排隊(duì)論G/Ek/c模型及其在醫(yī)院眼科專家門診中的應(yīng)用

章順悅 楊 揚(yáng) 吳家利 宋婷婷 陳遠(yuǎn)方 劉文華 尹 平△

近年來，排隊(duì)論模型在醫(yī)療服務(wù)領(lǐng)域中的應(yīng)用受到了極大地關(guān)注〔1－2〕。由于醫(yī)療資源的相對短缺，一些大型綜合性醫(yī)院的排隊(duì)擁擠現(xiàn)象普遍存在。但病人到達(dá)醫(yī)療機(jī)構(gòu)的間隔時(shí)間分布往往又不可控，例如交通狀況，天氣、季節(jié)因素，病人流量和坐診醫(yī)生的口碑，以及目前興起的預(yù)約排隊(duì)與窗口排隊(duì)結(jié)合等都可能影響病人的到達(dá)，難以用確切的概率分布函數(shù)來表達(dá)。而排隊(duì)論G/Ek/c模型則可較好的解決此類復(fù)雜問題。本文通過介紹排隊(duì)論G/Ek/c模型的原理與參數(shù)估計(jì)，并對武漢市某大型綜合性醫(yī)院的眼科專家門診就診患者的排隊(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以期為優(yōu)化醫(yī)院眼科專家門診的人力資源配置，縮短病人的排隊(duì)等候時(shí)間提供科學(xué)的決策依據(jù)。

G/Ek/c模型的基本結(jié)構(gòu)

G/Ek/c模型指顧客的到達(dá)規(guī)律服從一般分布(G)，服務(wù)時(shí)間服從愛爾朗分布(Ek)，有c個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)論模型。其對顧客的到達(dá)時(shí)間分布沒有特定限制，適用范圍廣泛。以醫(yī)院眼科專家門診為例，介紹該模型的結(jié)構(gòu)。

1.顧客源

顧客源是指接受服務(wù)的對象。醫(yī)院眼科專家門診就診的病人即為顧客源，假設(shè)其為無限。病人到門診的分布受到很多因素影響，其間隔時(shí)間可認(rèn)為服從一般分布(G)。

2.隊(duì)列

在得到服務(wù)前等待的病人組成隊(duì)列，以其能容納的最大顧客數(shù)量為標(biāo)志。醫(yī)院的隊(duì)列多由若干個(gè)隊(duì)長組成(如3名專家坐診，則由3個(gè)隊(duì)長組成隊(duì)列)，而且患者掛號(hào)后通常不會(huì)因?yàn)榕抨?duì)的隊(duì)伍太長而輕易離開，視為無限隊(duì)長。

3.排隊(duì)規(guī)則

排隊(duì)規(guī)則指服務(wù)機(jī)構(gòu)是否允許顧客排隊(duì)，顧客對排隊(duì)長度、時(shí)間的容忍程度以及在排隊(duì)隊(duì)列中等待服務(wù)的順序。該專家門診按照先到先服務(wù)(FCFS)的等待制排隊(duì)規(guī)則，但中間插入了之前預(yù)約的患者，同時(shí)檢查歸來的患者與新到患者交叉接受診治。

4.服務(wù)臺(tái)與服務(wù)時(shí)間

專家門診的醫(yī)生可視為服務(wù)臺(tái)。為單個(gè)顧客提供服務(wù)開始到服務(wù)結(jié)束為止的時(shí)間跨度為服務(wù)時(shí)間。在眼科專家門診的診療過程中，病人的服務(wù)時(shí)間基本穩(wěn)定，其經(jīng)驗(yàn)分布大多近似愛爾朗分布。

資料來源

以武漢市某大型綜合性醫(yī)院的眼科專家門診排隊(duì)系統(tǒng)為研究對象。收集了2011年4月中旬兩個(gè)星期，從周一到周五共10天該眼科專家門診病人的到達(dá)情況。考慮到每天下午4點(diǎn)后專家門診基本上都在處理之前排隊(duì)的病人和預(yù)約病人，因此，每天的觀察時(shí)間為早上8點(diǎn)到下午4點(diǎn)。以患者到達(dá)接診臺(tái)登記等待為標(biāo)志，進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)，結(jié)束服務(wù)離開為終止標(biāo)志。共獲得390位就診患者的排隊(duì)數(shù)據(jù)資料。

G/Ek/c模型擬合與參數(shù)估計(jì)

1.G/Ek/c模型擬合

在觀測的10天共80小時(shí)期間，390位就診患者的到達(dá)率為4.88(人/小時(shí))。其中，到達(dá)的間隔時(shí)間最短為5分鐘，最長20分鐘，中位數(shù)為12.5分鐘，算術(shù)平均數(shù)為10分鐘?？蓪⒉∪讼嗬^到達(dá)醫(yī)院眼科專家門診的間隔時(shí)間分布看作一般分布(G)。

對于病人服務(wù)時(shí)間的分布，介于等長分布(D)與負(fù)指數(shù)分布(M)之間，即服務(wù)時(shí)間的偏差介于0與1/μ之間〔3，4〕。用來擬合這類中間情況的理論服務(wù)時(shí)間分布為愛爾朗分布，具有較好的靈活性〔5〕。事實(shí)上，負(fù)指數(shù)分布和等長分布就是愛爾朗分布當(dāng)k=1和k≈∞時(shí)的特例。

所謂愛爾朗分布，即設(shè)v1，v2，…，vk是k個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù)kμ的負(fù)指數(shù)分布，令T=v1+v2+…+vk，則T的概率密度函數(shù)為

且t＞0，稱T服從k階愛爾朗分布〔6〕。公式中 k和μ均為正，且k為整數(shù)。它的平均值為1/μ，方差為(1/kμ)2。為此，對一個(gè)經(jīng)驗(yàn)服務(wù)時(shí)間分布的平均值和方差進(jìn)行估測后，利用平均值和方差的公式即可用于確定k的整數(shù)值，并使其與估測值非常接近〔7〕。

由收集的服務(wù)時(shí)間記錄，取μ=1.5(人/小時(shí))，k=2，擬合愛爾朗分布。結(jié)果表明該眼科專家門診患者服務(wù)時(shí)間的分布服從k=2，均數(shù)為2/3(小時(shí))，方差為1/9的2階愛爾朗分布(χ2=3.1477，P=0.5334)，見表1。因此，可按病人依次到達(dá)間隔時(shí)間服從一般分布G，服務(wù)時(shí)間服從Ek分布進(jìn)行 G/Ek/c模型擬合。

表1 眼科專家門診服務(wù)時(shí)間的2階愛爾朗分布擬合結(jié)果

2．G/Ek/c模型的參數(shù)

記排隊(duì)系統(tǒng)整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)強(qiáng)度為ρ，是服務(wù)系統(tǒng)的平均利用率，即ρ=λ/cμ。當(dāng)ρ＜1時(shí)，不會(huì)排成無限隊(duì)列，系統(tǒng)平均到達(dá)率等于離去率，達(dá)到平衡狀態(tài)。排隊(duì)論模型的求解是基于平衡狀態(tài)下的定量指標(biāo)。主要指標(biāo)如下〔10〕:

λ—系統(tǒng)中新顧客的平均到達(dá)率;

c—服務(wù)臺(tái)數(shù);

μ—整個(gè)系統(tǒng)的平均服務(wù)率;

ρ—服務(wù)強(qiáng)度，即服務(wù)設(shè)施的利用因子，是平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比;

ρ=λ/cμ;

P0—服務(wù)臺(tái)空閑概率;

Pn—系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率;

Ls—隊(duì)列長，系統(tǒng)中的顧客總數(shù);

Lq—排隊(duì)長，隊(duì)列中正在排隊(duì)等待的顧客數(shù);

Ws—逗留時(shí)間，顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，包括等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間;

Wq—等待時(shí)間，顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間;

相關(guān)指標(biāo)相互關(guān)系的Little公式:

3．G/Ek/c模型參數(shù)估計(jì)

G/Ek/c模型的參數(shù)估計(jì)較復(fù)雜，國內(nèi)尚無詳細(xì)的文獻(xiàn)介紹。目前，國外文獻(xiàn)報(bào)道了幾種不同的解法，主要采用近似的逼近法〔8－9〕，基本求解過程如下〔10〕。

設(shè)排隊(duì)系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下，n為在時(shí)間x系統(tǒng)中的人數(shù)，l為在時(shí)間x到達(dá)的人數(shù)，i為系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的人數(shù)，s為在服務(wù)的服務(wù)臺(tái)數(shù)，在時(shí)間x有顧客n個(gè)的概率為P，則有

公式中a(s，m)為線性方程，wj是方程的根，且Bj和wj滿足如下方程:

在采用FCFS規(guī)則下，假設(shè)新到顧客的平均等待時(shí)間為:

模型在穩(wěn)定狀態(tài)下，解以上方程，平均等待時(shí)間近似為

由解得的Lq和Wq，根據(jù)Little公式〔6〕，其它指標(biāo)也就可以計(jì)算出來了。

結(jié) 果

基于 λ =4.88(人/小時(shí))，μ =1.5(人/小時(shí))，k=2，對該眼科門診的坐診專家人數(shù)c為3人、4人和5人時(shí)，應(yīng)用 G/Ek/c模型，利用軟件 Open Office加載QtsPlus4Calc〔3－4〕計(jì)算得各項(xiàng)主要評價(jià)指標(biāo)，如表 2 所示。并以系統(tǒng)中的病人數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的概率為縱坐標(biāo)，在c=3，c=4時(shí)繪制概率圖，如圖1和圖2所示。

表2 G/Ek/c模型應(yīng)用的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖1 c=3時(shí)系統(tǒng)中病人數(shù)的概率圖

由以上結(jié)果可知，當(dāng)有3位專家坐診時(shí)，系統(tǒng)利用率為98.84%，平均每小時(shí)系統(tǒng)空置的概率為0.0013，隊(duì)列中平均每小時(shí)19.96人，排隊(duì)人數(shù)平均每小時(shí)16.99人，病人平均排隊(duì)等待時(shí)間為3.54小時(shí)，且隊(duì)列中大于10人的概率為0.6868。表明擁擠現(xiàn)象很嚴(yán)重。

如增加1位坐診專家，即當(dāng)c=4時(shí)，系統(tǒng)利用率為82.50%，平均每小時(shí)系統(tǒng)空置的概率為0.0040，隊(duì)列中平均每小時(shí)4.14人，排隊(duì)人數(shù)平均每小時(shí)不足1人，病人平均排隊(duì)等待時(shí)間為0.17小時(shí)，且隊(duì)列中有10人的概率降為0.0262。擁擠情況已經(jīng)大為改善，效果相當(dāng)明顯，基本解決了擁擠排隊(duì)的問題。

圖2 c=4時(shí)系統(tǒng)中病人數(shù)的概率圖

如增加2位坐診專家，即當(dāng)c=5時(shí)，系統(tǒng)利用率為66.71%，平均每小時(shí)系統(tǒng)空置的概率為0.0221，隊(duì)列中平均每小時(shí)3.52人，排隊(duì)人數(shù)平均每小時(shí)0.17人，病人平均排隊(duì)等待時(shí)間為0.04小時(shí)，已經(jīng)完全不存在排隊(duì)擁擠的現(xiàn)象了。但相對4位專家的情況下，改善效果并沒有明顯增大，相對很高的人力成本來說，呈現(xiàn)出了浪費(fèi)。

綜合而言，該醫(yī)院眼科專家門診安排4位專家坐診較為合理。

討 論

到醫(yī)院就診排隊(duì)是一種司空見慣的現(xiàn)象，我國由于醫(yī)療行業(yè)資源不夠充分，這一現(xiàn)象顯得更為突出。如果盲目增加服務(wù)窗口，包括配置人員或者相應(yīng)的醫(yī)療設(shè)備，可能發(fā)生空閑和浪費(fèi)。如果服務(wù)窗口配置不足，容易導(dǎo)致病人因排隊(duì)時(shí)間太長而產(chǎn)生抱怨、不滿、憤怒等負(fù)面情緒，甚至在排隊(duì)過程中出現(xiàn)不良后果，對醫(yī)院的滿意度下降，直接影響病人對醫(yī)院的選擇和醫(yī)院的品牌及整體管理質(zhì)量。

本研究通過觀察醫(yī)院眼科專家門診的排隊(duì)狀況，引入G/Ek/c排隊(duì)論模型，對其人力資源配置進(jìn)行評價(jià)和預(yù)測，為提高醫(yī)院的服務(wù)效率，優(yōu)化醫(yī)療資源配置提供了科學(xué)的參考依據(jù)。

1．王瑩．排隊(duì)論模型求解就醫(yī)排隊(duì)問題．科技資訊，2010，(17)．

2．Vasanawala SS，Desser T S．Accommodation of requests for emergency US and CT:applications of queueing theory to scheduling of urgent studies．．Radiology，2005，235(1):244-249．

3．周文正，尹平，馬玉全，等．排隊(duì)論模型M/D/c在醫(yī)療服務(wù)系統(tǒng)中的應(yīng)用．中國衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，2009，26(6):608-610．

4．周俊，周文正，尹平．G/M/c模型在醫(yī)院口腔科門診診療系統(tǒng)中的應(yīng)用．中國醫(yī)院統(tǒng)計(jì)，2010，17(2):135-138．

5．Rosenquist C J．Queueing analysis:a useful planning and management technique for radiology．．JMed Syst，1987，11(6):413-419．

6．Frederick S．hillier，Gerald J．Lieberman．運(yùn)籌學(xué)導(dǎo)論．第八版．胡運(yùn)權(quán)譯．北京:清華大學(xué)出版社，2007，774-777．

7．Gorunescu F，Mcclean SI，Millard PH．Using a queueing model to help plan bed allocation in a department of geriatric medicine．Health Care Manag Sci，2002，5(4):307-312．

8．Avis D．Computing waiting times in GI/E ～ /s queueing system，TIMS Studies in Management Science，1977，7:215-232．

9．Ishikawa A．Stationary waiting time distribution in a GI/Ek/m queue，Oper．Res．Soc．Japan 27，1984:130-149．

10．Bertsimas D．An exact FCFSwaiting time analysis for a general class of G/G/s queueing systems．Queueing Systems 3，1988:305-320．