解析邏輯函數(shù)式的處理

茶國(guó)智

（大理學(xué)院 工程學(xué)院，云南 大理 671003）

邏輯函數(shù)的每一種形式都對(duì)應(yīng)一種具體的電路結(jié)構(gòu)，因此，可以說(shuō)對(duì)邏輯函數(shù)式的處理就是對(duì)具體的電路結(jié)構(gòu)的處理。對(duì)邏輯函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行各種處理的目的就是為了使電路成本更低、排除可能存在的干擾、方便選擇元器件等，從而很好的實(shí)現(xiàn)所期望或所要求的電路結(jié)構(gòu)。對(duì)邏輯函數(shù)式的處理分3個(gè)方面，即邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)、邏輯函數(shù)式的檢查、邏輯函數(shù)式的變換，下面加以解析。

1 邏輯函數(shù)的處理解析

1.1 化 簡(jiǎn)

邏輯函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)：所含項(xiàng)數(shù)少、因子數(shù)少。其目的就是：具體對(duì)應(yīng)的電路結(jié)構(gòu)所需的邏輯器件個(gè)數(shù)少、輸入端少，從而結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。其現(xiàn)實(shí)意義就是：使所設(shè)計(jì)電路的成本降低。

邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法一般有代數(shù)法和卡諾圖法，代數(shù)法化簡(jiǎn)對(duì)基本公式的熟練程度要求較高，而卡諾圖法化簡(jiǎn)比較直觀簡(jiǎn)便，因此許多文獻(xiàn)都推薦優(yōu)先選用卡諾圖法，但特別要強(qiáng)調(diào)的是卡諾圖法化簡(jiǎn)得到的不一定是最簡(jiǎn)式，這是一個(gè)易使人產(chǎn)生誤解的地方，這一點(diǎn)幾乎沒(méi)有文獻(xiàn)明確指出，本文將在后面給出這方面的例證。綜合之，對(duì)邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)本文認(rèn)為宜采用綜合法，即先用卡諾圖法再用代數(shù)法，這樣才能既簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確。具體步驟為：

1）先卡諾圖法化簡(jiǎn)

卡諾圖化簡(jiǎn)理論在許多文獻(xiàn)[1-2]中已有詳細(xì)闡述，在此就不做累述，而僅對(duì)幾個(gè)重要的方面做些解析。

①填卡諾圖技巧 為了填卡諾圖，一般需要將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式。但是，化為最小項(xiàng)表達(dá)式的工作往往比較繁瑣且易出錯(cuò)。事實(shí)上有更簡(jiǎn)便的方法，不用化為最小項(xiàng)表達(dá)式也可完成填卡諾圖的工作。任何邏輯函數(shù)式都可表示為“與—或”表達(dá)式，仔細(xì)觀察其“與—或”式，其各個(gè)“與項(xiàng)”中的因子總是以兩種方式出現(xiàn)：“原變量”、“反變量”。對(duì)應(yīng)于卡諾圖來(lái)講，“原變量”出現(xiàn)就在卡諾圖中找出與該因子原變量對(duì)應(yīng)的行（列），“反變量”出現(xiàn)就在卡諾圖中找出與該因子反變量對(duì)應(yīng)的行（列），這樣所得共同的行列重疊方格即為各個(gè)“與項(xiàng)”所表示的最小項(xiàng)，最后在這些方格里填充“1”即可。

圖1 填寫(xiě)卡諾圖Fig．1 Filling in Kanomap

②寫(xiě)表達(dá)式要點(diǎn) 應(yīng)用卡諾圖化簡(jiǎn)規(guī)則畫(huà)完包圍圈 （圈“1”或圈”0”）后，就需要寫(xiě)出表達(dá)式。

由于所畫(huà)的包圍圈必占據(jù)卡諾圖中的某些行和某些列，比較行標(biāo)因子在這些被占據(jù)行上的取值和列標(biāo)因子在這些被占據(jù)列上的取值，凡是取互補(bǔ)值的因子在表達(dá)式中就不出現(xiàn)，即不寫(xiě)；反之，不取互補(bǔ)值的就要出現(xiàn)且取1值時(shí)寫(xiě)其原變量，而取0值時(shí)寫(xiě)其反變量。一個(gè)包圍圈就是一個(gè)與項(xiàng)。各包圍圈的與項(xiàng)之和即為卡諾圖化簡(jiǎn)所得的邏輯函數(shù)式。因此，本文給出的寫(xiě)表達(dá)式要點(diǎn)就是：“比較行列標(biāo)因子的取值，互補(bǔ)則消失”。下面舉例說(shuō)明。

例 按前述要點(diǎn)寫(xiě)出用卡諾圖化簡(jiǎn)的有圖2所示的邏輯函數(shù)式。

圖2 卡諾圖法化簡(jiǎn)Fig．2 Simplifying by Kanomap

由圖可見(jiàn)，L是4個(gè)因子A、B、C、D的邏輯函數(shù)，卡諾圖中將A、B作為行標(biāo)因子，C、D作為列標(biāo)因子。

圖2（a）為圈“1”情況，按化簡(jiǎn)規(guī)則可最終畫(huà)出 3個(gè)包圍圈，圖中所標(biāo)的與項(xiàng)為的包圍圈占據(jù)了 1、4 行和 1、2 列，由于行標(biāo)因子A、B在1、4行上的取值為00、10，列標(biāo)因子C、D在1、2列上的取值為00、01，按前述要點(diǎn)：“比較行列標(biāo)因子的取值，互補(bǔ)則消失”可得，因A、D取互補(bǔ)值（即0和1）而B(niǎo)、C取0、0，故在寫(xiě)出的與項(xiàng)中A、D消失（不寫(xiě)）而B(niǎo)、C以反變量形式出現(xiàn)（即B，故寫(xiě)出的與項(xiàng)為。 按此要點(diǎn)，對(duì)另外兩個(gè)包圍圈寫(xiě)出的與項(xiàng)為。最后，三包圍圈寫(xiě)出的3個(gè)與項(xiàng)之和即為邏輯函數(shù)經(jīng)卡諾圖化簡(jiǎn)后的結(jié)果，即：

圖2（b）是按照卡諾圖化簡(jiǎn)規(guī)則作出的另外一種圈“1”情況。同理按要點(diǎn)，可寫(xiě)出：

仔細(xì)比較圈“1”和圈“0”情況，所得結(jié)果并不相同，這與諸多文獻(xiàn)指出的兩者應(yīng)相同的結(jié)論相矛盾，那么原因何在呢？這就是下面要闡述的。

2）后代數(shù)法化簡(jiǎn)

由前述例子證明，卡諾圖化簡(jiǎn)得到的不一定是最簡(jiǎn)式。因此，對(duì)邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)宜采用綜合法，即先用卡諾圖法再用代數(shù)法。

1.2 檢 查

經(jīng)化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)式還需要進(jìn)行一個(gè)檢查環(huán)節(jié)，其目的就是要消除可能存在的競(jìng)爭(zhēng)冒險(xiǎn)，盡可能地排除干擾。

檢查方法的核心要點(diǎn)就是觀察邏輯函數(shù)式中互補(bǔ)出現(xiàn)的因子，并檢驗(yàn)在一定的條件下是否存在該因子的“互補(bǔ)相與”或“互補(bǔ)相或”，即是否存在如 F=X+或F=X的表達(dá)形式，若存在則說(shuō)明有產(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng)冒險(xiǎn)可能，一定要消除之。

消除競(jìng)爭(zhēng)冒險(xiǎn)方法有[3-4]：修改邏輯設(shè)計(jì)（消除互補(bǔ)變量、增加冗余項(xiàng)）、加封鎖脈沖信號(hào)、引入取樣脈沖、輸出端并聯(lián)電容器等。

1.3 變 換

邏輯函數(shù)式經(jīng)化簡(jiǎn)、檢查后，可能還需要進(jìn)行變換。這主要是考慮到元器件的選擇問(wèn)題，如某元器件在市場(chǎng)上比較常見(jiàn)或者價(jià)格上更實(shí)惠等原因，電路設(shè)計(jì)中將優(yōu)先選擇之，此時(shí)就需要將邏輯函數(shù)式進(jìn)行變換，以便由該種元器件去實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的電路結(jié)構(gòu)。

目前，許多文獻(xiàn)[5-7]都對(duì)由基本邏輯門(mén)“與、或、與非、或非”所構(gòu)成的兩級(jí)電路結(jié)構(gòu)形式間的變換作了研究。根據(jù)排列組合可知，由基本邏輯門(mén)“與、或、與非、或非”構(gòu)成兩級(jí)電路結(jié)構(gòu)形式的總數(shù)應(yīng)有16種，去除無(wú)實(shí)際意義的幾種形式外，有效形式也還有很多種。這些文獻(xiàn)指出一般借助取反、對(duì)偶及一些基本恒等式就能達(dá)到變換的目的，但是技巧性偏強(qiáng)，不易掌握。

其實(shí)仔細(xì)分析可知，一個(gè)再簡(jiǎn)單的電路往往都不止兩級(jí)結(jié)構(gòu)，復(fù)雜電路就更不用說(shuō)了，因此當(dāng)兩級(jí)間、兩級(jí)間的去變換時(shí)，本級(jí)的變換需要兼顧它的上一級(jí)和下一級(jí)的變換，顯得很繁瑣。本文介紹一個(gè)簡(jiǎn)便可行方法，稱為二次取非變換法，其優(yōu)點(diǎn)就是每級(jí)變換時(shí)對(duì)它的上一級(jí)和下一級(jí)的“兼顧性”要求降低，甚至可獨(dú)立完成。

1）二次取非變換法

①確定二次取非的范圍：式中哪部分不滿足則就對(duì)這部分取二次非，比如整體式不滿足則對(duì)整體式取二次非、局部項(xiàng)不滿足則對(duì)局部項(xiàng)取二次非。

②使用反演律去除非號(hào)的原則：符號(hào)滿足時(shí)不能用反演律去除非號(hào)；反之，則需用反演律去除非號(hào)。

③處理多余非號(hào)的措施：既不允許用反演律消去又不屬邏輯結(jié)構(gòu)式所要求的非號(hào)，可加一級(jí)非門(mén)處理之。

2）應(yīng)用舉例

面對(duì)器件而言，最常用的其實(shí)是與非門(mén)和或非門(mén)，這是因?yàn)榇硕卟坏軐?shí)現(xiàn)“與非、或非”邏輯關(guān)系，而且由它們也很容易實(shí)現(xiàn)“與、或、非”邏輯關(guān)系，如并接所有輸入端就改裝為非門(mén)，它們后面若加接一個(gè)非門(mén)（可有它們按前述方式改裝所得）就變?yōu)榕c門(mén)、或門(mén)。因此，設(shè)計(jì)中常要求電路用與非門(mén)或或非門(mén)實(shí)現(xiàn)，即常需要將邏輯函數(shù)式變換為關(guān)于“與非”或“或非”相關(guān)的結(jié)構(gòu)形式。

本例經(jīng)變換后所畫(huà)出的邏輯圖為圖3（a）所示。

本例經(jīng)變換后所畫(huà)出的邏輯圖為圖3（b）所示。

圖3 經(jīng)二次取非變換后所得的邏輯電路圖Fig．3 Logic circuit diagram after handled by a transformingmethod which main idea is taking logic not twice

以上雖只舉了變換為“與非”和“或非”情況，但是這里提出的二次取非變換法使用于任意復(fù)雜的邏輯表達(dá)式，可將其任一部分（層次）變換為“與、或、與非、或非”四大形式之一。

2 結(jié)束語(yǔ)

邏輯函數(shù)的表達(dá)形式?jīng)Q定著具體電路的結(jié)構(gòu)，因此對(duì)邏輯函數(shù)式的處理是數(shù)字電路設(shè)計(jì)中的重要環(huán)節(jié)。本文對(duì)邏輯函數(shù)式的處理分3個(gè)方面作了探討，即邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)、檢查、變換，并對(duì)每個(gè)方面都給出了相應(yīng)的見(jiàn)解。

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