嚴(yán)格偽壓縮映像不動(dòng)點(diǎn)和均衡問(wèn)題的公共元的迭代算法

劉立紅， 陳東青， 馮光輝

(軍械工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 石家莊 050003)

0 引言

設(shè)H 為一實(shí)Hilbert 空間，C 是H 的非空閉凸子集，F(xiàn)(T)={x∈H|Tx =x}表示映像T 的不動(dòng)點(diǎn)集。設(shè)φ∶ C→R 為一實(shí)值函數(shù)，f∶ C×C→R 為二元均衡函數(shù)，即f(u，u)=0 對(duì)任意u∈C 成立?；旌暇鈫?wèn)題指的是:尋找x*∈C 使得

特殊地，若φ=0，問(wèn)題即簡(jiǎn)化為古典平衡問(wèn)題，即尋找x*∈C 使得

設(shè)(EP)的解集為Γ，(MEP)的解集為Ω。

近年來(lái)，Combettes and Hirstoaga［1］和Moudafi［2］分別在Hilbert 空間中研究尋找非擴(kuò)張映像或嚴(yán)格偽壓縮映像與混合均衡問(wèn)題解集的公共元素。受此研究成果的啟發(fā)，文中引入具有顯示格式的雜交投影算法，用以逼近嚴(yán)格偽壓縮映像的不動(dòng)點(diǎn)與混合均衡問(wèn)題解集的公共元，并證明了一個(gè)強(qiáng)收斂定理。

1 預(yù)備知識(shí)

用H 表示實(shí)Hilbert 空間，內(nèi)積和范數(shù)為〈·，·〉和‖·‖，F(xiàn)(T)={x∈H|Tx=x}表示映像T 的不動(dòng)點(diǎn)集。設(shè)C?H 是非空閉凸子集，記PC∶ H→C 是H 到C 上的投影。用表示序列的“強(qiáng)收斂”。

定義1 稱T∶ C→H 是非擴(kuò)張映像，若對(duì)?x，y∈C，滿足

定義2［3］稱T∶ C→H 是firmly 非擴(kuò)張映像，若對(duì)?x，y∈C，滿足

定義3［3］稱T∶ C→H 是k-嚴(yán)格偽壓縮映像，若存在常數(shù)0≤k ＜1，對(duì)?x，y∈C 滿足

注1 由定義可知，firmly 非擴(kuò)張映像一定是非擴(kuò)張的，非擴(kuò)張映像是0-嚴(yán)格偽壓縮的。

設(shè)C 為實(shí)Hilbert 空間H 的一個(gè)非空閉凸子集，f∶ C×C→R 為二元均衡函數(shù)。設(shè)r 為正數(shù)，對(duì)于給定的x∈C，所謂均衡問(wèn)題，即尋找y∈C，使得

式(4)的解集記為EP(f)。

文中二元均衡函數(shù)f∶ C×C→R 滿足下列條件:

(H4)任意取定x∈C，x→f(x，y)是凸的，且下半連續(xù)。

為了證明主要結(jié)果，需要下述引理:

引理1［4］設(shè)H 是內(nèi)積空間，對(duì)所有?x，y∈H，t∈［0，1］有

引理2［4］設(shè)C 為Hilbert 空間H 中的非空閉凸子集，?x∈H，?y∈C，則存在唯一的ω0∈C，滿足:(1)ω0=PCx?〈ω0-x，y-ω0〉≥0;(2)‖ω0-x‖≤‖y-x‖ 。

引理3［5］設(shè)C 為Hilbert 空間H 中的非空閉凸子集，f∶ C×C→R 滿足(H1)-(H4)，則對(duì)于?x，y∈H，r ＞0，則存在z∈C，滿足

引理4［1］設(shè)C 為實(shí)Hilbert 空間H 的一個(gè)非空閉凸子集，f∶ C×C→R 為二元均衡函數(shù)，且滿足條件(H1)-(H4)，對(duì)?x∈H，r ＞0，定義映射Sr∶ H→C 為:

則(i)Sr是單值的;

(ii)Sr是firmly 非擴(kuò)張的，即‖Srx-Sry‖2≤〈Srx-Sry，x-y〉，?x，y∈H;

(iii)EP(f)是非空閉凸的，且F(Sr)=EP(f)。

2 主要結(jié)果

定理:設(shè)C 是實(shí)Hilbert 空間H 中的非空閉凸子集，且T∶ C→H 為k-嚴(yán)格偽壓縮映像，f∶ C×C→R 為二元平衡函數(shù)，且滿足條件(H1)～(H4)，F(xiàn)=F(T)∩EP(f)≠Φ。序列(un}，{xn}，{yn}及{zn}由下列迭代生成

其中vn∈(a，b)?(0，1)，βn∈［0，c)c∈(0，1)且，則序列{un}，{xn}，{yn}及{zn}均強(qiáng)收斂于PF(x0)。

證明:第一步:證明Tα∶ C→H 為非擴(kuò)張映像。

由引理1 及迭代格式(5)，并注意到T 是嚴(yán)格偽壓縮映像，

‖Tαx-Tαy‖2≤(1 -α)‖x-y‖2+α［‖x-y‖2+k‖(I-T)x-(I-T)y‖2］-

α(1 -α)‖(I-T)x-(I-T)y‖2=‖x-y‖2+α(α+k-1)‖(I-T)x-(I-T)y‖2。

注意到0 ＜α ＜1 -k，所以

故Tα∶ C→H 為非擴(kuò)張映像。

第二步:證明F?Hn。

由Tα=(1 -α)I+αT 易知F(Tα)=F(T)，故F(Tα)∩EP(f)=F(T)∩EP(f)=F。

由于‖yn-z‖2≤‖xn-z‖2+βn(‖x0‖2+2〈xn-x0，z〉)與〈(1 -βn)xn+βnx0-yn，z〉≤〈xn-yn，等價(jià)，故Hn為半空間。?p∈F =F(Tα)∩EP(f)，由迭代格式(5)及PC和Sr的非擴(kuò)張性，得

所以p∈Hn。即F?Hn，對(duì)?n≥0。

第三步:證明{xn}為柯西列。

由于F(Ta)和EP(f)均是H 的非空閉凸子集，故F =F(Tα)∩EP(f)也是H 的非空閉凸子集。由引理2 知，?x∈H 存在唯一的ω0∈F(Tα)，使得ω0=PF(Tα)x0。對(duì)于固定的正整數(shù)m，對(duì)?z∈Hn+m，由‖xn+m-x0‖=‖PHn+mx0-x0‖≤‖z -x0‖知{xn}有界，再借助式(3)知{zn}也有界。由ω0∈F(Tα)?Hn+m得，對(duì)?n≥0，‖xn+m-x0‖≤‖ω0-x0‖。由Hn的定義，顯然Hn+m?Hn，‖xn-x0‖≤‖xn+m-x0‖，對(duì)?n≥0。故存在常數(shù)c，使得由引理2 知xn+m∈Hn，xn=PHnx0，且〈xn-x0，xn+m-xn〉≥0，因此‖xn+m-xn‖2≤‖xn+m-x0‖2-‖xn-x0‖2，故所以{xn}為柯西列，即

從而‖xn-un‖2≤‖xn-p‖2-‖un-p‖2，故

移項(xiàng)整理得

?p∈F，‖xn- p‖≤‖xn- TαPCzn‖ + ‖TαPCzn- p‖≤‖xn- TαPCzn‖ + ‖zn- p‖，移項(xiàng)得‖xn-p‖-‖zn-p‖≤‖xn-TαPCzn‖。由第二步知0≤‖xn-p‖-‖zn-p‖≤‖xn-TαPCzn‖，故

第五步:證明序列{un}，(xn}，{yn}及{zn}均強(qiáng)收斂于PF(x0)。

?p∈F 由引理1 及迭代格式(5)得

注意到{xn}及{zn}的有界性，得結(jié)合式(9)得證明q∈F(Tα)。事實(shí)上，由于q=TαPCq，故有PCq =PCTαPCq。由Zhou［6］知，PCq =TαPCq，從而q =PCq，即q∈F(Tα)。再由得q ∈F(Srn)= EP(f)，所以q ∈F(Tα)∩EP(f)=F(T)∩EP(f)=F。即序列{xn}強(qiáng)收斂于PF(x0)。結(jié)合式(10)、(11)、(12)知{un}，{yn}及{zn}均強(qiáng)收斂于PF(x0)。

［1］Combettes P L，Hirstoago S A． Equilibrium programming in hilbert spaces［J］． Nonlinear and Convex Analysis，2005，6(5):117-136．

［2］Moudafi A． Second-order differential proximal methods for equilibrium problems［J］． Inequal Pure Appl Math，2003，8(4):1-8．

［3］Bauschke H H，Combettes P L． A weak-to-strong convergence principle for Fejer-monotone methods in Hilbert spaces［J］．Mathematics of Operations Research，2001，26:248-264．

［4］Marino G，Xu H K． Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces［J］． Math． Anal．Appl．，2007，329:336-349．

［5］Takahashi S，Takashi W． Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces［J］． Math． Anal． Appl．，2007，331:506-515．

［6］Zhou H Y． Convergence theorems of fixed points for k-strict pseudo-contraction in Hilbert spaces［J］． Nonlinear Anal．，2008，69:456-462．