復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈研究

楊涵新， 汪秉宏

（1.福州大學(xué)物理系，福州 350002；2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系，合肥 230026；3.上海理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)研究中心，上海 200093）

博弈論，又稱對策論，主要研究具有形式激勵結(jié)構(gòu)的個體之間的相互作用.博弈論作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支，目前廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、計算機科學(xué)、政治學(xué)、軍事戰(zhàn)略等諸多學(xué)科［1－2］.1944年，匈牙利數(shù)學(xué)家Neumann和經(jīng)濟學(xué)家Morgenstern合作出版了劃時代巨著《博弈論與經(jīng)濟行為》［3］，奠定了博弈論的基礎(chǔ)和理論體系.20世紀50年代，美國數(shù)學(xué)家Nash提出了著名的納什均衡［4］，它是指自私個體在相互作用過程中達到的一種均衡狀態(tài)，這種狀態(tài)下沒有個體可以通過單方面改變自己的策略而增加收益.納什均衡的提出極大地推動了博弈論的研究和發(fā)展.

通常博弈由4部分組成：至少有兩位博弈個體；每個博弈個體都有自己的博弈策略；當(dāng)博弈個體選擇好策略后，按照一定的博弈規(guī)則進行博弈并據(jù)相應(yīng)的收益函數(shù)獲得收益；在博弈過程中，博弈個體遵循自身收益最大化的最終目標，進行策略上的調(diào)整.

經(jīng)典博弈理論認為個體具有完全的理性，它們根據(jù)對收益函數(shù)的分析，一步到位地選擇符合納什均衡的最佳策略.但是在現(xiàn)實復(fù)雜環(huán)境中，人的理性是有局限的，即使再聰明的人也會犯錯誤.同時，在生物的成長與漫長的進化過程中，個體通常無法清晰了解環(huán)境，它們只有通過不斷地試錯來適應(yīng)環(huán)境，也就是說，均衡狀態(tài)不是一蹴而就達到的.因此，生物學(xué)家將生物進化論中的自然選擇和遺傳變異機制引入博弈論中，提出了演化博弈理論［5］，力圖解釋上述經(jīng)典博弈論無法解答的問題.演化博弈理論著重研究有限理性的個體如何隨著時間的推移在不斷地重復(fù)博弈過程中去實現(xiàn)收益最大化.

在自然界和人類社會中，合作行為普遍存在，如獅群協(xié)作捕獵、人類社會大規(guī)模地生產(chǎn)活動等等.從大的方面來看，世界的和平與發(fā)展、地球的環(huán)境保護都離不開各國之間的相互協(xié)作.但是在一個群體中，并不是所有的個體都會采取合作的行為.由于個體存在一定的自私心理，有些人會采取不合作（背叛）的行為.如何理解自私個體之間合作行為的產(chǎn)生和維持受到了各領(lǐng)域科學(xué)家的廣泛關(guān)注［6－8］.目前，演化博弈理論被認為是研究合作行為的一個最有力的手段［9］.常見的研究合作行為的演化博弈模型有囚徒困境博弈［10］、鏟雪博弈［11］和公共品博弈［12］等.

長期以來，在演化博弈理論中通常假設(shè)個體以均勻混合的方式進行聯(lián)系，即所有個體全部相互接觸或者個體隨機接觸.然而，現(xiàn)實生活中個體之間的聯(lián)系并非是全耦合或者完全隨機的，而是具有特定的聯(lián)系方式.1992年，Nowak和May研究了二維方格上的囚徒困境博弈［13］，開創(chuàng)了網(wǎng)絡(luò)演化博弈研究的先河.最近十年來，隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的興起［14－15］，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈研究受到了廣泛的關(guān)注，取得了許多重要的進展［16－17］.本文將對前人這方面的工作做一綜述，以期對未來的研究有所啟迪.

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈模型簡介

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的囚徒困境博弈和鏟雪博弈中，初始時候每個個體（節(jié)點）以相同的概率1／2選擇合作或者背叛策略.每輪博弈中，每個個體同時和周圍的直接鄰居進行博弈獲取收益.如果兩個人都采取合作策略，則兩個人都得到R的收益.如果兩個人都采取背叛策略，則兩個人分別得到P的收益.如果一個合作一個背叛，那么合作者將得到收益S，背叛者得到收益T.在囚徒困境博弈中，這4個收益參數(shù)的排序為T＞R＞P＞S.但是在鏟雪博弈中，收益參數(shù)的排序變?yōu)門＞R＞S＞P.為了研究上的方便，囚徒博弈收益參數(shù)通常設(shè)定為［13］R＝1，P＝S＝0，T＝b＞1，鏟雪博弈收益參數(shù)通常設(shè)定為［18］R＝1，S＝1－r，T＝1＋r，P＝0 （0＜r＜1）.人們通常把b和r稱為“背叛誘惑”（temptation to defect）參數(shù).

每輪博弈結(jié)束后，每個個體根據(jù)某種更新規(guī)則進行策略更新，并把更新后的策略作為自己下一輪博弈中采取的策略.在通常情況下，經(jīng)過足夠長的時間演化后，系統(tǒng)會達到一個相對穩(wěn)定狀態(tài)，即網(wǎng)絡(luò)中合作者的比例趨于穩(wěn)定.穩(wěn)定狀態(tài)網(wǎng)絡(luò)中合作者的比例通常被稱為合作頻率，是衡量系統(tǒng)合作水平的重要指標.

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的公共品博弈中，初始時候，網(wǎng)絡(luò)中給每個節(jié)點以相同的概率1／2隨機地賦予合作或者背叛策略.每個時間步，網(wǎng)絡(luò)上的每一個點i參與以它自己為中心及以它的鄰居為中心的ki＋1個群體的博弈.這里所說的一個群體是由一個中心節(jié)點及其周圍的鄰居構(gòu)成.每個合作者i給每個群體分別投入1／（ki＋1）的資本（也就是說，合作者i投入的總資本為1），背叛者不投入任何成本.在每一個群體中，獲得的總資本為該群體中所有合作者投入資本的總和，群體的總資本會增值（增值系數(shù)設(shè)為r），升值后的收益平均分配給該群體中的每個點.根據(jù)這樣的收益分配規(guī)則，節(jié)點x參與以節(jié)點y為中心的群體時，從這個群體獲得的收益為

這里的i＝0代表節(jié)點y，si是與y相連的節(jié)點i的策略（si＝1表示節(jié)點i是合作者，si＝0表示節(jié)點i是背叛者），ki是節(jié)點i的度.節(jié)點x的總收益Mx為它從所參加的各個群體獲得的收益之和

這里的Ωx包括節(jié)點x及其周圍的鄰居.

與囚徒困境博弈和鏟雪博弈類似，在公共物品博弈中，個體也是根據(jù)某種更新規(guī)則不斷調(diào)整自己的策略.

網(wǎng)絡(luò)演化博弈中通常采用的策略更新規(guī)則有：

a.最優(yōu)者替代［13］某個個體模仿周圍鄰居（包括他本人）在此輪博弈中獲得最高平均收益的個體，以其策略作為自己在下輪博弈的策略.

b.較好者擁有替代機會［18－19］每個個體隨機地選擇周圍一個鄰居進行收益比較.如果他的收益比被選擇的鄰居高，那么他保持自己策略不變.如果他的收益比被選擇的鄰居低，則他會以一定的概率選擇該鄰居的策略作為下一輪博弈的策略.

c.依賴收益差別的策略學(xué)習(xí)［20］每個個體隨機地選擇周圍一個鄰居進行收益比較.他的收益比被選擇鄰居的收益越高（越低），則他選擇該鄰居的策略作為下一輪博弈策略的概率就越低（越高）.

2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響

在相同的策略更新規(guī)則下，不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)會影響系統(tǒng)的合作水平.

在全連接網(wǎng)絡(luò)的囚徒困境博弈中，合作者的收益始終比背叛者低，因此群體的所有個體最終都會成為背叛者.Nowak和May發(fā)現(xiàn)，在二維格子的囚徒困境博弈中，合作者通過形成團簇結(jié)構(gòu)可以有效地抵御背叛者的入侵［13］.在合作簇內(nèi)部，合作者通過相互協(xié)作獲得很高的收益，從而保護合作簇內(nèi)部的合作者不被外面的背叛者所取代.

Santos等發(fā)現(xiàn)，相比于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上比較低的合作頻率，無標度網(wǎng)絡(luò)上的囚徒困境、鏟雪和公共物品博弈都能出現(xiàn)非常高的合作水平［19－21］.他們的研究表明，無標度網(wǎng)絡(luò)上幾乎所有的大度節(jié)點在演化博弈過程中逐漸會被合作者所占據(jù).由于大度節(jié)點通常擁有比小度節(jié)點更多的收益，無標度網(wǎng)絡(luò)中的許多小度節(jié)點將模仿大度節(jié)點的合作策略，從而導(dǎo)致很高的合作頻率.

Tang等研究了網(wǎng)絡(luò)平均度對于囚徒困境博弈中合作行為的影響［22］，發(fā)現(xiàn)適中的網(wǎng)絡(luò)平均度能最好地促進合作.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)平均度很大時候，系統(tǒng)近似于全連接的情況，這個時候合作者的收益始終比背叛者低，合作行為無法存在.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)平均度很小的時候，合作者周圍鄰居過少，導(dǎo)致合作簇內(nèi)部合作者的收益不高，也抑制了合作.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)平均度適中的時候，合作簇內(nèi)部合作者的收益比較高，能有效地抵御外部背叛者的入侵.

Rong等研究了度度相關(guān)性對于囚徒困境博弈中合作行為的影響［23］.發(fā)現(xiàn)相比于隨機相配網(wǎng)絡(luò)，在背叛誘惑參數(shù)值低的時候正配合網(wǎng)絡(luò)抑制合作，而在背叛誘惑參數(shù)值高的時候負配合網(wǎng)絡(luò)能夠促進合作.在正配合網(wǎng)絡(luò)中，大度節(jié)點之間的連接很多，在演化的初始階段，由于背叛的大度節(jié)點獲得比合作的大度節(jié)點更多的收益，因此合作的大度節(jié)點容易采取背叛大度節(jié)點的策略，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中所有的大度節(jié)點迅速被背叛者所占據(jù)，從而降低了網(wǎng)絡(luò)的合作水平.在負配合網(wǎng)絡(luò)中，大度節(jié)點之間的連接很少，合作的大度節(jié)點的周圍節(jié)點采取合作策略，而背叛的大度節(jié)點的周圍節(jié)點采取背叛策略，這樣一來，當(dāng)背叛誘惑參數(shù)值高的時候，網(wǎng)絡(luò)中的合作者依然會在合作的大度節(jié)點周圍存活下來.

Rong等還研究了聚類系數(shù)可調(diào)的無標度網(wǎng)絡(luò)上的公共品博弈［24］.他們的研究發(fā)現(xiàn)，隨著聚類系數(shù)的增大，網(wǎng)絡(luò)的合作頻率提高.公共品博弈是一種群體性博弈，個體不僅參與以自己為中心的群體博弈，還參加以其鄰居為中心的群體博弈.因此在公共品博弈中，個體的收益不僅和鄰居的策略有關(guān)，而且和鄰居的鄰居策略有關(guān).高聚類的網(wǎng)絡(luò)中會有大量的三角構(gòu)造（一個節(jié)點及其周圍的兩個相互連接的鄰居），使得公共品博弈中的合作簇（相互連接的合作者組成的集團）獲得更高的收益，從而有效地促進合作行為在整個網(wǎng)絡(luò)中的擴散.

Ren等研究了均質(zhì)小世界網(wǎng)絡(luò)上的囚徒困境博弈［25］.他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的交叉換邊比例適中的時候（此時網(wǎng)絡(luò)中即有短程連邊也有遠程連邊），網(wǎng)絡(luò)的合作水平達到最高.網(wǎng)絡(luò)中短程連邊的存在，使相臨近的合作者能形成穩(wěn)定的合作簇，同時，適當(dāng)比例的長程邊，有利于合作者在網(wǎng)絡(luò)中進行大范圍擴散.

3 策略更新規(guī)則的影響

在相同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上，設(shè)計不同的博弈策略演化規(guī)則會很大程度地影響系統(tǒng)合作行為的表現(xiàn).

Wang等提出了基于記憶的鏟雪博弈［26］.每輪博弈結(jié)束后，每個個體會根據(jù)鄰居上一時刻的策略進行反思，即采取自己的反策略做一次虛擬博弈，從而得到虛擬收益，然后將真實收益與虛擬收益進行比較，得到所對應(yīng)的最佳策略，并將其記錄到該個體的記憶中.在之后的博弈中，個體會根據(jù)前幾輪所存儲的記憶，決定采取何種策略.研究發(fā)現(xiàn)，二維網(wǎng)絡(luò)上合作頻率和收益參數(shù)r之間具有分段式的臺階關(guān)系，在某些r值附近，合作頻率會從一個值突變到另外一個值.

Szolnoki等［27］和Guan等［28］研究被模仿能力對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化博弈的影響.他們把個體分為A、B兩類.A類個體的被模仿能力比B類個體高，表示A類個體的策略比B類個體更容易被別人所模仿.在策略演化時，個體i采取鄰居j的概率，不但與兩者的收益差有關(guān)，而且正比于鄰居的被模仿能力.設(shè)網(wǎng)絡(luò)中A類個體的比例為v，他們發(fā)現(xiàn)存在適中比例的v，使得網(wǎng)絡(luò)的合作頻率達到最高.

Wang等提出了一種最差者改變策略的演化規(guī)則［29］.每輪鏟雪博弈結(jié)束后，網(wǎng)絡(luò)中收益最低的個體將會改變自己的策略，而網(wǎng)絡(luò)的其他個體保持策略不變.通過先逐漸增大后逐漸減小收益參數(shù)r，他們發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的合作頻率與收益參數(shù)r之間的關(guān)系曲線呈現(xiàn)遲滯回線的形狀.

在通常的網(wǎng)絡(luò)演化博弈研究中，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點隨機地選擇其中一個鄰居進行策略學(xué)習(xí).也就是說，節(jié)點選擇哪個鄰居進行策略模仿是沒有任何偏好的.Yang等考慮社會差異性對于選擇鄰居的影響［30］.由于社會差異性的存在，每個節(jié)點的影響力是不同的.設(shè)定每個節(jié)點i的影響力為kαi，其中α是一個可調(diào)參數(shù).當(dāng)α＝0時候，網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點的影響力都是相同的，當(dāng)α＞0（或者α＜0）時候，度大（或者度?。┑墓?jié)點的影響力比較大.節(jié)點x選擇一個鄰居y進行策略更新的概率正比于節(jié)點y的影響力，即

節(jié)點x采取節(jié)點y的策略作為自己下一時間步策略的概率為

式中，κ為噪音參數(shù)（設(shè)定κ＝0.1）.節(jié)點x保持自己策略不變的概率為1－W（sx→sy）.研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α是一個適中的正值的時候，網(wǎng)絡(luò)的合作頻率最高.這個結(jié)果表明，當(dāng)大度節(jié)點的影響力適當(dāng)大的時候，能夠促進系統(tǒng)的合作.

此外，Szabó等研究策略更新規(guī)則中噪音κ的作用［31］，發(fā)現(xiàn)適中的噪音強度能使網(wǎng)絡(luò)的合作頻率達到最高.Wu等將博弈關(guān)系對象和策略學(xué)習(xí)對象分離開［32］，發(fā)現(xiàn)當(dāng)博弈關(guān)系對象和學(xué)習(xí)對象之間存在一定的差異性的時候，可以最好地促進合作.

4 演化博弈動力學(xué)與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的共同演化

在通常的網(wǎng)絡(luò)博弈研究中，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是靜態(tài)不變的.近年來，人們開始關(guān)注在演化動力學(xué)的影響下，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)是如何變化的.

Zimmermann等提出了一個動態(tài)網(wǎng)絡(luò)囚徒困境博弈模型［33－34］：從一個ER隨機網(wǎng)絡(luò)開始，每輪博弈中個體與直接相連的鄰居進行囚徒困境博弈，它們會采納周圍鄰居（包含自己）中收益最高者的策略作為下一輪博弈.如果一個背叛者發(fā)現(xiàn)它模仿的鄰居是背叛者，并且收益比自己高，則這個不滿意的個體會以概率p斷開與被模仿的背叛者之間的邊，重新在網(wǎng)絡(luò)中隨機選擇一個節(jié)點連接.他們的研究結(jié)果顯示，只需要一個很小的概率p就可以使動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的合作頻率達到一個很高的值.這是因為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點會不斷拋棄那些背叛節(jié)點，而和合作節(jié)點建立聯(lián)系，從而使合作節(jié)點的度增大，成為網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點，進而促進整個網(wǎng)絡(luò)合作水平的提高.

Li等提出了一種由演化博弈驅(qū)動生成的無標度網(wǎng)絡(luò)型［35］.初始時候，在一個方格網(wǎng)絡(luò)上，每個節(jié)點擁有一個活動的長程邊，每個節(jié)點可以控長程邊的另一端指向期望的節(jié)點.節(jié)點進行按照囚徒困境博弈，策略更新時個體x將它的收益與鄰居中收益最高者y進行比較，如果y鄰居收益高則采納其策略.同時，x把它擁有的長程邊連向y擁有的長程邊所指向的節(jié)點.隨著時間演化，網(wǎng)絡(luò)的度分布呈現(xiàn)無標度特性.

Helbing等提出的成功驅(qū)動的博弈模型［36］.在其模型中，博弈個體分布在一個二維方格上，個體會遷移到周圍中能使其收益最高的格點上.他們發(fā)現(xiàn)，即使初始所有人都是背叛者，在一定的噪音情況下（個體的策略會以一定概率重置），隨著時間演化，合作行為會出現(xiàn)突然爆發(fā)的現(xiàn)象，即在很短的一段時間內(nèi)，合作者比例迅速增加.

Meloni等［37］在一個二維的連續(xù)空間上，考慮博弈個體隨機移動的情況.在他們研究的模型中，每個時間步，每個個體與其周圍一定距離內(nèi)的其他個體進行囚徒困境博弈，隨后以速度v隨機地移動到另外一個地方.他們研究發(fā)現(xiàn)，隨著個體移動速度v的增大，合作頻率降低.

Yang等研究了預(yù)期導(dǎo)致的移動在演化博弈中的作用［38］.個體與周圍鄰居進行囚徒困境博弈獲得收益，當(dāng)個體獲得的收益低于它的預(yù)期的時候，它將隨機地遷移到另外一個地方.研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)預(yù)期適中的時候，背叛簇內(nèi)部的背叛者由于收益低于預(yù)期產(chǎn)生移動，而合作簇內(nèi)部的合作者由于收益高于預(yù)期保持不動，導(dǎo)致背叛簇的瓦解和合作簇的擴張，使合作行為在整個群體中得以蔓延.預(yù)期過低和過高的時候，都不利于合作行為的擴散.預(yù)期過低，個體很少進行移動，使得合作簇和背叛簇能同時穩(wěn)定存在.預(yù)期過高，由于個體的頻繁移動，無法形成穩(wěn)定的合作簇，導(dǎo)致合作者的滅亡.

5 展 望

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈研究是近年來隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究興起而逐漸引起關(guān)注的一個重要研究課題.基于前人研究工作的基礎(chǔ)，作者對未來復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈研究方向做一個展望.

a.前人主要利用數(shù)值仿真手段對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈進行研究，缺乏嚴格的解析分析.目前的一些近似方法，如平均場方法、對估計方法無法解決異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈問題.因此尋求有效的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計物理方法，對數(shù)值模擬結(jié)果進行理論分析，是非常有意義的.

b.之前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈研究中，個體通常單純地使用合作或者背叛策略.然而，演化博弈的研究，尤其是實驗研究表明，真實世界中的個體會采用更豐富的策略（如中立策略等），而不僅僅只限于純合作和純背叛兩種.多策略的演化博弈是未來研究的焦點.

c.目前，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈研究絕大部分都是在單個網(wǎng)絡(luò)上進行的.實際上復(fù)雜系統(tǒng)是由許多具有不同結(jié)構(gòu)與功能的網(wǎng)絡(luò)耦合而成的［39］.例如，在線社交網(wǎng)絡(luò)中的個體是通過互聯(lián)網(wǎng)進行聯(lián)系的，而互聯(lián)網(wǎng)又需要電力網(wǎng)提供的電力支持.多層耦合網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈是一個創(chuàng)新型的研究課題，具有廣闊的發(fā)展空間.

d.大多數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化博弈研究中，個體的策略演化不受外界人為的控制.如何通過調(diào)控復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)節(jié)點或者邊上的個體行為，從而使整個系統(tǒng)的合作水平得到提高，是一個具有實踐意義的研究課題.

e.演化博弈與其它動力學(xué)的結(jié)合是未來研究的焦點.例如，個體接種疫苗可以預(yù)防疾病的感染，但是接種疫苗也會帶來一定的經(jīng)濟成本.可將是否選擇接種疫苗看作是兩種不同的策略，根據(jù)博弈理論的一些研究方法，對個體是否選擇疫苗進行分析［40］.再比如，利用演化博弈理論研究車輛是否搶道對交通的影響.

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