關(guān)于一類純指數(shù)Diophantine方程

管訓(xùn)貴

（泰州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州225300）

1 引 言

設(shè)a，b，c是給定的正整數(shù)。方程

是一類基本而又重要的指數(shù)Diophantine方程。由于該方程的求解與著名的廣義Fermat猜想有關(guān)，所以這是一個(gè)十分困難的問題。

1933年，K．Mahler運(yùn)用p－adic形式的Thue－Siegel定理證明了：方程 （1）僅有有限多組正整數(shù)解（x，y，z）。1940年，A．O．Gel’fond 進(jìn)一步給出方程 （1）的解數(shù)的可有效計(jì)算的上界。2001年，N．Terai［1］運(yùn)用文獻(xiàn) ［2］中有關(guān)Pell的基本解與Bernoulli數(shù)的整除性之間的關(guān)系證明了：如果a，b，c滿足a＋b＝c2，其中b是適合b≡5（mod12）的奇素?cái)?shù)，c是適合c≡－1（mod b2）的奇數(shù)；或a＋b3＝c2，其中b是適合b≡5（mod12）的奇素?cái)?shù)，c是適合c≡－1（mod b4）的奇數(shù)，則當(dāng)Bernoulli數(shù)B（b－1）／2不能被b整除時(shí)，方程 （1）僅有正整數(shù)解分別為 （x，y，z）＝ （1，1，2）與 （1，3，2）。然而該結(jié)果的證明是錯(cuò)誤的。2006年，樂茂華［3］去掉 “b是奇素?cái)?shù)”、“Bernoulli數(shù)B（b－1）／2不能被b整除”等限制條件，證明了：如果a，b，c滿足a＋b2l－1＝c2，b≡5（mod24），c是適合c≡－1（mod b2l）的奇數(shù)，其中l(wèi)是任意正整數(shù)，則方程 （1）僅有正整數(shù)解 （x，y，z）＝ （1，2l－1，2）。

作為文獻(xiàn) ［3］的補(bǔ)充，本文運(yùn)用初等數(shù)論方法證明了以下結(jié)果：

定理 如果a，b，c滿足a＋b2l－1＝c2，b≡23（mod24），c是適合c≡－1（mod b2l）的奇數(shù)，其中l(wèi)是任意正整數(shù)，則方程 （1）僅有正整數(shù)解 （x，y，z）＝ （1，2l－1，2）。

2 關(guān)鍵性引理

引理［4］如果a，b，c滿足a＋b2l－1＝c2，b≡23（mod24），c是適合c≡－1（mod b2l）的奇數(shù)，其中l(wèi)是任意正整數(shù)，則方程 （1）的正整數(shù)解 （x，y，z）適合2■y，2∣z。

證明 設(shè) （x，y，z）是方程 （1）的一組正整數(shù)解。由c≡－1（mod b）及a＋b2l－1＝c2知，a≡1（mod b），此時(shí)

由于b是大于1的奇數(shù)，故 （2）式說明2∣z。

又因b≡－1（mod 3），故由a＋b2l－1＝c2知：當(dāng)c≡0（mod3）時(shí)，a≡c2－b2l－1≡1（mod 3），即

當(dāng)c?0（mod3）時(shí)，a≡c2－b2l－1≡－1（mod 3），即

假定2∣y，則由方程 （1）可知，當(dāng)c≡0（mod3）時(shí)，

當(dāng)c?0（mod3）時(shí)，

因?yàn)?（5）與 （3）、（6）與 （4）矛盾，所以2■y。至此本引理的結(jié)論已證明。

3 定理的證明

設(shè)（x，y，z）是方程 （1）的一組正整數(shù)解。根據(jù)本文的引理知y是奇數(shù)，z是偶數(shù)。因?yàn)閎≡－1（mod8），故a≡c2－b2l－1≡1－（－1）≡2（mod8），即

又由方程 （1）可得

結(jié)合 （7）與 （8）立得x＝1。

由于x＝1，假定z＞2，則由方程 （1）及a＋b2l－1＝c2知，y＞2l－1，即y≥2l。另外，由c≡－1（mod b2l可得

同時(shí)，由方程 （1）可得

（10）與 （9）矛盾，說明z＝2，因此y＝2l－1。綜上所述，如果a，b，c滿足a＋b2l－1＝c2，b≡23（mod24），c是適合c≡－1（mod b2l）的奇數(shù)，其中l(wèi)是任意正整數(shù)，則方程（1）僅有正整數(shù)解（x，y，z）＝（1，2l－1，2）。定理得證。

根據(jù)定理直接可得以下推論。

推論1［5］Diophantine方程

僅有正整數(shù)解 （x，y，z）＝ （1，1，2）。

推論2［6］Diophantine方程

僅有正整數(shù)解 （x，y，z）＝ （1，3，2）。

［1］ Terai N．On the exponential Diophantine equation ax＋by＝cz［J］．Proc Japan Acad，2001，77A （08）：151－154．

［2］ Adachi N．The Diophantine equations x2＋ly2＝zlconnected with Fermat’s last theorem ［J］．Tokyo J Math，1988，11 （01）：85－94．

［3］ 樂茂華．關(guān)于三項(xiàng)純指數(shù)Diophantine方程的一點(diǎn)注記 ［J］．湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版：2006，24（03）：209－210．

［4］ 管訓(xùn)貴．不定方程x2－py2＝z2的正整數(shù)解 ［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，2（05）：5－7．

［5］ 管訓(xùn)貴．關(guān)于不定方程x2＋（p－1）y2＝pz2［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，26（01）：12－14．

［6］ 管訓(xùn)貴．初等數(shù)論 ［M］．安徽：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011：3－10．