周玉梅，焦建軍

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴陽 550004）

0 引言

脈沖微分方程是20世紀(jì)60年代迅速發(fā)展起來的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。脈沖微分方程是微分方程理論研究中的一個(gè)重要課題,廣泛用來刻畫生物種群系統(tǒng)的很多現(xiàn)象,例如動(dòng)物的季節(jié)性出生,森林管理和漁業(yè)養(yǎng)殖中的種植,投放和收獲等。脈沖微分方程理論在文獻(xiàn)[1]中有詳細(xì)的介紹.近幾年在種群生態(tài)方面有大量應(yīng)用[1～6]。

如果考慮生物種群的出生是密度依賴脈沖出生

其中，x(t)表示種群密度，a＞0是種群出生的內(nèi)稟增長率.b＞0且是種群的出生容納量系數(shù)，d是種群的死亡系數(shù)，τ是種群的脈沖出生周期。而基本的階段結(jié)構(gòu)種群模型[4]為：

其中，x1(t)與x2(t)分別表示種群幼體與成體的密度. a＞c＞0且a=c+c1,c＞0是種群幼體向成體轉(zhuǎn)化的系數(shù). c1＞0是種群幼體的死亡系數(shù)，d＞0是種群成體的死亡系數(shù)，b＞0是種群成體的出生率系數(shù)。

1 模型

基于上面的討論,建立具密度依賴脈沖出生階段結(jié)構(gòu)單種群動(dòng)力學(xué)模型：

其中，x1(t)與x2(t)分別表示種群幼體與成體的密度，a＞0是種群的脈沖出生系數(shù)，d＞0是種群幼體的死亡系數(shù)，c＞0是種群幼體向成體轉(zhuǎn)化的系數(shù)，d＞0也是是種群成體的死亡系數(shù)，在t=nτ時(shí)刻種群脈沖出生，τ是種群的脈沖出生周期。

2 動(dòng)力學(xué)分析

設(shè) x(t)=(x1(t),x2(t))T是一個(gè)分段連續(xù)函數(shù) x:R+→,它是(3)的解,x(t)在區(qū)間(nτ,(n+1)τ]上連續(xù),且x(t)存在。顯然,(3)的右邊函數(shù)的光滑性保證了其解的全局存在性和唯一性[1]。

由系統(tǒng)(3)的第一與第二個(gè)方程,容易得到系(3)在脈沖點(diǎn)之間的解析解：

由系統(tǒng)(3)的第三個(gè)方程與第四個(gè)方程,得到系統(tǒng)(3)的頻閃映射：

做記號A=e-dτ(1-e-cτ),B=e-dτ,且0＜A＜1,0＜B＜1,那么(5)可以改寫為:

定理1(1)當(dāng)(1-B)(1-B-aA)-AB＞0時(shí),差分系統(tǒng)(6)的不動(dòng)點(diǎn)P(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的；

(2)當(dāng)(1-B)(1-B-aA)-AB＜0時(shí),差分系統(tǒng)(6)的不動(dòng)點(diǎn)P*(,)是全局漸近穩(wěn)定的‘

顯然P(0,0)或P*(,)附近的動(dòng)力學(xué)性態(tài)可以由(6)的線性系統(tǒng)(8)來決定，M作為(6)的線性系統(tǒng)(8)對應(yīng)矩陣；P(0,0)或P*(,)的穩(wěn)定性由M的特征值小于1決定。當(dāng)M滿足下列的Jury判據(jù)條件時(shí),可知M的特征值小于1[5]:

(1)當(dāng)(1-B)(1-B-aA)-AB＞0時(shí),P(0,0)是差分方程(6)的唯一平衡點(diǎn)。于是得到

由Jury判據(jù)條件1-trM+detA=(1-B)(1-B-aA) -AB＞0可知，平衡點(diǎn)P(0,0)是局部穩(wěn)定的，從而是全局漸近穩(wěn)定的。

(2)當(dāng) (1-B)(1-B-aA)-AB＜0時(shí),顯然平衡點(diǎn)P(0,0)是不穩(wěn)定的。由于(1-B)(1-B-aA)-AB＜0,所以存在正平衡點(diǎn)P*(,)，且有

于是

根據(jù)Jury判據(jù)可得平衡點(diǎn)P*(,)是局部漸近穩(wěn)定的,從而是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

根據(jù)定理1易得:

定理2(1)當(dāng)(1-B)(1-B-aA)-AB＞0時(shí),系統(tǒng)(3)的平凡周期解(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的；

3 討論

[1]V.Lakshmikantham,D.D.Bainov,P.Simeonov.Theory of Impulsive Differential Equations[M].Singapore:World Scientific,1989.

[2]JIAO,J.,Yang,X.,Chen,L.,Cai,S.Effect of Delayed Response in Growth on the Dynamics of a Chemostat Model with Impulsive Input [J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,(42).

[3]Jiao Jianjun,Chen Lansun.Global Attractivity of a Stage-structure Variable Coefficients Predator-prey System with Time Delay and Impulsive Perturbations on Predators[J].International Journal of Biomathematics,2008,1(2).

[4]Jiao Jianjun,Chen Lansun,Long Wen.Pulse Fishing Policy for a Stage-structure Model with State-dependent Harvesting[J].Journal of Biological System,2007,（4）.

[5]E.L.Jury.Inners and Stability of Dynamics System[M].New York: Wiley,1974.

[6]于法穩(wěn).貴州省農(nóng)業(yè)可持續(xù)發(fā)展優(yōu)勢分析及對策研究[J].貴州財(cái)經(jīng)，2012,30(2).