求的相位分布，其水平單元(每一行內(nèi))相位差是不同的，而俯仰單元(每一列內(nèi)的)的相位差是恒定的，這是由于俯仰方向上的振蕩器分布在直線上。

2)根據(jù)式(7)，并假設(shè)cρ=1，可計(jì)算得到自由振蕩器頻率的分布ωs(為相對(duì)頻率，圍繞著0分布，已減去平均值)。

式中，ωs的均值為0，這說(shuō)明陣列在進(jìn)行波束掃描時(shí)，工作頻率不變。陣列俯仰方向上邊界單元的自由振蕩頻率呈反對(duì)稱分布，這與York 等人提出的平面耦合振蕩器陣列波束掃描方法是一致的，說(shuō)明平面陣列的波束掃描方法是本文曲面陣列相位控制方法的一個(gè)特例。

3)將陣列中的自由振蕩頻率按ωs分布，對(duì)相位動(dòng)力學(xué)方程組(4)進(jìn)行仿真，圖5只列出了第一行和第一列單元的相位隨時(shí)間演變圖，可以看到穩(wěn)態(tài)相位與?s完全一致。

圖5 陣列第1行和第1列單元相位隨時(shí)間演變圖

圖6為仿真得到的圓柱形耦合振蕩器陣列主波束位于θ=0°，φ=30°和θ=20°，φ=50°時(shí)的天線遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖。

圖6 圓柱形耦合振蕩器陣列天線方向圖

4 結(jié)論

本文研究了具有任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的曲面耦合振蕩器陣列。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)陣列中振蕩器自由振蕩頻率任意分布時(shí)，如果單元間耦合強(qiáng)度滿足一定條件，那么穩(wěn)態(tài)時(shí)相位方程存在唯一的解，并且是穩(wěn)定的，陣列單元間的相位差穩(wěn)定在之間，說(shuō)明任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合振蕩器陣列有可能實(shí)現(xiàn)共形相控陣天線的空間波束掃描。

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