基于峰度的變步長恒模盲均衡技術(shù)

費奇志，肖金光，孟慶萍

（1.海軍裝備部航空技術(shù)應(yīng)用研究所，北京 100071；2.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊，山東 煙臺 264001）

基于訓(xùn)練序列的均衡方式降低了信道利用率，且不利于自適應(yīng)組網(wǎng)和偵聽。盲均衡不借助訓(xùn)練序列，只根據(jù)接收信號對信道進行自適應(yīng)均衡，使濾波器輸出在某種意義上最逼近期望信號。

恒模算法(constant modulus algorithm，CMA)盲均衡的代價函數(shù)僅與接收信號的幅值有關(guān)而與相位無關(guān)，具有計算復(fù)雜度低、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，引起了廣泛關(guān)注，但存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。如何解決這一矛盾成為提高該類均衡器性能的關(guān)鍵問題。

1 CMA算法及其收斂特性分析

CMA算法利用了發(fā)射信號的恒模特性，其代價函數(shù)[1]為：

選取該代價函數(shù)的合理性在于，恒模信號的功率恒定，因而收斂后均衡器的輸出功率也應(yīng)是恒定的。

CMA算法的迭代步驟可以歸納為[2]：

式(2)～(5)中：R2為源信號 x (n)的統(tǒng)計量；Y (n)為均衡器的輸入；w? (n)為均衡器的權(quán)系數(shù)；x～ (n)均衡器的輸出，e (n)為誤差信號；μ為步長調(diào)整因子；*和H分別表示復(fù)共軛和共軛轉(zhuǎn)置。

CMA算法的實質(zhì)是計算濾波器的輸出誤差，最小化相對統(tǒng)計量常數(shù)的偏離程度，當(dāng)均衡器收斂時，誤差信號最小。與LMS算法相比，搜索算法相同，誤差信號不同，前者用均衡輸出和源信號的非線性函數(shù)，而后者依賴于訓(xùn)練序列產(chǎn)生，這正是盲均衡和非盲均衡的區(qū)別。

由式(1)、(2)可知代價函數(shù)J (Wn)是權(quán)系數(shù)向量Wn的非凸函數(shù)，均衡器收斂點不唯一，具有局部最小點，初始化對CMA算法收斂性能的影響較大[3]。CMA算法沿著負梯度的方向搜索，如果初始值接近局部最小點，那么有可能誤收斂，且如果太過于接近“鞍”部，因為該處附近的梯度絕對值較小，收斂速度會很慢。

2 信號的峰度統(tǒng)計特性

2.1 信號的峰度定義

峰度定義為歸一化的四階累積量，在盲信號處理領(lǐng)域中峰度的應(yīng)用較為廣泛[4]。自相關(guān)函數(shù)和功率譜可以完全確定零均值平穩(wěn)高斯過程的統(tǒng)計特性，對非高斯過程無能為力，而高階統(tǒng)計量是分析非高斯信號的主要工具。假設(shè)信號是獨立同分布的，實隨機變量x的峰度定義為歸一化四階中心矩[4]：

式中，mx和2xσ分別定義為隨機變量x的均值和方差。

這兩種定義沒有本質(zhì)差別，但使用第二種定義時，高斯隨機變量的峰度為零，從而超高斯信號的峰度為正值，亞高斯信號的峰度為負，更直觀。

復(fù)平面上MPSK信號星座圖是循環(huán)對稱的，樣本數(shù)量較大時均值為零，且對復(fù)隨機變量信號x 有此時，峰度的定義為：

2.2 選擇峰度誤差作為控制均衡器系數(shù)調(diào)整因子的理論依據(jù)

盲均衡的目的就是使：

式中：T為整數(shù)時延；φ為常數(shù)相移。因而有：

對式(9)取傅里葉變換：w (ω) H (ω)=ej(φ?Tω)即：

恒時延T 不影響輸入信號序列的恢復(fù)，而常相位φ可以利用判決裝置去除。

令 S (ω)=H (ω) w (ω)，s(n)代表信道與均衡器組合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，則有：

假設(shè)x (n)為獨立同分布的，則

交換數(shù)學(xué)期望與求和的順序可得：

同理可得，

式中，

將式(16)代入式(15)可得：

因而隨機信號 x～ (n)的峰度為：

這就得到峰度定理[5]：若滿足條件則：②當(dāng)且僅當(dāng)向量 s (n)滿足置零條件時，定理說明在達到收斂之前，均衡器輸出信號峰度的絕對值小于源信號峰度的絕對值，當(dāng)且僅當(dāng)達到收斂時相等。均衡的充要條件是x (n)和x～ (n) 具有相同的方差和峰度絕對值，當(dāng)峰度定義為四階歸一化累積量時，等價為信號 x (n)和均衡所得信號 x～ (n)的四階歸一化累積量相等。這是CMA算法的理論依據(jù)，也是本文選擇峰度誤差作為控制均衡器系數(shù)調(diào)整因子的理論依據(jù)。

采用電容器串聯(lián)補償技術(shù)能有效提高線路末端電壓，達到調(diào)壓目的，特別是對功率因數(shù)較低、負荷波動較大的線路具有顯著的效果。根據(jù)以上分析可知，影響串補技術(shù)效果的因素中，線路阻抗、線路容量、功率因素均為線路本身信息，在串補裝置加入前為定值，因此在具體實施過程中，要達到串補裝置電壓調(diào)節(jié)的最優(yōu)結(jié)果，需綜合考慮安裝位置和補償度。

2.3 離散MPSK信號峰度的估計特性

顯然上一節(jié)中信號峰度定義是基于連續(xù)信號的，但是離散信號在處理和設(shè)計實現(xiàn)中具有明顯的優(yōu)越性。根據(jù)連續(xù)信號的峰度定義和功率譜密度可計算出不同信號的峰度[4]。對于MPSK信號，k4'為?1。那么離散信號中，究竟多少點信號才能夠較為準(zhǔn)確地反映信號的峰度特征呢？仿真圖見圖1(為理解方便，給出了8PSK信號峰度統(tǒng)計的誤差曲線)。

圖1 8PSK信號峰度的統(tǒng)計

仿真表明，峰度的統(tǒng)計長度為60點時統(tǒng)計誤差在5%以內(nèi)，100點時則可以達到1%左右。本文使用信號峰度統(tǒng)計的目的是：刻畫均衡器輸出信號的“質(zhì)量”，以控制均衡器系數(shù)更新的步長，同時又要考慮跟蹤信道變化的能力。取統(tǒng)計誤差小于5%的統(tǒng)計長度，選擇信號峰度的統(tǒng)計長度為60點，這樣的精度在精確統(tǒng)計信號的峰度時誤差較大，但本文使用峰度作為步長因子的調(diào)節(jié)，只要能夠反映信號的變化趨勢就可以了。計算信號的峰度時，如果每次重新計算所有變量，那么計算量是比較大的，觀察可知有大量的中間結(jié)果是可以利用的。

3 仿真參數(shù)設(shè)定

國際電信聯(lián)盟(International Telecommunication Union，ITU)推薦Watterson模型為短波語音信道調(diào)制解調(diào)器設(shè)計和性能測試的標(biāo)準(zhǔn)信道模型[6]，美軍標(biāo)對串行體制調(diào)制解調(diào)器測試性能提出了要求[7]。

短波信道串行體制數(shù)據(jù)通信采用經(jīng)格雷編碼的8PSK，符合恒模特征[7]。由于CMA 只根據(jù)接收信號的幅度調(diào)整均衡器，輸出可能存在固定相位差，直觀表現(xiàn)就是星座旋轉(zhuǎn)，后接一鎖相器或者采用差分調(diào)制即可解決，顯然后者實現(xiàn)較為簡單可靠，因而采用D8PSK 調(diào)制。選用51階平方根升余弦脈沖成型濾波器作為脈沖成型和匹配濾波器，滾降系數(shù)為0.25[8]。單載波通信系統(tǒng)的恒模盲均衡器多采用中心初始化，均衡器階數(shù)的經(jīng)驗值為信道長度的3～5 倍[9]。短波串行體制通信波特率為2 400，本文考慮的最大延時為2 ms，5 倍延時對應(yīng)的延遲為24 Baud，加上中心初始化，取均衡器的長度為25。固定步長恒模算法均衡器步長因子μ的優(yōu)化值為是信號星座點的復(fù)數(shù)集，μ 取μ0/200，在收斂過程中每10 000點步長因子除以2[10]。

4 仿真分析

4.1 固定步長恒模算法

均衡器收斂速度和殘余誤差是兩個相互制約的因素，為了充分揭示步長對收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的影響，設(shè)多普勒擴展為0，令步長相差10 倍。信道多徑延遲為2 ms，且兩路信號的平均功率相等，加性高斯白噪聲 17 dB，步長為mu_max/2，其中mu_max 定義為保證均衡器收斂的最大值[10]。時間為3 s，取1 000次運行均值，仿真圖見圖2。

圖2 大固定步長恒模均衡器的仿真

由圖2知，均衡器收斂約需900點，收斂后信號峰度約為?0.81。均衡器輸出信號峰度曲線與誤碼率的收斂趨勢一致，也說明了均衡器輸出信號峰度能夠表征均衡器收斂的特性。減小固定步長，取步長為mu_max/20，其余參數(shù)不變時的仿真圖見圖3。

圖3 小固定步長恒模均衡器的仿真

由此可知，使用固定步長的均衡器時，步長小時收斂速度慢但穩(wěn)態(tài)誤差小，步長大時收斂快但穩(wěn)態(tài)誤差大。固定步長均衡器的步長選擇必須十分謹慎，對于不同程度多徑延遲和多普勒擴展，對應(yīng)著不同的優(yōu)化步長。在固定信道均衡器中，由于介質(zhì)的固有特性變化不大，可以針對不同環(huán)境選擇一個最優(yōu)值，然而，在無線信道中信號傳播路徑情況比較復(fù)雜且是時變的，因此，有必要選取適應(yīng)于不同信道參數(shù)的步長自適應(yīng)控制方式。

4.2 基于均衡器輸出信號峰度誤差的變步長恒模算法

均衡器收斂速度和收斂后的殘余誤差是兩個相互制約的因素，采用固定步長只能在這兩種性能之間進行權(quán)衡。而采用某種函數(shù)或者信號特征的某種統(tǒng)計量來控制均衡器的步長，期望獲得較快的收斂速度和較小的收斂誤差。對于PSK信號，期望信號峰度為?1，那么用輸出信號峰度與期望信號峰度差值的某個函數(shù)，調(diào)節(jié)均衡器的步長，從信號峰度的意義上來說，均衡的過程就是把將信號的峰度從超高斯和高斯向期望的亞高斯峰度逼近的過程。

接收信號的峰度計算較為復(fù)雜且意義不大，但是經(jīng)過均衡后信號的峰度可以作為CMA算法收斂的量度[4]。就是說均衡器輸出信號的峰度統(tǒng)計可作為均衡器工作性能的量度，那么也就可以作為均衡算法搜索步長的控制因子，因為信號峰度與源信號理想峰度相差越大，均衡器距收斂狀態(tài)越遠，需要更新步長就越大，以加快收斂速度；相反，信號峰度與源信號理想峰度相差越小，均衡器距收斂狀態(tài)越進近，需要更新步長就越小，以免較大的振蕩。因此，采用信號的峰度誤差控制均衡系數(shù)更新步長，控制均衡輸出信號峰度向期望值逼近的速度。

本文使均衡器的步長與信號峰度誤差成正比，控制均衡輸出信號峰度向期望值逼近的速度。

采用均衡器輸出信號誤差的函數(shù)κ×mu_max×(k urtosis?g)作為步長。其中，kurtosis為均衡器輸出信號的峰度，g為信號的期望峰度值，mu_max為可保證均衡器收斂的最大步長[10]，κ為小于1的常數(shù)因子。此時算法可稱為變步長恒模算法(Vary Step Constant Modulus Algorithm，VSCMA)。必須要說明的是步長軌跡中的前60點是常數(shù)，因為此時尚處于啟動峰度統(tǒng)計的窗長之內(nèi)，步長為一個固定值。仿真圖見圖4。

圖4 變步長恒模均衡器的仿真

κ 取值為0.5時均衡器輸出信號的峰度曲線，峰度值達到?0.8需要 1 000點，收斂后峰度為?0.9±0.1范圍振動。步長變化軌跡與均衡器輸出信號峰度曲線存在線性函數(shù)關(guān)系，與采用的變步長函數(shù)相對應(yīng)。

相比于固定步長均衡器，均衡器輸出信號星座圖更加清晰，從均衡器輸出信號的峰度向理想峰度逼近的曲線可以看出，達到相同均衡器輸出信號峰度的速度明顯加快。這是因為固定步長的均衡器為了保證全局收斂和收斂后的穩(wěn)定性，必須采用相對較小的步長。而變步長均衡器在初期采用較大的步長，以加速收斂，接近收斂點時采用較小的步長以減小穩(wěn)態(tài)誤差。變步長均衡器改善了固定步長的缺點，依據(jù)均衡器輸出信號的“質(zhì)量”來調(diào)整均衡器的步長，在偏離大時采用較大的步長以加快收斂，在偏離小時采用較小的步長，以降低收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差，仿真表明一定程度上緩解了固定步長必須在收斂速度和剩余誤差之間權(quán)衡的矛盾。

5 結(jié)論

固定步長的恒模盲均衡器存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上的矛盾。依據(jù)峰度定理，盲均衡器輸出信號的峰度小于等于源信號的，且只有達到收斂時兩者相等，本文提出用均衡器輸出信號峰度誤差控制步長的變步長恒模算法，仿真表明，變步長均衡器能夠一定程度克服收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。

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