瑞利索莫菲衍射與物理光學(xué)積分的應(yīng)用比較

梁 彬 白 明 金 銘 苗俊剛

(北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100191)

近年來，隨著微波技術(shù)的發(fā)展，無線電系統(tǒng)的工作頻率逐漸升高，使得傳統(tǒng)基于無線電波理論體系和光學(xué)理論體系之間的界限逐漸模糊.特別在處理毫米波、亞毫米波的各種電磁場(chǎng)問題時(shí)，人們開始嘗試?yán)霉鈱W(xué)領(lǐng)域中的理論和方法來解決，并出現(xiàn)了準(zhǔn)光學(xué)［1－4］等交叉學(xué)科以適應(yīng)新要求的分析方法體系.

相干電磁場(chǎng)傳播的衍射計(jì)算一直以來在不同的領(lǐng)域有著不同的理論和處理方法.除了波長或頻率的巨大差別，光學(xué)領(lǐng)域與無線電領(lǐng)域分別采用不同的衍射積分公式處理具有相同物理過程的電磁波衍射問題.在光學(xué)理論體系中，瑞利索莫菲(RS，Rayleigh-Somerfield)標(biāo)量衍射理論是處理光場(chǎng)傳播的基本理論［5－6］.而在電磁波的相對(duì)低頻波段，即無線電波頻段，計(jì)算電磁場(chǎng)的傳播問題時(shí)，采用的則是出發(fā)點(diǎn)不同的物理光學(xué)計(jì)算方法［7－11］.需要說明的是，這里的物理光學(xué)，不是對(duì)光學(xué)的描述，而是經(jīng)典的無線電波領(lǐng)域處理衍射的矢量積分方法.

盡管上述兩種電磁場(chǎng)計(jì)算方法各自已經(jīng)非常成熟，針對(duì)準(zhǔn)光學(xué)電磁計(jì)算技術(shù)的發(fā)展的需要，本文對(duì)光學(xué)RS標(biāo)量衍射積分和物理光學(xué)積分方法進(jìn)行了對(duì)比和分析.首先討論二者依據(jù)不同出發(fā)點(diǎn)得到的最終積分公式在形式上的一致性與區(qū)別，然后結(jié)合數(shù)值仿真的算例，討論RS積分公式在處理高頻微波波段電磁場(chǎng)傳播中的應(yīng)用.

1 物理基礎(chǔ)

1.1 RS標(biāo)量衍射積分

RS標(biāo)量衍射積分是光波頻段經(jīng)典的衍射計(jì)算方法，是被廣泛采用的計(jì)算和分析光學(xué)傳播的基本方法，其典型應(yīng)用是計(jì)算薄屏遮擋后光的衍射場(chǎng).RS衍射積分公式的基礎(chǔ)是單色波標(biāo)量場(chǎng)滿足亥姆霍茲(Helmholtz)方程［12］，在推導(dǎo)過程中，構(gòu)建特定的空間格林函數(shù):

利用格林定理的數(shù)學(xué)關(guān)系得到最終的積分方程.與基爾霍夫衍射理論不同的是，RS衍射理論所選取的格林函數(shù)消除了基爾霍夫衍射理論中的不自洽性，但二者沒有本質(zhì)的區(qū)別，只在數(shù)學(xué)上有不同的處理方法.已經(jīng)證明，兩者只在衍射距離在波長量級(jí)上解才有差別［13］.總之，RS積分公式作為標(biāo)量衍射積分理論，可以得到相當(dāng)精確的衍射結(jié)果.

1.2 物理光學(xué)積分

物理光學(xué)積分方法源自斯特拉頓-朱蘭成(SC，Stratton-Chu)積分方程［7］，是處理無線電波波段電磁散射問題的重要和經(jīng)典的方法.SC方程也被稱為場(chǎng)方程的直接積分，物理上是將電磁場(chǎng)的真實(shí)場(chǎng)源(電荷、電流和磁荷、磁流)與電場(chǎng)或磁場(chǎng)通過一個(gè)積分方程聯(lián)系起來，可以通過求解積分方程得到電磁場(chǎng)的精確解.作為一種典型的高頻近似算法，在散射體尺寸遠(yuǎn)大于波長時(shí)［9］，物理光學(xué)法用切向平面來近似積分中的等效源分布，從而通過積分公式求解電磁場(chǎng)的分布.在SC方程推導(dǎo)過程中，場(chǎng)源與電磁場(chǎng)之間通過位函數(shù)連接在一起，其中使用了空間格林函數(shù):

這一空間格林函數(shù)從而在交變場(chǎng)中將電流、磁流與磁矢位、電矢位聯(lián)系了起來.

1.3 二者的比較

物理概念上，兩種積分方法都源自格林函數(shù)，即通過積分求理想點(diǎn)源在各特定邊界條件的傳播解.而區(qū)別在于，二者采用了形式不同的格林函數(shù)，因此兩種方法的數(shù)學(xué)形式有所不同.但是，其中最重要的區(qū)別在于物理光學(xué)法的輻射源是物理上實(shí)際存在的矢量電(磁)流源，而RS積分則以自由空間電磁波的場(chǎng)分布為次級(jí)波傳播的波源.事實(shí)上自由空間的電磁波可以根據(jù)等效原理等效為電(磁)流源，因此在自由空間電磁波情況下，無線電波波段的物理光學(xué)積分法與RS衍射積分法從不同的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)該得到相同的電磁波計(jì)算公式.另一方面，物理光學(xué)積分比RS積分有著更一般的適用范圍.不僅在矢量與標(biāo)量的區(qū)別上，特別在當(dāng)電場(chǎng)與磁場(chǎng)不滿足空間波阻抗或等相位關(guān)系時(shí)，物理光學(xué)積分可以分別計(jì)算電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)波傳播的貢獻(xiàn)，然后再相干疊加，而RS積分方法對(duì)單一場(chǎng)分量進(jìn)行計(jì)算將不能得到正確的結(jié)果.

2 數(shù)學(xué)形式

盡管二者在自由空間電磁波傳播情況下的物理概念上有必然的統(tǒng)一，但具體公式形式上仍有需要注意的差別.本文以自由空間中電磁場(chǎng)的傳播問題為例進(jìn)行說明.考慮平行平面間的電磁場(chǎng)傳播:由已知的平面場(chǎng)分布得到傳播后其它位置處的平面場(chǎng)分布［14］，如圖1所示.本文將利用RS積分公式和物理光學(xué)積分公式分別來進(jìn)行處理該衍射問題，以作對(duì)比.

圖1 平行平面場(chǎng)點(diǎn)位置關(guān)系示意圖

首先采用RS衍射積分方法計(jì)算上述口面電磁場(chǎng)分布.由于這是標(biāo)量積分，將針對(duì)某一切向場(chǎng)分量(如Ex或Ey)的電磁場(chǎng)分布進(jìn)行計(jì)算，具體RS衍射積分公式為

若采用物理光學(xué)積分公式，根據(jù)等效原理，將已知口面處的切向電場(chǎng)分布等效為表面磁流，進(jìn)而利用SC方程積分求解，可以得到

對(duì)式(4)進(jìn)行矢量展開得到各分量的積分公式

在數(shù)學(xué)推導(dǎo)上，造成二者最終差別的原因是二者使用的格林函數(shù)中點(diǎn)源波傳播方向的約定不同，但是沒有本質(zhì)的區(qū)別.

3 實(shí)際應(yīng)用的比較

以高斯波束的傳播為例，定義最小束腰處的高斯分布，以向前傳播一定距離處的場(chǎng)分布的解析解作為源分布，在此基礎(chǔ)上分別應(yīng)用RS衍射積分公式和物理光學(xué)積分公式做進(jìn)一步的傳播計(jì)算，如圖2所示.

圖2 以高斯波束傳播為基準(zhǔn)的仿真示意圖(單位:m)

圖2中源平面和計(jì)算目標(biāo)平面平行于坐標(biāo)平面xoy，計(jì)算參數(shù)選擇為:頻率f=10.65GHz(波長λ≈0.028m)，傳播距離 6.0m(約為 213λ)，高斯饋源口面大小為103λ×103λ.設(shè)一個(gè)切向場(chǎng)分量(以Ex為例)為高斯基模分布，另一個(gè)切向場(chǎng)分量為0.z=0處高斯波束束腰為 ω(0)=7.1λ，采樣間隔d s=λ/3.5.不失一般性，以下只針對(duì)切向場(chǎng)分量Ex進(jìn)行仿真計(jì)算，同時(shí)選取高斯波束傳播的解析解作為參考.

圖3給出了高斯波束傳播至z=6.0m處解析解的場(chǎng)分布.按照?qǐng)D2的模型以此為計(jì)算源，分別使用式(3)和式(5)，來計(jì)算波束傳播至z=12.0m處的Ex分量場(chǎng)分布，計(jì)算結(jié)果如圖4和圖5所示.

圖3 高斯波束傳播至z=6.0m處的解析解

圖4 物理光學(xué)積分公式計(jì)算z=12.0m處的場(chǎng)分布

圖5 衍射積分公式計(jì)算z=12.0m處的場(chǎng)分布

兩種不同方法的積分計(jì)算，目的都是得到z=12.0m處的場(chǎng)分布.然而通過計(jì)算結(jié)果與圖6和圖7所示的高斯波束傳播解析解對(duì)比發(fā)現(xiàn):物理光學(xué)積分公式完成了預(yù)期的任務(wù)，而RS衍射積分公式則是進(jìn)行了一次“倒推”的計(jì)算，即由z=6.0m處的場(chǎng)分布倒推得到了z=0.0m處的場(chǎng)分布，而不是由z=6.0m處繼續(xù)傳播到z=12.0m處.分別對(duì)比圖4與圖6，圖5與圖7的場(chǎng)分布可以看出，通過兩種積分方法計(jì)算求得的電磁場(chǎng)和解析解具有非常高的一致性.

圖6 高斯波束傳播至z=12.0m處的解析解

圖7 高斯波束在z=0.0m處的解析解

由上述計(jì)算結(jié)果可以看出，在兩種不同積分方法的應(yīng)用中遇到了一個(gè)關(guān)于傳播方向和計(jì)算方向的問題.在計(jì)算中，假設(shè)的傳播方向是沿+z軸，而設(shè)定的計(jì)算方向也是沿+z軸，顯然期望計(jì)算方向與假設(shè)的傳播方向相一致，以得到想要的結(jié)果.在運(yùn)用物理光學(xué)積分公式時(shí)，這種一致性是滿足的;而在使用RS衍射積分公式時(shí)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際的計(jì)算方向和設(shè)定的傳播方向并不一致，即實(shí)際計(jì)算是沿著與設(shè)定的波束傳播方向相反的方向進(jìn)行的.也就是說，在使用RS衍射積分公式時(shí)，沒有達(dá)到“往前傳播”的計(jì)算目的，反而實(shí)現(xiàn)了“往后倒推”的計(jì)算.從本質(zhì)上講，造成這一差異的關(guān)鍵在于二者使用了不同形式的空間格林函數(shù):

從而將RS衍射積分和物理光學(xué)積分的使用區(qū)別起來.二者的一致性是指它們都可以模擬電磁波的傳播，但前提是要界定方向:這里認(rèn)為衍射積分可以處理類似于倒推運(yùn)算的“逆”傳播，而物理光學(xué)積分則給出了電磁場(chǎng)“正向”傳播的準(zhǔn)確結(jié)果，如圖8所示.

在使用衍射積分公式時(shí)所體現(xiàn)出的“倒推計(jì)算”的效果，具有重要的實(shí)用價(jià)值.例如，在確定反射鏡天線系統(tǒng)的定向干擾源時(shí)，可以以天線口面的測(cè)試數(shù)據(jù)出發(fā)，通過倒推計(jì)算將干擾源從天線系統(tǒng)中“分離出來”.同時(shí)如上文中所提到，這兩種積分公式在處理平行平面間的電磁場(chǎng)傳播時(shí)所出現(xiàn)的卷積形式，可以使用快速傅里葉變換來加速計(jì)算，從而可以提供一種快速的計(jì)算分析手段［7，14］.

圖8 衍射積分和物理光學(xué)積分計(jì)算電磁波傳播的區(qū)別

4 結(jié)論

盡管物理光學(xué)積分公式和瑞利索莫菲衍射積分公式從建立的物理概念和推導(dǎo)過程上并不十分相近，但其最終的積分公式卻有著一致的形式，數(shù)學(xué)上的區(qū)別在于采用了不同形式的空間格林函數(shù).而從二者處理高斯波束傳播的仿真算例中可以看出，物理光學(xué)可以用于“正向”的口面場(chǎng)傳播計(jì)算，而衍射積分方法則可以用于“倒推”的口面場(chǎng)傳播計(jì)算，這為天線系統(tǒng)分析等領(lǐng)域提供了一種方便的分析方法，具有一定的工程意義和應(yīng)用價(jià)值.

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