大跨度索穹頂結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的頻域分析*

魏德敏 徐牧 李頔

(華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國家重點實驗室∥土木與交通學(xué)院，廣東廣州510640)

索穹頂結(jié)構(gòu)是一種受力性能良好、外形美觀多樣的張力結(jié)構(gòu)體系，其受力構(gòu)件主要有索、膜和少數(shù)剛性立桿.由于結(jié)構(gòu)的自振頻率較低，柔性較大，對風(fēng)荷載的作用較為敏感，實際工程中結(jié)構(gòu)發(fā)生風(fēng)致破壞的現(xiàn)象時有發(fā)生，因此大跨度索穹頂結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)研究成為結(jié)構(gòu)抗風(fēng)領(lǐng)域的研究熱點之一［1］.但是，現(xiàn)有的索穹頂結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)研究成果相對較少，而且一般是將下部索桿體系和頂部張拉膜結(jié)構(gòu)分開進行研究的，這與索穹頂結(jié)構(gòu)的實際工作狀態(tài)有一定的差異［2-4］.

為了研究頂部張拉膜結(jié)構(gòu)對整體結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的影響，文中分別建立了索－桿體系(CS體系)和索－桿－膜體系(CSM體系)的有限元計算模型，進行了結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的頻域分析，得到了兩種計算體系下結(jié)構(gòu)的脈動風(fēng)位移響應(yīng)根方差，通過工程實例的對比分析，給出了頻域計算中結(jié)構(gòu)參振模態(tài)數(shù)的取值范圍.

1 風(fēng)振響應(yīng)頻域計算方法

結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)隨機脈動風(fēng)荷載作用下的運動微分方程為

式中:¨y(t)、˙y(t)、y(t)分別為結(jié)構(gòu)振動的加速度、速度和位移;M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;Q為荷載分布指示矩陣，通過它可將脈動風(fēng)荷載p(t)按照某種方式分散到節(jié)點上.

假設(shè)結(jié)構(gòu)的前m階模態(tài)矩陣φ=φ1，φ2，…，φm，其中φ1，φ2，…，φm分別為第1，2，…，m階振型.根據(jù)振型分解法，結(jié)構(gòu)的位移與廣義坐標(biāo)向量q(t)的關(guān)系為y(t)=φq(t).將該關(guān)系式代入式(1)，可得

式中:fj(t)=Mφj為第j階振型對應(yīng)的模態(tài)荷載; ζj和ωj分別為第j振型對應(yīng)的阻尼比和圓頻率，則頻率nj=ωj/(2).對于任意階頻率n，廣義抖振力的互譜密度函數(shù)為

式中，Slk(n)為脈動風(fēng)的互譜密度函數(shù)矩陣.

在已知脈動風(fēng)力自譜的情況下，脈動風(fēng)力自譜密度函數(shù)與脈動風(fēng)力互譜密度函數(shù)的關(guān)系為

式中，Sll(l，n)、Skk(k，n)分別為空間任意兩點l和k的自譜密度函數(shù)，Slk(r，n)為互譜密度函數(shù)，r為這兩點之間的距離，Coh(r，n)稱為這兩點的空間相干函數(shù)［5］.風(fēng)力自譜與風(fēng)速自譜之間的轉(zhuǎn)換遵從準(zhǔn)定常假設(shè)［6］，體型系數(shù)、風(fēng)壓高度變化系數(shù)按相關(guān)規(guī)范取值.常用的風(fēng)速譜為Davenport脈動風(fēng)速功率譜，當(dāng)場地類別為B類時，風(fēng)速取35m/s.

通過頻響函數(shù)矩陣H(in)，可將結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)與荷載譜聯(lián)系起來:

式中，H(in)=diag(H1(in)，H2(in)，…，Hk(in))， Hj(in)=［((2nj)2－(2n)2)+i(82ζjnjn)］－1為第j階的頻響函數(shù).

取阻尼比ζ≡0.02，由振型分解理論得到脈動風(fēng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移功率譜密度矩陣:

式(5)和(6)中包含了所有的振型交叉項，稱為完全二次型結(jié)合方法(CQC法).采用CQC法進行結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的頻域分析，得到位移響應(yīng)的方差為［7］

2 工程算例及其參數(shù)

文中算例為跨度100 m的球面Geiger穹頂結(jié)構(gòu)體系［8］.基本風(fēng)壓ω0取0.65 kN/m2，風(fēng)載體型系數(shù)μS按照文獻［9］中所參考的澳大利亞規(guī)范AS/ NS1170.2:2002計算.考慮到索穹頂屋蓋結(jié)構(gòu)并非直接落地，文中假定外壓環(huán)標(biāo)高為10m，并按我國規(guī)范計算風(fēng)壓高度系數(shù).場地粗糙度類別取B類.結(jié)構(gòu)的下部索桿體系由12條脊索、2圈下環(huán)索、2圈內(nèi)拉環(huán)、3組共36根斜索和36根立桿組成.構(gòu)件的截面面積如表1所示.圖1為結(jié)構(gòu)布置圖及1—1至4—4剖面的位置，而剖面5—5至7—7是頂部膜結(jié)構(gòu)上與風(fēng)向分別成15°、45°、75°角的剖面.

索穹頂結(jié)構(gòu)頂部覆蓋膜材的厚度為1 mm，面密度為1.3kg/m2，經(jīng)向和緯向的彈性模量分別為E1= 1396 MPa、E2=890 MPa，兩個方向的泊松比分別為ν12=0.86和ν21=0.55，膜材的剪切模量G12=12MPa.立桿用空間桿單元模擬，膜用只拉殼單元模擬，索為只拉桿單元;索穹頂結(jié)構(gòu)有限元模型如圖2所示.

表1 構(gòu)件截面尺寸Table 1 Sectional dimensions of elements

圖1 索穹頂結(jié)構(gòu)立面及各剖面位置Fig.1 Elevation of cable dome structure and location of each cross section

圖2 索穹頂結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.2 FE model of cable dome structure

通過定義初應(yīng)變的方式施加索的預(yù)應(yīng)力，通過施加膜面負(fù)溫的方法施加膜的預(yù)應(yīng)力，膜面預(yù)應(yīng)力約為5MPa.假設(shè)脊索、內(nèi)拉環(huán)與膜單元的連接處采用耦合節(jié)點自由度的方式連接.結(jié)構(gòu)最外圈的剛性壓環(huán)處為固定鉸支座，約束3個方向的節(jié)點位移.

3 參振模態(tài)數(shù)的選取

一般而言，高階振型對大跨空間結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的貢獻是不可忽略的［9］.文中針對索穹頂結(jié)構(gòu)CS體系及CSM體系，在找形分析后計算出結(jié)構(gòu)的前500階自振模態(tài)，然后通過結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)頻域分析，確定參振模態(tài)數(shù)的取值范圍［10］.

表2給出了兩種結(jié)構(gòu)體系前8階自振頻率的計算結(jié)果，兩種結(jié)構(gòu)體系自振頻率與階數(shù)的關(guān)系如圖3所示.由表2可見，索穹頂結(jié)構(gòu)的前8階自振頻率值較低但相對密集.由圖3可見，CS體系的前200階自振頻率大于CSM體系的相應(yīng)值，該差值隨著階數(shù)的增加而增大.因此，考慮膜的剛度貢獻，結(jié)構(gòu)體系的自振頻率將降低，振動模態(tài)也會發(fā)生變化.

圖3 不同體系下自振頻率與階數(shù)的關(guān)系Fig.3 Relationship between natural vidration frequency and exponent number for different systems

風(fēng)振響應(yīng)頻域分析時，考慮參振模態(tài)的數(shù)目分別取前10，20，50，100，150，200，250，…，500階，共12種情況.圖4為剖面1—1上脊索節(jié)點編號及風(fēng)向.圖5給出了結(jié)構(gòu)跨度為100m、參振模態(tài)數(shù)取不同值情況下，剖面1—1上節(jié)點556、592的動位移根方差計算結(jié)果.由于篇幅所限，文中僅給出3個方向合位移根方差的計算結(jié)果.

表2 自振頻率部分計算結(jié)果Table 2 Computational results of some natural vibration frequencies

圖4 剖面1—1的節(jié)點編號Fig.4 Node numbers of profile 1—1

圖5 節(jié)點動位移與參振模態(tài)數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between mode numbers and standard deviations of node displacements

由圖5可知:對于節(jié)點556，在CS體系中，取前250階模態(tài)進行風(fēng)振響應(yīng)頻域分析，會比取前350階模態(tài)所得結(jié)果小9.28%;而在CSM體系中，取參振模態(tài)為前300階時，比取前400階模態(tài)所得結(jié)果小21.2%.因此要得到較為準(zhǔn)確的脈動風(fēng)響應(yīng)，必須考慮起主要貢獻作用的模態(tài)［9］.此外，對于節(jié)點592，在CS體系中，當(dāng)參振模態(tài)階數(shù)大于150時，動位移根方差的值保持穩(wěn)定;在CSM體系中，參振模態(tài)階數(shù)大于450時才得到穩(wěn)定的動位移根方差.這說明考慮頂部膜結(jié)構(gòu)影響的CSM體系，風(fēng)振響應(yīng)頻域分析所需的參振模態(tài)數(shù)更大.

圖6給出了結(jié)構(gòu)跨度對參振模態(tài)數(shù)的影響.假設(shè)結(jié)構(gòu)的矢跨比和構(gòu)件截面不變，考慮預(yù)應(yīng)力的分布不同，跨度分別為45、60、70、80、90和120 m的索穹頂結(jié)構(gòu)，分析了其參振模態(tài)數(shù)的適宜取值(使動位移根方差穩(wěn)定的最小參振模態(tài)數(shù)).文中先通過形態(tài)分析得到不同跨度索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力分布，然后計算其參振模態(tài)數(shù)的適宜取值.

圖6 參振模態(tài)數(shù)與結(jié)構(gòu)跨度的關(guān)系Fig.6 Relationship between number of dominant modes and structural span

從圖6可以看出，參振模態(tài)數(shù)的適宜取值隨跨度的增大而增大，結(jié)構(gòu)跨度小于70 m時，參振模態(tài)數(shù)的適宜取值≤20;當(dāng)跨度為70和90 m時參振模態(tài)數(shù)出現(xiàn)突然增大的現(xiàn)象.跨度在70至90 m之間時，該適宜取值≤200;跨度≥100 m時，參振模態(tài)數(shù)的適宜取值≥450.文中對跨度為100m的索穹頂結(jié)構(gòu)進行風(fēng)振響應(yīng)分析，取參振模態(tài)數(shù)為450.

4 頻域計算結(jié)果分析

結(jié)構(gòu)關(guān)于任意風(fēng)向是對稱的，文中給出4個典型剖面上節(jié)點動位移根方差的計算結(jié)果.脊索節(jié)點動位移根方差的計算結(jié)果、膜單元節(jié)點動位移根方差的計算結(jié)果、剖面1與剖面4中立桿下端的動位移根方差分別如圖7－9所示.

圖7 脊索節(jié)點的動位移根方差Fig.7 Standard deviations of node displacements of ridge cables

圖8 膜單元節(jié)點的動位移根方差Fig.8 Standard deviations of node displacements of membrane elements

由圖7可看出，在與風(fēng)向成0°角的1—1剖面上，迎風(fēng)向脊索節(jié)點的動位移根方差小于其背風(fēng)向，即迎風(fēng)向節(jié)點風(fēng)振響應(yīng)的脈動程度較其背風(fēng)向的弱.而對于與風(fēng)向成30°角的2—2剖面和成60°角的3—3剖面則情況不同.剖面1—1至剖面3—3上脊索節(jié)點位移響應(yīng)的脈動特性規(guī)律為:靠近結(jié)構(gòu)中心位置的節(jié)點處脈動特性有一定程度的減弱，遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)中心位置的節(jié)點處脈動特性有所增強，在外壓環(huán)附近節(jié)點處脈動特性又再次減弱.

圖9 立桿下端節(jié)點的動位移根方差Fig.9 Standard deviations of node displacements of strut bottoms

由圖8可知，膜面上的動位移根方差沿剖面的分布規(guī)律為:靠近結(jié)構(gòu)中心位置處膜面動位移根方差的值較大，動位移根方差變化的總體趨勢是由中部向外逐漸減小.

對比圖7和8中CSM體系的動位移根方差，不難發(fā)現(xiàn):圖8中膜面節(jié)點動位移根方差值比圖7中脊索節(jié)點的大，部分膜面節(jié)點的動位移根方差值為脊索節(jié)點的2～3倍，膜面節(jié)點的最大值為0.08 m，而脊索節(jié)點的最大值僅為0.035 m.原因在于CSM體系中的膜為脊索提供了側(cè)向穩(wěn)定性支撐作用［11］.

由圖9可知，CSM體系立桿下端節(jié)點的動位移根方差值均小于0.035 m.顯然，CSM體系膜面的響應(yīng)脈動程度大于脊索以及立桿的，因此在風(fēng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的脈動風(fēng)能量大部分由膜面耗散.

對比圖7－9中兩種結(jié)構(gòu)體系相同位置節(jié)點動位移根方差的計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)對于絕大部分節(jié)點，CSM體系的索、立桿節(jié)點的動位移根方差小于CS體系，CSM體系中膜面的耗能作用不可忽略.CSM體系與CS體系的風(fēng)振響應(yīng)特點完全不同.

5 結(jié)論

文中進行了索穹頂結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的頻域計算，分析了參振模態(tài)數(shù)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算結(jié)果的影響，對比了兩種索穹頂結(jié)構(gòu)計算體系的風(fēng)振響應(yīng)特點，對工程中常用的CS體系的適用性進行了探討，得出以下主要結(jié)論:

(1)參振模態(tài)數(shù)的選取對索穹頂結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)頻域計算結(jié)果有較大影響.跨度100 m以上的索穹頂結(jié)構(gòu)，參振模態(tài)數(shù)不小于450.

(2)CSM體系中，膜為脊索提供側(cè)向穩(wěn)定性支撐作用，脊索上節(jié)點的位移響應(yīng)脈動程度較小，脈動風(fēng)在膜面上產(chǎn)生較大的動位移.因此其他大跨度屋蓋結(jié)構(gòu)相比，索穹頂結(jié)構(gòu)受脈動風(fēng)的影響更明顯.

(3)在與風(fēng)向成0°角的剖面上，迎風(fēng)向脊索節(jié)點的風(fēng)振響應(yīng)脈動程度較其背風(fēng)向弱.但對于其他剖面這一規(guī)律不一定成立.

(4)與CSM體系相比，因CS體系只考慮頂部膜結(jié)構(gòu)對結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量的貢獻，沒有它對結(jié)構(gòu)整體剛度的貢獻，所得節(jié)點風(fēng)振響應(yīng)值偏大，兩體系的結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)特性也不同.

(5)索穹頂結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的頻域計算采用CSM體系更為合理.

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