基于嶺估計(jì)的概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)的求取

王明柱，郭廣禮，王 磊，王 彬

（1.中國礦業(yè)大學(xué)江蘇省資源環(huán)境信息工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇徐州221116;

2.中國礦業(yè)大學(xué)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇徐州 221116）

基于嶺估計(jì)的概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)的求取

王明柱1，2，郭廣禮1，2，王 磊1，2，王 彬1，2

（1.中國礦業(yè)大學(xué)江蘇省資源環(huán)境信息工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇徐州221116;

2.中國礦業(yè)大學(xué)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇徐州 221116）

采用最小二乘擬合求取概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)時，經(jīng)常遇到發(fā)散問題，致使求參結(jié)果失真。而求參過程中法矩陣的病態(tài)是造成結(jié)果發(fā)散的主要原因之一。將嶺估計(jì)應(yīng)用于預(yù)計(jì)參數(shù)的求取中，能夠有效地克服傳統(tǒng)最小二乘擬合求參時法矩陣的病態(tài)。在給出基于嶺估計(jì)求參模型的同時，使用Matlab實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的自動求取。最后通過模擬算例驗(yàn)證了該求參模型克服法矩陣病態(tài)的有效性及求參結(jié)果的可靠性。

嶺估計(jì);概率積分法;求參;開采沉陷;L曲線法

概率積分法是進(jìn)行開采沉陷預(yù)計(jì)的主要方法，預(yù)計(jì)過程中預(yù)計(jì)參數(shù)的準(zhǔn)確性決定了地表移動變形預(yù)計(jì)的精度。參數(shù)的影響因素主要有:覆巖的巖性和地層結(jié)構(gòu)、采深、采厚等［1］。我國大部分礦區(qū)都根據(jù)所設(shè)的地表移動觀測站反演出了適合自己礦區(qū)的概率積分預(yù)計(jì)參數(shù)。

預(yù)計(jì)參數(shù)的求取通常采用最小二乘擬合的方法，該方法計(jì)算簡單，且求參精度能滿足工程需求。而最小二乘擬合求參過程中法矩陣一旦病態(tài)，就致使迭代結(jié)果發(fā)散、失真，造成求參困難。為解決由于法方程系數(shù)陣病態(tài)而導(dǎo)致最小二乘估計(jì)不穩(wěn)定問題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們提出了嶺估計(jì)、廣義嶺估計(jì)、主成分估計(jì)等有偏估計(jì)來改善這種情況下的最小二乘估計(jì)。嶺估計(jì)法從減小均方誤差的角度出發(fā)，最初由A.E.Hoerl于1962年提出，并于1970年由他和R.W.Kennard對該方法做了系統(tǒng)的發(fā)展。該方法成為目前使用最多的一種有偏估計(jì)［2］。

采用嶺估計(jì)可有效克服病態(tài)矩陣干擾，使求參結(jié)果更可靠，確保概率積分法開采沉陷預(yù)計(jì)精度。

1 嶺估計(jì)

1.1 嶺估計(jì)基本原理

設(shè)有觀測方程:

式中，L是觀測值;A是系數(shù)陣;X是待估計(jì)參數(shù)的真值;Δ是噪聲，Δ～N（0，δ20I）。則上式常規(guī)的最小二乘解為

若法矩陣N=ATPA條件數(shù)很大，即為病態(tài)矩陣時，求逆就會出現(xiàn)不穩(wěn)定，致使最小二乘估計(jì)的方法不可能得到未知參數(shù)的精確估值［3］。嶺估計(jì)法可解決這類問題［4］。其基本思想是利用原最小二乘估計(jì)的數(shù)學(xué)模型，在其法方程系數(shù)矩陣N的對角線上加上一個很小的正數(shù)來抑制法方程的病態(tài)，是一種在均方誤差意義下優(yōu)于最小二乘估計(jì)的有偏估計(jì)方法，是最小二乘估計(jì)的線性組合。的嶺估計(jì)解為［2］

式中，k為嶺參數(shù)?？梢?，嶺估計(jì)結(jié)果與嶺參數(shù)k有關(guān)，選擇不同的嶺參數(shù)，估計(jì)結(jié)果可能差異很大，所以嶺估計(jì)的關(guān)鍵是選擇合適的嶺參數(shù)。

1.2 嶺參數(shù)的確定

關(guān)于嶺參數(shù)的確定，目前已經(jīng)有不少的方法，如嶺跡法、L曲線法、兩步解法及GCV法等，但是到目前為止還沒有一種公認(rèn)的好方法。相比較而言，L曲線法易于確定嶺參數(shù)，是一種確定嶺參數(shù)的良好方法［5］。本文使用L曲線法來確定嶺參數(shù)，在此進(jìn)行簡述，其他方法可參見文獻(xiàn) ［5－7］。

根據(jù)正則化原理，（1）式的嶺估計(jì)準(zhǔn)則為

求上式最大值就可得到最大曲率KLmax，其對應(yīng)點(diǎn)即為所求點(diǎn)。然后求出該點(diǎn)所對應(yīng)的嶺參數(shù)k，即為 （1）式所需要的k。具體求解過程可參見文獻(xiàn) ［8］。

2 概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)的嶺估計(jì)模型

2.1 求參的嶺估計(jì)模型

概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)可由地表點(diǎn)實(shí)測移動變形資料求出。當(dāng)布置的測點(diǎn)為正規(guī)觀測站時，可采用最小二乘曲線擬合法;當(dāng)測點(diǎn)為非正規(guī)觀測站即一系列散點(diǎn)時，可采用最小二乘曲面擬合法。若最小二乘的法矩陣病態(tài)，則易造成求參結(jié)果失真、不可靠?；趲X估計(jì)的曲面擬合法不僅可以有效地抵御法矩陣病態(tài)的干擾，還可適用于非正規(guī)觀測站和殘缺觀測站資料的求參。

概率積分法的預(yù)計(jì)參數(shù)有下沉系數(shù)q、主要影響角正切tanβ、主要影響傳播角θ、拐點(diǎn)偏移距S1，S2，S3，S4及水平移動系數(shù)b。其任一點(diǎn)移動變形預(yù)計(jì)具體計(jì)算公式可參見文獻(xiàn) ［1］。進(jìn)行基于嶺估計(jì)的曲面擬合法求參時，首先利用實(shí)測地表下沉值來求取q，tanβ，θ，S1，S2，S3，S4這7 個參數(shù)。然后，認(rèn)為這些參數(shù)已知，再利用地表點(diǎn)的水平移動觀測值進(jìn)行迭代擬合求取b。

根據(jù)任一點(diǎn)移動變形預(yù)計(jì)公式，任一點(diǎn)下沉Wi可表示為任一點(diǎn)坐標(biāo) （xi，yi）和參數(shù)q，tanβ，S1，S2，S3，S4和 cotθ的函數(shù)，即

由（4），（5）式確定嶺參數(shù)k，則7個參數(shù)改正數(shù)的嶺估計(jì)解為

接下來基于嶺估計(jì)的迭代求參過程同上述由實(shí)測地表下沉值求參，在此不贅述。

2.2 求參結(jié)果的精度評定

所求取參數(shù)的效果如何，可通各參數(shù)的均方誤差和各點(diǎn)擬合中誤差來考查。

2.2.1 計(jì)算各參數(shù)的均方誤差

2.2.2 計(jì)算各點(diǎn)擬合中誤差

根據(jù)上述的求參嶺估計(jì)模型，使用Matlab程序?qū)崿F(xiàn)了各參數(shù)的自動求取及參數(shù)的精度評定。

3 算例分析

通過模擬算例來檢驗(yàn)該模型抵御法矩陣病態(tài)的效果及求參的可靠性。

模擬開采一個近水平煤層，采厚為3m，平均采深為300m，工作面詳情見表1。工作面上方布設(shè)2條地表移動觀測線 （圖1）:一條走向觀測線，一條與走向成45°夾角的觀測線。共設(shè)有觀測點(diǎn)94個，點(diǎn)間距約20m。確定 7個參數(shù) q，tanβ，θ，S1，S2，S3，S4（表2），用概率積分任一點(diǎn)下沉預(yù)計(jì)公式計(jì)算出各測點(diǎn)下沉值，然后在各下沉值中加入標(biāo)準(zhǔn)差為10mm的隨機(jī)誤差，以此作為下沉觀測值進(jìn)行參數(shù)反演。

表1 工作面信息

表2 預(yù)計(jì)參數(shù)真值

圖1 觀測線布設(shè)

表3 基于最小二乘估計(jì)、嶺估計(jì)的求參結(jié)果比較

最小二乘估計(jì)法第1次迭代計(jì)算時法矩陣N極度病態(tài)，其條件數(shù)數(shù)量級達(dá)1020，經(jīng)第1次計(jì)算后部分參數(shù)已很大程度上偏離真值。繼續(xù)迭代計(jì)算后，各參數(shù)仍不收斂，最終計(jì)算結(jié)果發(fā)散。而嶺估計(jì)法大大改善了法矩陣的病態(tài)，第1次迭代計(jì)算時，其條件數(shù)數(shù)量級降為105。且迭代計(jì)算過程中，隨著各參數(shù)收斂于其真值，法矩陣條件數(shù)也愈小。

將基于嶺估計(jì)求得的各預(yù)計(jì)參數(shù)與表2中的真值相比，其精度足夠滿足預(yù)計(jì)工作的需要。最終各點(diǎn)下沉值的擬合中誤差為±10.3mm，接近于在原真值基礎(chǔ)上所加入的標(biāo)準(zhǔn)差為10mm的高斯白噪聲。驗(yàn)證了該模型求參的可靠性。

4 結(jié)論

（1）在使用最小二乘估計(jì)求取概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)時，存在由于法矩陣的極度病態(tài)，致使求參結(jié)果發(fā)散的問題。

（2）嶺估計(jì)法能夠很好地改善法矩陣的病態(tài)性，較最小二乘估計(jì)其難點(diǎn)僅在于嶺參數(shù)的確定。所采用的L曲線法能夠方便準(zhǔn)確地求出嶺參數(shù)，使嶺估計(jì)模型抗病態(tài)效果顯著。

（3）基于嶺估計(jì)的概率積分法求參模型，具有較好地抵御矩陣的病態(tài)性能，使求參結(jié)果更可靠。所建立的模型適用于全盆地的擬合求參，能夠處理不規(guī)則以及不完整的觀測站資料。

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Prediction Parameters Calculation of Probability Integration Method Based on Ridge Estimate

WANG Ming-zhu1，2，GUO Guang-li1，2，WANG Lei1，2，WANG Bin1，2
（1.Key Laboratory of Resources Environment Information Engineering of Jiangsu Province，China University of Mining ＆ Technology，Xuzhou 221116，China;2.Key Laboratory of Land Environment and Disaster Monitoring of State Bureau of Surveying and Mapping，China University of Mining＆Technology，Xuzhou 221116，China）

Divergence problem will often result in parameters distortion in solve prediction parameters of probability integration method with least square method.Morbidity of normal matrix is one of main divergence reasons.Ridge estimate was applied in solving prediction parameters，which could effectively overcome distortion of normal matrix.At the same time，Matlab was used to realize parameters＇automatic solving.A simulation example was present to verify the model.

ridge estimate;probability integration method;parameter solve;mining subsidence;Lcurve method

TD325.2

A

1006-6225（2012）02-0017-03

2011－11－05

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目 （50834004）;國家公益性行業(yè)基金資助項(xiàng)目 （200811050）;中國礦業(yè)大學(xué)青年科研基金資助項(xiàng)目（09091252）

王明柱 （1986－），男，江蘇豐縣人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殚_采沉陷與“三下”采煤。

［責(zé)任編輯:王興庫］

基礎(chǔ)研究