多TMD控制下超高層建筑風振響應的快速算法及其應用*

李小康 謝壯寧 王湛

(華南理工大學亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣東廣州510640)

作為一種能量耗散裝置，調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)可用來增加結(jié)構(gòu)的總阻尼從而抑制結(jié)構(gòu)振動，目前在大型復雜土木結(jié)構(gòu)的風振控制中獲得較為廣泛的應用.TMD的設計制作有賴于對 TMD風振控制效果的精確計算，因此TMD風振控制計算引起了結(jié)構(gòu)風工程界的廣泛關(guān)注［1-6］.目前，對高層建筑TMD風振控制機理與計算方法的研究已趨成熟，但相關(guān)工作主要集中在順風向控制，針對橫風向風振控制的研究較少.盡管就控制機理本身，橫、順風向并無本質(zhì)差別，但由于荷載形成機理的差異導致橫風向氣動荷載要遠比順風向復雜，目前尚無法類似于順風向給出統(tǒng)一的表達形式.風洞試驗作為唯一可精確獲取結(jié)構(gòu)橫風向氣動荷載的有效手段被廣泛應用，但針對試驗數(shù)據(jù)的風振控制計算分析則少有研究.隨著結(jié)構(gòu)高度超過200m，結(jié)構(gòu)橫風向響應逐漸超越順風向成為控制風向，因此對橫風向風振控制的計算研究更具實際意義和工程價值.

針對任意復雜形式的大型空間結(jié)構(gòu)，文中提出一種多調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(MTMD)風振控制的快速算法，該方法計算效率高、內(nèi)存消耗少，屬于一種精確算法，使得需要大量計算的單調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(STMD)參數(shù)分析成為可能，同時也可進行更為復雜的 MTMD風振控制的精確計算分析.文中以439m高的深圳京基金融中心(KFT)為背景進行風致響應及控制的計算，分析了STMD的頻率、阻尼比和質(zhì)量等參數(shù)對風振控制效果的影響，并對不同形式MTMD的控制效果進行詳細的分析計算和討論.

1 方法概述

受l個TMD控制的高層建筑，其風振反應的運動方程可表示為

式中:M、C、K分別是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣;MT、CT、KT分別表示TMD系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣;B為N×l階TMD系統(tǒng)的位置指示矩陣，bji=δjk(i=1，2，…，N);x為結(jié)構(gòu)位移向量;w為TMD相對位移向量;p為氣動力向量.

令x=Φq，其中Φ表示結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣(N×r階)，q為前r階模態(tài)響應向量，由振型分解法可得受控結(jié)構(gòu)在模態(tài)坐標下的運動方程:

式中，ζs、ωs分別為前r階結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比和模態(tài)頻率矩陣，ζT、ωT分別為l階TMD阻尼比和頻率矩陣(均為對角陣)，g=ΦTp為廣義力向量，，Mp=ΦTMΦ為模態(tài)質(zhì)量矩陣.

對式(2)進行簡單處理，TMD運動方程可寫為

對于式(3)，由于方程右邊第二項的存在，使得受TMD控制下的結(jié)構(gòu)運動方程不能簡單地轉(zhuǎn)化至頻域內(nèi)進行求解，常用的辦法是將式(3)中方程右邊的第二項移動至方程的左邊，將變化后的式(3)與式(4)共同組成另一方程組進行求解，但當式(3)中結(jié)構(gòu)多階模態(tài)參與響應貢獻時，組裝后方程組再次出現(xiàn)需要解耦的問題.盡管目前對于高層建筑的風振控制計算可進行適當簡化，采用一階模態(tài)響應近似估算結(jié)構(gòu)總響應［4］，但這種處理會影響其普適性，尤其是對于大型復雜空間結(jié)構(gòu)(也包括考慮橫、順、扭耦合作用的超高層建筑)，僅考慮一階模態(tài)顯然是不夠的.

采用文獻［7-8］中的基本思想推導結(jié)構(gòu)在受TMD控制下的結(jié)構(gòu)運動方程.假定pu、qu、gu、xu和wu分別為氣動力p、模態(tài)響應q、廣義力g、響應x和w的截尾函數(shù)矢量，同樣xu=Φqu，則有

由于截尾函數(shù)矢量pu滿足絕對可積條件，可對其進行傅里葉變換，有

式中，i為虛數(shù)單位;t、ω分別表示時間和圓頻率變量，Pu是ω和截尾函數(shù)的截取時間長度T0的函數(shù).同樣，Gu、Qu和Wu分別表示gu、qu和wu的傅里葉變換，其表達式類似于式(7).可以證明［9］，當p為平穩(wěn)隨機過程時，其功率譜密度矩陣Sp為

式中，上標*表示共軛.由此，式(5)、(6)在頻域內(nèi)可表示為

記

hs=(-ω2+2ζsωsωi)-1(為r階對角陣，表示無TMD控制的結(jié)構(gòu)廣義坐標的頻響函數(shù)矩陣)，

由式(10)得

代入式(9)，有

經(jīng)分析可知，式(12)中括號項的逆陣是存在的，記

它實際為TMD控制下的結(jié)構(gòu)主坐標頻響函數(shù)矩陣，由此式(12)可簡述為

由式(7)及gu定義可知:

同時令

則TMD控制下的結(jié)構(gòu)風致響應x的功率譜函數(shù)矩陣Sx可采用下式計算:

對于TMD系統(tǒng)本身，將式(15)代入式(11)，并定義

則TMD系統(tǒng)響應表示為

分別對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和TMD系統(tǒng)的功率譜函數(shù)進行積分，即可獲得響應協(xié)方差矩陣:同樣其功率譜函數(shù)矩陣可采用下式進行計算:

由上可以看出，在無TMD控制時，方程(1)中位置矩陣B為零矩陣，方程(1)退化為無TMD控制的運動方程，可見文中算法適用于任意復雜形式的結(jié)構(gòu)風致響應及TMD控制計算，屬于對HEM算法［7］的擴展.同時注意到有無TMD控制的結(jié)構(gòu)響應計算僅在于系統(tǒng)頻響函數(shù)之間的區(qū)別，與無TMD控制的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣hs相比，受TMD控制的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣hT并不是對角陣，但作為一確定性矩陣而言對計算效率基本不存在影響.

特別需要指出的是，如果采用傳統(tǒng)完全二次型組合方法進行風振控制計算，仍然會出現(xiàn)3個3維矩陣相乘的問題，其譜矩陣的存儲需要非常大的內(nèi)存空間，計算也頗為耗時，即便可勉強計算下去，計算效率也令人難以忍受［8］.

2 實例驗證及分析

2.1 KFT結(jié)構(gòu)特征及風洞試驗簡介

KFT工程的基本建筑外形如圖1所示，塔樓主立面(南北立面)基本為等寬度圓弧收縮曲面，兩邊有1.8m懸挑翼板.圖1(b)中西側(cè)立面(東西兩側(cè)立面相同)為圓錐形平面，立面上設置遮陽構(gòu)件，塔樓頂部高度為439m，從上至下依次設置5個設備層和避難層，其編號及高度如圖中標注.圖1(c)給出了塔樓基本平面布置及風洞試驗坐標系.KFT模型采用有機玻璃制作，幾何縮尺比為1∶450，模型總高度為0.976m，試驗詳細信息可見文獻［10］.KFT風致響應計算中取結(jié)構(gòu)前12階模態(tài)進行響應計算，結(jié)構(gòu)前3階模態(tài)周期分別為7.52、7.19和3.92s，分別對應x、y和扭轉(zhuǎn)方向，結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比分別取為3.5%和1.5%，用于位移和結(jié)構(gòu)頂部加速度計算.

2.2 STMD參數(shù)分析

在結(jié)果分析之前，定義以下基于頂部加速度的減振系數(shù)βa和頂部位移的減振系數(shù)βd:

圖1 建筑示意圖及參考坐標系(單位:m)Fig.1 Building drawing and definition of coordinate system (Unit:m)

式中，σa，T和σa分別為10年重現(xiàn)期受控和不受控的結(jié)構(gòu)頂部加速度標準差，σd，T和σd為100年重現(xiàn)期受控和不受控的結(jié)構(gòu)頂部位移響應標準差.由定義可知，βa和βd越小，減振效果越好.為表述簡潔，下文出現(xiàn)的加速度響應均為10年重現(xiàn)期結(jié)果，位移響應均為100年重現(xiàn)期結(jié)果.

首先考慮STMD情況，對受控情況下的結(jié)構(gòu)風致響應進行計算，分析STMD各參數(shù)對控制效果的影響.結(jié)果包含結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各自由度位移、加速度及等效靜風荷載響應和TMD系統(tǒng)的位移、加速度響應等，限于篇幅，文中僅給出橫風向響應結(jié)果.

在頻率比固定不變的情況下，首先考察ξT對控制效果的影響，結(jié)果如圖2所示，其中質(zhì)量比UT分別取值為0.005、0.010、0.015，對應實際質(zhì)量為520、1039、1559t，頻率比fT/f0=1(STMD頻率fT與結(jié)構(gòu)受控橫方向第1階固有頻率f0之比，f0=0.139)，ξT取值范圍為0～0.1.

圖2 減振系數(shù)隨STMD阻尼比的變化Fig.2 Vibration reduction of coefficient with.STMD damping ratio

由圖2可見:隨ξT增加，βd呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢;當ξT太小以致接近零時，控制效果最差;存在一個ξT最優(yōu)值，當ξT超過最優(yōu)值繼續(xù)增大時，位移的控制效果反而降低，但變化幅度并不顯著，特別是隨著UT的增加，反映控制效果的參數(shù)βd變化曲線趨于平緩，且由圖2可以看出，隨著UT的增加，ξT最優(yōu)值也逐漸增加，當UT取0.015時，最優(yōu)的ξT接近0.06.

在保證一定控制效果的條件下，實際TMD設計中宜取較大的ξT以保證TMD本身有足夠的能量耗散性能而不至于由于過度的振蕩產(chǎn)生疲勞破壞而使TMD失效，當然TMD本身還會有限位裝置防止這種情況發(fā)生.因此根據(jù)圖2，在文中后續(xù)的計算分析中，均按照ξT=0.065進行計算.

圖3給出了STMD控制下結(jié)構(gòu)均方根位移響應隨STMD頻率比fT/f0的變化情況，fT/f0取值范圍為0.1～2.0.

圖3 減振系數(shù)隨STMD頻率比的變化Fig.3 Vibration of reduction coefficient with STMD frequency ratio

由圖3可見:(1)隨UT的增加，βd逐漸減小，STMD的控制效果增加;UT=0.015時，βd最小為0.723，但在實際工程中多方面因素限制了TMD質(zhì)量不可能過大，同時過度增加質(zhì)量會影響整體結(jié)構(gòu)的動力參數(shù)指標，使得計算結(jié)果失真.(2)在ξT不變的前提下，隨著fT遠離結(jié)構(gòu)固有頻率值，βd增加，控制效果減弱;fT在結(jié)構(gòu)固有頻率附近時，控制效果最佳，但由于阻尼的影響，最佳控制效果的fT略小于結(jié)構(gòu)固有頻率f0.(3)βd對fT的變化較為敏感，當fT/f0小于0.5或大于1.5時，βd均接近1;STMD的控制效果僅在較小的fT范圍內(nèi)較好.

圖4給出了結(jié)構(gòu)受控前后結(jié)構(gòu)頂部位移響應的功率譜密度在不同坐標系統(tǒng)下的比較結(jié)果，為了直觀起見，圖中功率譜密度的變量改用頻率f表示，豎線表示結(jié)構(gòu)第2階固有頻率為0.139 Hz(對應結(jié)構(gòu)橫風向第1階頻率).由圖可見，橫風向響應的共振部分遠大于背景部分，在TMD作用下，響應的共振部分被抑制，處于共振區(qū)(結(jié)構(gòu)固有頻率附近范圍)的響應功率譜密度函數(shù)值急劇減小，使得結(jié)構(gòu)風致響應顯著降低.由圖4可以清晰地看出，TMD裝置只能控制其對應模態(tài)頻率附近的功率譜密度值.

圖4 結(jié)構(gòu)頂層位移響應功率譜密度函數(shù)Fig.4 PSD of displacement response at the top floor of the building

2.3 MTMD參數(shù)分析

2.3.1 不同樓層MTMD的控制效果

由于超高層建筑的風振響應一般是一階振型控制的，故在理論上將STMD置于結(jié)構(gòu)頂層可以獲取最佳的控制效果，但實際應用中在某些情況下，受空間、安裝和結(jié)構(gòu)等方面的限制，必須采用每個TMD相比更小的MTMD方式.

以KFT工程為例，改用3個質(zhì)量相同的TMD，安裝在在1、2、3號設備層(見圖1)上，TMD的總質(zhì)量比UT仍然取為0.01，每個TMD的fT/f0=1，ξT= 0.065，采用文中方法計算其控制效果，結(jié)果見表1.注意比較是基于TMD總質(zhì)量一致的原則也即表中的3種控制策略的TMD總質(zhì)量比是一致的，均為0.01.由表1可見，僅在設備層1安裝TMD的控制效果最佳(即STMD)，βa=0.686，βd=0.778，在3個設備層均設置有TMD時，βa=0.734，βd=0.820，加速度和位移的控制效果比單個TMD方案差些，但差別不大，只有0.048和0.042.

表1 不同樓層MTMD作用下結(jié)構(gòu)頂部的橫風向響應Table 1 Across-wind response at top with MTMD on different fcoors

雖然MTMD的控制效果不如STMD，但MTMD系統(tǒng)中每個TMD的體積和重量相對較小，更易于安裝、實現(xiàn)，從整個系統(tǒng)上考慮，其可靠度也更好，當MTMD中某個TMD出現(xiàn)故障時，其它TMD依然可保持工作狀態(tài)且能夠取得一定的控制效果.考慮以上3個小TMD構(gòu)成MTMD，在1、2、3號設備層布置3個相同的TMD，計算不同工作狀態(tài)時的控制效果見表2.其中每個TMD的參數(shù)為:ξT=0.065，UT= 0.0033，fT/f0=1，工況欄中的數(shù)字表示參加工作的TMD所在的設備層號(沒出現(xiàn)號碼表示該TMD失效)，如1/2表示只有1、2設備層的TMD參加工作而3號設備層TMD失效.

表2 不同工況MTMD作用下結(jié)構(gòu)頂部橫風向響應Table 2 Across-wind response at top with MTMD in different experimental cases

計算結(jié)果表明，盡管MTMD中單個TMD出現(xiàn)故障導致控制效果有所減弱，但其他層TMD仍可起到較好的控制作用.例如，第3設備層的TMD失效時，βa=0.754，βd=0.840;即便是控制效果最好的第1設備層TMD失效，βa和βd仍有0.819和0.889，較無控制工況也分別降低了0.181和0.111.

2.3.2 MTMD頻率的影響

MTMD系統(tǒng)中可通過對每個TMD設置不同的頻率進一步擴大其控制范圍.在KFT設備層1、2、3上布置不同頻率的TMD組成MTMD系統(tǒng)，第1、2和3設備層的TMD的fT/f0分別取為1.10、1.02和0.94，UT=0.0033，ξT=0.065.同時分析在不同結(jié)構(gòu)周期情況下對頂部加速度的控制效果并和STMD (fT/f0=1，UT=0.001，ξT=0.065)情況做比較，結(jié)果見圖5.

圖5 減振系數(shù)隨結(jié)構(gòu)周期的變化Fig.5 Vibration of reduction coefficient with structural natural period

由圖5可見，當結(jié)構(gòu)周期比在0.90～1.10之間變化時，總的看來兩種控制方式的效果隨周期比變化的趨勢是一樣的，但MTMD的控制效果要略差于STMD的控制效果.

2.3.3 受控結(jié)構(gòu)阻尼的影響

實際上，結(jié)構(gòu)參數(shù)中阻尼的不確定性會遠高于結(jié)構(gòu)頻率，假定結(jié)構(gòu)周期不變，分析以上STMD和MTMD在不同結(jié)構(gòu)阻尼比ζs下的結(jié)構(gòu)頂部加速度的控制效果，結(jié)果見圖6.

圖6 減振系數(shù)隨結(jié)構(gòu)阻尼比的變化Fig.6 Vibration of reduction coefficient with structural damping ratio

由圖6可見，在ζs＞0.003時，兩種控制方案的βa均隨ζs的增加而單調(diào)增加，控制效果在ζs=0.003時最好，但由于實際結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比不可能小于0.003，因而圖中ζs的較小值并沒有太大的實際借鑒意義，可以認為結(jié)構(gòu)阻尼比越小控制效果越好.

2.3.4 不同頻率MTMD的全風向控制結(jié)果

以上TMD控制方法的研究主要針對0°風向角(橫風向)進行，實際工程中需要對36個風向角的控制效果進行綜合評判，以圖5中選用的MTMD系統(tǒng)為例，采用文中快速算法計算KFT工程36個風向角的加速度響應，并與無控制的結(jié)果進行比較，結(jié)果見圖7.

圖7 全風向角下頂部峰值加速度Fig.7 Peak acceleration of structure at all azimuths

由圖7可知，MTMD作用時0°和180°風向角附近(橫風向)結(jié)構(gòu)頂部峰值加速度比無控制時顯著降低，無控時頂部最大峰值加速度為0.0229g，出現(xiàn)在350°風向角，主要是由于上游地王大廈的干擾引起［10］，由《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》［11］可知，該峰值加速度值不能滿足規(guī)范中有關(guān)高層住宅舒適度的規(guī)定(不大于0.015 g)，僅滿足辦公要求(不大于0.025 g)，而采用MTMD控制之后，可將該風向角峰值加速度進一步降低至0.0156g，減少約32%，這也是受控結(jié)構(gòu)全風向的最大峰值加速度.而在90°和180°風向角附近(順風向)，由于MTMD并不控制該方向風致振動，受控前后響應差距不大.圖7還表明，在MTMD控制下，所有風向角的結(jié)構(gòu)頂部峰值加速度響應均比無控時要小.

3 結(jié)論

文中提出的多TMD風振控制響應的快速算法理論上屬于一種精確算法，且計算效率高，可對任意復雜形式的空間結(jié)構(gòu)進行風振控制計算.

單TMD的控制效果對TMD頻率比較敏感，最佳頻率比略小于1;最優(yōu)的TMD阻尼比和TMD質(zhì)量有關(guān)，隨TMD質(zhì)量的增大而增大，考慮到阻尼的耗能作用，建議采用0.065的TMD阻尼比.

在總質(zhì)量相同的條件下，采用在不同樓層設置TMD方式的減振效果只比在頂層設置TMD的效果減少5%左右，兩者的控制效果隨結(jié)構(gòu)頻率和阻尼的變化規(guī)律也保持一致.

采用MTMD方案的全風向角計算結(jié)果表明，在MTMD的控制下，結(jié)構(gòu)頂部峰值加速度的最大值下降30%左右，基本滿足規(guī)范中高層住宅和辦公的舒適度要求.

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