實(shí)驗(yàn)室磁懸浮球系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

于建立，崔亞君，高峰娟

（海軍航空工程學(xué)院青島分院，山東 青島 266041）

磁懸浮技術(shù)的特點(diǎn),是利用磁場(chǎng)力將物體懸浮起來(lái)，使懸浮體與支撐體之間沒(méi)有任何機(jī)械接觸的一種新型技術(shù)，其具有無(wú)噪聲、無(wú)磨損、能耗低、壽命長(zhǎng)、安全可靠的一系列優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用到很多領(lǐng)域，如磁浮列車，航天器與電磁炮的磁懸浮發(fā)射、磁浮軸承、磁浮隔振器、磁懸浮飛輪儲(chǔ)能等。

磁懸浮球系統(tǒng)由感測(cè)器結(jié)構(gòu)、控制器結(jié)構(gòu)、驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)三大結(jié)構(gòu)組合而成。感測(cè)器是由光敏電阻來(lái)控制電流大小，在初始電壓和反饋電壓測(cè)得其值；而控制器部分，則由運(yùn)算得來(lái)的數(shù)值，再加以變化，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)到電磁鐵部分，讓其對(duì)球的吸引力增多或者減少。

磁懸浮球系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)是把電磁鐵繞組中加入大小一定的電流，這樣就會(huì)產(chǎn)生一定的電磁力，通過(guò)控制電流的大小，來(lái)產(chǎn)生與鋼球自身的重力相平衡的電磁力，鋼球就在空中處于平衡懸浮的狀態(tài)，但這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。原因是電磁力大小，與鋼球和電磁鐵之間的相互距離成反比，稍有干擾，鋼球就會(huì)偏離平衡位置。因此需要監(jiān)測(cè)鋼球與電磁鐵間的距離y的變化，保證鋼球的受力平衡，從而實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定閉環(huán)懸浮控制系統(tǒng)（如圖1）。

圖1 磁懸浮球控制系統(tǒng)功能圖

1 磁懸浮小球控制系統(tǒng)受力分析

磁懸浮小球的受力分析如圖2所示。

圖2 磁懸浮球受力分析圖

圖中，

規(guī)定向下為坐標(biāo)正方向；

勵(lì)磁電流i；

電磁鐵下端到鋼球的距離（平衡位置處）Y；

重力與電磁力相等的電流（平衡位置處）I；

電磁鐵下端面到鋼球的位移y；

當(dāng)鋼球受到干擾，偏離平衡位置向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，光電傳感器感受到小球變化的位置信號(hào)，同時(shí)把信號(hào)反饋給控制器，用來(lái)增加勵(lì)磁電流，使鋼球重新回到平衡位置；相反，當(dāng)鋼球受到干擾，偏離平衡位置向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，電流被控制器減小，使鋼球保持平衡位置，從而保證鋼球動(dòng)態(tài)平衡懸浮。

2 動(dòng)力學(xué)模型的推導(dǎo)

磁懸浮小球所受的電磁力做功，與兩個(gè)因素有關(guān)，就是繞組電流i和小球與電磁鐵的距離y，所以，根據(jù)電磁場(chǎng)能量方程與做功原理，可得電磁力的計(jì)算方程為

其中，

將式(2)代入式(1)得

進(jìn)一步求偏導(dǎo)得到電磁力Fe的表達(dá)式

式中y的含義如圖3所示。

圖3 小球部分受力圖

鋼球與電磁鐵端面接觸時(shí)的電感L1+L0；

沒(méi)有放置鋼球時(shí)繞組的電感L1；

a為線圈電感為L(zhǎng)1+L0/2時(shí)鋼球到電磁鐵的距離。

當(dāng)電感L=L1+L0/2時(shí)，測(cè)得鋼球距離電磁鐵的距離a=4.2 mm。

小球的運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)牛頓第二定律有

小球平衡時(shí)有

假設(shè)鋼球在平衡位置處時(shí)滿足

將式(3)代入式(4)，則有

即

通過(guò)式(5)，可以得出結(jié)論：電流 I的大小給定后，鋼球到電磁鐵下端的距離Y也是定值。

令

將式(5)按泰勒級(jí)數(shù)展開(在平衡位置處)，略去高階項(xiàng)，式(8)為線性化后的方程

為得到鋼球線性化的運(yùn)動(dòng)微分方程，將式(6)、式(7)和式(8)代入式(4)，

對(duì)式(8)兩端進(jìn)行拉氏變換，得

對(duì)上式以電流為輸入，以小球的位移為輸出，這樣就得到了小球運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

其中

3 相關(guān)參數(shù)的選取

參考圖2磁懸浮球受力分析圖，實(shí)驗(yàn)室中選取小球的質(zhì)量m=60 g，平衡位置處 Y=13 mm，平衡時(shí)的靜態(tài)電流，即電磁力與鋼球重力相等時(shí)的電流，實(shí)驗(yàn)室中這些電流可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)值，測(cè)量電路圖如圖4。

圖4 測(cè)量繞組電感的測(cè)量電路

圖4中，E為交流電源，當(dāng)R'的阻值足夠大時(shí)，電磁鐵繞組的電阻可以忽略，則U1和U2的計(jì)算表達(dá)式

U1=i R'，

U2=ω Li。

經(jīng)測(cè)量得到

L1=123.6 mH，

L0=8.3 mH，，

靜態(tài)電流I=452 mA.

各個(gè)參數(shù)具體取值情況如表1所列。

表1 各參數(shù)取值情況表

將相關(guān)參數(shù)取值代入傳遞函數(shù)G(s)，就可以得到從線圈電流△i到鋼球位置△y的開環(huán)傳遞函數(shù)

但開環(huán)控制沒(méi)有自動(dòng)修正偏差的能力，抗擾動(dòng)性較差，一般只應(yīng)用于對(duì)精度要求不高的場(chǎng)合，由運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)表達(dá)式，可以得到磁懸浮小球系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)

系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)，但S2位于右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。鋼球不能處于平衡位置懸浮，為保證鋼球的平衡懸浮，在系統(tǒng)中引入反饋控制。加入反饋后，磁懸浮小球系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5。

圖5 磁懸浮小球的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

控制器的閉環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

對(duì)加入單位反饋后的控制器進(jìn)利用Simulink進(jìn)行仿真，在階躍信號(hào)干擾下，示波器輸出波形如圖6。

圖6 加入單位反饋后控制器抗干擾情況

4 結(jié)束語(yǔ)

從示波器的輸出情況可以看出，在受到干擾情況下，小球仍會(huì)偏離平衡位置，但是這個(gè)變化是有限度的，逐漸趨于平穩(wěn)，但不是在原平衡位置處再次穩(wěn)定，所以說(shuō)加入單位反饋后，抗干擾能力是有所增強(qiáng)，但仍不能達(dá)到理想的控制目標(biāo)。要想使得小球穩(wěn)定懸浮于空中，還需要進(jìn)一步探討更好的校正方法。

[1]任彥碩.自動(dòng)控制原理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

[2]陶永華.新型PID控制及其應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1998.

[3]胡壽松.自動(dòng)控制原理（第四版）[M].北京：科學(xué)出版社，2005.