非均勻內(nèi)水壓力作用下的壩下箱涵結(jié)構(gòu)計(jì)算

蔡勇斌，劉月琴，蔡勇平，蔡曉鴻

（1.江西省吉安市水利局，江西吉安343000；2.江西省吉安市水利水電規(guī)劃設(shè)計(jì)院，江西吉安343000）

0 引言

箱涵是壩下涵管常見結(jié)構(gòu)型式之一，壩下箱涵受土壓力作用的內(nèi)力與變位計(jì)算已有成熟的結(jié)構(gòu)力學(xué)解法[1]，但壩下箱涵受非均勻內(nèi)水壓力作用，特別是側(cè)墻受梯形荷載作用的內(nèi)力與變位計(jì)算卻鮮見介紹。本文依據(jù)彈性地基梁理論，將箱涵底板與頂板分別視為承受內(nèi)水壓力P1、P2作用的固端彈性地基梁，將箱涵側(cè)墻視為底端承受內(nèi)水壓力P1、頂端承受內(nèi)水壓力P2梯形分布荷載作用的固端彈性地基梁，采用左手坐標(biāo)系，按彈性地基梁初參數(shù)法與地下框架結(jié)構(gòu)位移法彎矩與剪力正、負(fù)號(hào)匹配關(guān)系，建立了箱涵底板、頂板、側(cè)墻載常數(shù)計(jì)算方法，給出了箱涵受非均勻內(nèi)水壓力作用時(shí)的內(nèi)力與變位解析計(jì)算式。

1 壩下箱涵載常數(shù)

1.1 箱涵底板載常數(shù)

壩下箱涵底板可簡(jiǎn)化為受均布內(nèi)水壓力P1作用的兩端固定彈性地基梁，采用左手直角坐標(biāo)系，其計(jì)算簡(jiǎn)圖見圖1。

圖1 壩下箱涵底板載常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation diagram of load constants of the bottom plate

由彈性地基梁受均布荷載P1作用下的初參數(shù)變位解，且注意到箱涵底板左端A為初始截面，桿端彎矩MˉAB、MˉBA以順時(shí)針方向?yàn)檎?，桿端剪力以指向地基方向（沿y軸方向）為正，于是箱涵底板撓度計(jì)算式為

β1為壩下箱涵底板特征系數(shù)k為壩下箱涵彈性抗力系數(shù)，若不計(jì)地基彈性抗力，則在計(jì)算時(shí)k可取很小值；E為壩下箱涵混凝土彈性模量；I1為壩下箱涵底板截面慣性矩。

據(jù)箱涵底板載常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)圖，由左端邊界條件y|x=0==0，θ|x=0==0，據(jù)式（1）可得底板撓度方程、轉(zhuǎn)角方程、彎矩方程及剪力方程。

又利用底板右端邊界條件y|x=l==0，θ|x=l==0，據(jù)式（2）、式（3）可得底板左端及右端載常數(shù)。

1.2 箱涵頂板載常數(shù)

壩下箱涵頂板可簡(jiǎn)化為受均布內(nèi)水壓力p2作用的兩端固定彈性地基梁，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2。

圖2 壩下箱涵頂板載常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Calculation diagram of load constants of the roof

類似于壩下箱涵底板載常數(shù)的推導(dǎo)，且注意到箱涵頂板所受均布內(nèi)水壓力p2作用方向垂直向上，可得箱涵頂板左、右固端載常數(shù)分別為：

式中，為壩下箱涵頂板特征系數(shù)；I2為箱涵頂板截面慣性矩；其余符號(hào)意義同前。

1.3 箱涵左側(cè)墻載常數(shù)

壩下箱涵左側(cè)墻為受向左方向作用的內(nèi)水壓力梯形荷載兩端固定彈性地基梁，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3所示。

圖3 壩下箱涵左側(cè)墻計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.3 Calculation diagram of the left side wall of the box cul?vert beneath dam

由彈性地基梁受梯形荷載作用下的初參數(shù)變位解，且注意到剪力以指向地基方向?yàn)檎?，于是有箱涵左?cè)墻撓度計(jì)算式

由箱涵側(cè)墻頂端邊界條件y|x=0==0；θ|x=0==0，可得箱涵側(cè)墻撓變方程、轉(zhuǎn)角方程、彎矩方程及剪力方程：

利用箱涵左側(cè)墻底端邊界條件y|x=h==0；θ|x=h==0，據(jù)式（11）、（12），可得箱涵左側(cè)墻頂端及底端載常數(shù)：

1.4 箱涵右側(cè)墻載常數(shù)

壩下箱涵右側(cè)墻為受向右方向作用的梯形內(nèi)水壓力荷載兩端固定彈性地基梁，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4所示。

圖4 壩下箱涵右側(cè)墻計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.4 Calculation diagram of the right side wall of the box cul?vert beneath dam

類似于壩下箱涵左側(cè)墻載常數(shù)的推導(dǎo)，據(jù)對(duì)稱性，可得箱涵右側(cè)墻頂端及底端載常數(shù)為

2 壩下箱涵形常數(shù)

據(jù)如下彈性地基梁無(wú)載段撓度方程、轉(zhuǎn)角方程、彎矩方程與剪力方程式

可推導(dǎo)出如下彈性地基梁兩端轉(zhuǎn)動(dòng)形常數(shù)與移動(dòng)形常數(shù)（圖5）

式中：sh、ch、sin、cos分別為sh βl、ch βl、sin βl、cosβl的簡(jiǎn)寫。

S為梁端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)的本端彎矩；S′為梁端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)的遠(yuǎn)端彎矩；

J為梁端發(fā)生單位移動(dòng)時(shí)的本端剪力；J′為梁端發(fā)生單位移動(dòng)時(shí)的遠(yuǎn)端剪力；

T為梁端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)的本端剪力，或梁端發(fā)生單位移動(dòng)時(shí)的本端彎矩；

T′為梁端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)的遠(yuǎn)端剪力，或梁端發(fā)生單位移動(dòng)時(shí)的遠(yuǎn)端彎矩；

其它符合意義同前。

圖5 彈性地基梁形常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.5 Calculation diagram of shape constants of elastic foun?dation beam

3 壩下箱涵結(jié)點(diǎn)平衡方程組

壩下箱涵地基梁桿件在內(nèi)水壓力荷載p作用下，將產(chǎn)生固端彎矩和固端剪力，出現(xiàn)桿端位移（圖6），于是據(jù)箱涵地基梁桿件載常數(shù)與形常數(shù)，采用疊加原理，可得箱涵桿件桿端內(nèi)力計(jì)算式：

圖6 彈性地基梁桿端內(nèi)力與桿端位移簡(jiǎn)圖Fig.6 Internal force and displacement at the end of the elastic foundation beam

式（23）也稱為箱涵桿件轉(zhuǎn)角位移方程。

式中：MAB、MBA、QAB、QBA表示箱涵桿件桿端內(nèi)力；θA、θB、yA、yB表示箱涵桿件桿端位移；、、、表示箱涵桿件固端彎矩和固端剪力，即箱涵地基梁桿件載常數(shù)。

在得出箱涵桿件A B、A C；BA、BD；CA、CD；D C、D B的轉(zhuǎn)角位移方程后，則可分別建立箱涵結(jié)點(diǎn)A、B、C、D的力矩平衡方程

將箱涵桿件桿端內(nèi)力計(jì)算成果代入式（24）～（27），聯(lián)立求解便可得到箱涵結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角與位移。

4 工程實(shí)例

某水庫(kù)壩下箱涵采用豎井取水，箱涵坐落于土基上，為C20鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，混凝土彈性模量Ec=2.55×107kPa，土基彈性抗力系數(shù)k=10×103kN/m2。箱涵底板、頂板、側(cè)墻厚均為d=0.3m，計(jì)算寬度l=1.5m，計(jì)算高度h=1.9m，凈空尺寸1.2 m×1.6 m（寬×高）。底板承受內(nèi)水壓力p1=216 kN/m2，頂板承受內(nèi)水壓力p2=200 kN/m2。求箱涵在非均勻內(nèi)水壓力作用下的彎矩與剪力。

解：取單寬箱涵b=1.0 m進(jìn)行計(jì)算與分析。

工程實(shí)際問題表明，箱涵結(jié)構(gòu)與荷載軸對(duì)稱，箱涵結(jié)點(diǎn)基本未知量只有θA與θC。下面計(jì)算箱涵特征參數(shù)。

圖7 壩下箱涵橫剖面尺寸圖Fig.7 Profile of the box culvert beneath dam

4.1 箱涵特征參數(shù)

（1）箱涵底板、頂板、側(cè)墻的截面慣性矩I

（2）箱涵底板、頂板、側(cè)墻的特征參數(shù)β

于是

（3）箱涵底板、頂板、側(cè)墻的形常數(shù)

箱涵底板受均布荷載作用，桿端對(duì)稱轉(zhuǎn)動(dòng)，其形常數(shù)可將有關(guān)參數(shù)代入式（22）求算，即

類似箱涵頂板的形常數(shù)為

箱涵側(cè)墻頂端、底端形常數(shù)分別為

（4）箱涵底板、頂板、側(cè)墻的載常數(shù)

箱涵底板的載常數(shù)可將有關(guān)參數(shù)值代入式（6）、式（7）求算，即

類似箱涵頂板的載常數(shù)可將有關(guān)參數(shù)值代入式（8）、式（9）求算，即有

箱涵左側(cè)墻頂端的載常數(shù)可將有關(guān)參數(shù)代入式（13）、式（14）求算，即有

箱涵左側(cè)墻底端的載常數(shù)可將有關(guān)參數(shù)值代入式（15）、式（16）求算，即有

4.2 箱涵轉(zhuǎn)角位移方程

鑒于箱涵結(jié)構(gòu)力荷載關(guān)于豎向呈軸對(duì)稱，于是箱涵剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角存在關(guān)系θB=-θA，θc=-θD，且結(jié)點(diǎn)線位移為零。據(jù)式（23），可得箱涵結(jié)點(diǎn)A、C的變矩：

4.3 箱涵結(jié)點(diǎn)平衡方程

據(jù)式（24）及式（26），可列出箱涵結(jié)點(diǎn)A、C的力矩平衡方程

將箱涵轉(zhuǎn)角位移方程中的MAB、MAC、MCA、MCD表達(dá)式代入式（a）、式（b）得

聯(lián)立求解式（c）、式（d）得θA=-1.6455×10-4；θC=1.7248×10-4

4.4 箱涵桿端內(nèi)力

將求得的θA、θC值代入箱涵底板、頂板、側(cè)墻轉(zhuǎn)角位移方程式（23）中第1式、第2式，得如下桿端彎矩

此外，據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程式（23）中第3式、第4式可求算出箱涵底板、頂板、側(cè)墻桿端剪力

4.5 求底板、頂板的跨中彎矩與側(cè)墻最大彎矩

據(jù)式（21），且注意到箱涵底板有y0==0，M0=MAB，Q0=-QAB，于是得

箱涵底板跨中處有：β1x=β1l=×0.4569×1.5=0.3427，查表得：φ1=0.9977，φ2=0.3425，φ3=0.0587，φ4=0.0068。并將以上計(jì)算值θAB、MAB、QAB及P1代入式（e），即得底板跨中彎矩為：

類似可得箱涵頂板彎矩計(jì)算式

將有關(guān)計(jì)算值與查表值代入得

箱涵左側(cè)墻受梯形荷載作用，類似于式（e），其彎矩計(jì)算式為

將有關(guān)參數(shù)值與計(jì)算值代入，得

綜合以上計(jì)算結(jié)果，可得如圖8彎矩圖。

圖8 壩下箱涵內(nèi)水壓力作用下彎矩圖（單位：kN·m）Fig.8 Bending moment of the box culvert beneath dam under internal water pressure

5 結(jié)語(yǔ)

采用地下框架結(jié)構(gòu)模型，按左手直角坐標(biāo)系，采用初參數(shù)法分析彈性地基梁與位移法建立箱涵桿件轉(zhuǎn)角位移方程，推導(dǎo)壩下箱涵受非均勻內(nèi)水壓力作用下的內(nèi)力與變位計(jì)算式。工程實(shí)例計(jì)算成果表明，箱涵底板、頂板與側(cè)墻相交直角處與桿件跨中部位通常為內(nèi)力計(jì)算控制斷面，彎矩取極值，特別是側(cè)墻跨中部位外側(cè)有可能與土壓力荷載作用下的同向彎矩相疊加而加大結(jié)構(gòu)內(nèi)力。因此，為增強(qiáng)箱涵結(jié)點(diǎn)強(qiáng)度與剛度，消除或減小轉(zhuǎn)角處的應(yīng)力集中，采取設(shè)置貼角、配設(shè)構(gòu)造鋼筋及加強(qiáng)側(cè)墻跨中部位配筋等工程結(jié)構(gòu)措施是必要的。此外，尚需指出，計(jì)及地基彈性抗力，可降低箱涵桿件最大彎矩值，且所獲成果可毫無(wú)困難地直接應(yīng)用于水工矩形壓力隧洞洞段、矩形豎井與矩形調(diào)壓室襯砌結(jié)構(gòu)計(jì)算?！?/p>

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