半平面Poisson方程邊值問題分析

郭時光

（四川理工學(xué)院理學(xué)院，四川 自貢643000）

其中：G（M，M 0）是區(qū)域V的Green函數(shù)；n M0是邊界?V上點(diǎn)M 0（x 0，y 0，z0）處關(guān)于區(qū)域V的向外法線方向。

0 前 言

設(shè)有上半平面Poisson方程邊值問題［1－6］

其中：f與g均為連續(xù)且可積的函數(shù)。

對于問題 （1），在目前眾多的數(shù)學(xué)物理方程著作中，有的未能給出其解［1，2］，有的直接采用Poisson方程Direchlet問題的Poisson公式，從而得出其解的積分表達(dá)式［3，4］為

其中G（x，y；x0，y0）是上半平面0≤y的Green函數(shù)

然而，一方面，問題 （1）不是嚴(yán)格的Direchlet問題，因?yàn)樯习肫矫娴倪吔缈梢暈橛伤臈l直線

組成的，該問題的邊界條件是不完整的。因此，從邏輯上來說，這個問題用Poisson方程Direchlet問題的Poisson公式來定解是說不通的；另一方面，在式 （2）中，如果代入y＝0，或者令y→0，則均得u（x，0）＝0?？梢?，這個解不能滿足問題 （1）中的邊界條件，因而人們難以接受這個解。那么，這個問題到底應(yīng)該如何來解呢？鑒于這個問題的重要性，下面討論這個問題。

1 引 理

引理［5，6］在Poisson方程 Direchlet問題中，設(shè)定解區(qū)域V具有逐片光滑的邊界?V，自由項(xiàng)f（M）與g（M）均為連續(xù)可積函數(shù)。如果V是二維區(qū)域，則問題 （4）存在解的積分表達(dá)式

其中：G（M，M0）是區(qū)域V的Green函數(shù)；nM0是邊界?V上點(diǎn)M0（x0，y0，z0）處關(guān)于區(qū)域V的向外法線方向。

2 問題的解

考慮如式 （3）所示的Green函數(shù)G＝G（x，y；x0，y0）。計(jì)算它關(guān)于邊界直線y＝0的向外法線方向?qū)?shù)，因?yàn)樯习肫矫骊P(guān)于邊界直線y＝0的向外法線方向?yàn)閚＝（0，－1），故得

分別計(jì)算Green函數(shù)G關(guān)于上半平面其它三個邊界直線的向外法線方向?qū)?shù)，得

所以，如果用?V表示上半平面的四條邊界直線，則無論將目標(biāo)函數(shù)u在其中三條邊界直線y＝＋∞，x＝±∞上賦予任何連續(xù)的值，總有

這樣，將問題 （1）視補(bǔ)足邊界條件而成為Direchlet問題之后，則可用引理的二維Poisson方程Direchlet問題Poisson公式計(jì)算。將上式中參變點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0）與變點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）互換，然后代入公式 （5），最后將積分化為重積分，于是得到解的積分表達(dá)式 （2）。

為了改變式（2）不滿足邊界條件這一狀況，如果y＞0，將式（2）中的前面一個積分作變換x0＝x＋ys，則得

如果y＝0，也用上式右邊代替左邊，這樣，解的積分表達(dá)式 （2）變?yōu)?/p>

3 解的正規(guī)性

證 根據(jù)條件，可以將y＝0代入式 （6）中，用G（x，0；x0，y0）＝0，得

當(dāng)y＞0時，式 （6）可以表示為式 （2）。將式 （2）作關(guān)于自變數(shù)x，y的Laplace運(yùn)算△，則用條件，等式 △G（x，y；x0，y0）＝－δ（x－x0，y－y0），以及δ函數(shù)的篩選性質(zhì)，得

由此可見，這時表達(dá)式 （6）是問題 （1）的正規(guī)解。

［1］ 查中偉．?dāng)?shù)學(xué)物理偏微分方程 ［M］．成都：西南交通大學(xué)出版社，2005：139－140．

［2］ 郭玉翠．?dāng)?shù)學(xué)物理方法 ［M］．北京：北京郵電大學(xué)出版社，2003：313．

［3］ 王元明．?dāng)?shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) （第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2003：95－97．

［4］ 郭時光．?dāng)?shù)學(xué)物理方程 ［M］．成都：西南交通大學(xué)出版社，2005：112．

［5］ 谷超豪，李大潛．?dāng)?shù)學(xué)物理方程 ［M］．北京：人民教育出版社，1979：115．

［6］ 嚴(yán)正軍．?dāng)?shù)學(xué)物理方程 ［M］．合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1996：34．