高速鐵道車輛天棚阻尼懸掛系統(tǒng)時(shí)滯穩(wěn)定性分析

廖英英， 劉永強(qiáng)， 楊紹普， 魏紅梅

(1．石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;2．石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;3．山東華宇職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東 德州 253034)

0 引言

我國(guó)鐵路第六次大提速以后，干線客運(yùn)列車的運(yùn)營(yíng)速度可以達(dá)到200 km/h，高速客運(yùn)專線運(yùn)營(yíng)速度超過(guò)300 km/h，為人們的日常出行和經(jīng)濟(jì)提升提供了堅(jiān)實(shí)的保障。但隨著運(yùn)行速度的提高，車輛振動(dòng)加劇，對(duì)鐵道車輛的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、運(yùn)行平穩(wěn)性和安全性等產(chǎn)生了嚴(yán)重影響。半主動(dòng)控制技術(shù)的提出為解決這一難題提供了思路，國(guó)內(nèi)外的眾多專家學(xué)者在理論上對(duì)半主動(dòng)控制效果進(jìn)行了分析［1-3］，結(jié)果表明:相對(duì)于被動(dòng)控制，半主動(dòng)控制技術(shù)可以提高鐵道車輛運(yùn)行平穩(wěn)性20%以上。然而，在實(shí)際運(yùn)用中半主動(dòng)控制效果卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于這一數(shù)值［4］。究其原因，控制系統(tǒng)中存在的時(shí)滯是造成半主動(dòng)控制效果差的重要因素之一。

時(shí)滯是指在控制系統(tǒng)的信號(hào)采集、傳輸，控制器規(guī)則形成和作動(dòng)器輸出等過(guò)程中存在的時(shí)間滯后現(xiàn)象，最終表現(xiàn)為在系統(tǒng)不需要能量時(shí)作動(dòng)器輸出能量，這就會(huì)造成控制效果變差和系統(tǒng)特性的改變，甚至?xí)斐上到y(tǒng)失穩(wěn)等。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)懸掛系統(tǒng)中時(shí)滯造成的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究。胡海巖和王在華［5-6］曾對(duì)帶時(shí)滯的天棚阻尼主動(dòng)懸架和考慮司機(jī)反應(yīng)時(shí)滯的四輪驅(qū)動(dòng)車輛系統(tǒng)的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換問(wèn)題進(jìn)行研究。張文豐［7］，翁建生［8］和陳龍［9］等討論了時(shí)滯對(duì)具有天棚阻尼控制的1/4 汽車懸架模型的頻響特性的影響，并計(jì)算了系統(tǒng)臨界時(shí)滯的大小。Jalili［10］根據(jù)穩(wěn)定性分析提出一種包含作動(dòng)器時(shí)滯的車輛懸架系統(tǒng)優(yōu)化方法。Shin［11］利用定性和定量的方法分析了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

在目前的時(shí)滯穩(wěn)定性研究中，大多數(shù)都是針對(duì)汽車懸架系統(tǒng)進(jìn)行的，而以更加復(fù)雜的鐵道車輛懸掛系統(tǒng)的時(shí)滯穩(wěn)定性為研究對(duì)象的還很少見(jiàn)。本文對(duì)包含一系阻尼的鐵道車輛1/4 動(dòng)力學(xué)模型中存在的時(shí)滯穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行分析，以期獲得含時(shí)滯的懸掛控制系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時(shí)滯的情況。

1 磁流變阻尼器天棚阻尼控制

作為半主動(dòng)控制的實(shí)現(xiàn)載體，磁流變阻尼器有很多優(yōu)點(diǎn)，如反應(yīng)時(shí)間短(約0．1ms)，抗剪切強(qiáng)度高，對(duì)溫度和外界環(huán)境不敏感，不存在明顯的時(shí)滯問(wèn)題，調(diào)節(jié)方便等優(yōu)點(diǎn)［12］。磁流變阻尼器的力學(xué)模型有很多種，如Bingham 模型、Bouc-Wen 模型和多項(xiàng)式模型等。本文采用文獻(xiàn)［13］中的用速度的指數(shù)函數(shù)和線性函數(shù)擬合磁流變阻尼的特性曲線，當(dāng)電壓為最大時(shí)阻尼力可表示為

式中，sign(x)為符號(hào)函數(shù);V 為車體和懸掛之間的相對(duì)速度，即V = ˙x2- ˙x1;a 和b 為常數(shù)，反映了磁流變阻尼在高速時(shí)的飽和性以及在低速時(shí)的高阻尼性，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得。

在理想狀態(tài)下，天棚阻尼控制下的磁流變阻尼器輸出的可調(diào)阻尼系數(shù)為

式中，Cout為磁流變阻尼器輸出的可調(diào)阻尼系數(shù)。

但在實(shí)際中，磁流變阻尼器輸出的最小可調(diào)阻尼器系數(shù)并不能達(dá)到零值，而存在著所謂的基值阻尼C，即磁流變阻尼器實(shí)際輸出的最小可調(diào)阻尼器系數(shù)為C。本文為了分析方便，將基值阻尼C 看作一個(gè)單獨(dú)的阻尼器存在，而將磁流變阻尼器的輸出可調(diào)阻尼系數(shù)寫(xiě)為

式中，Cr為調(diào)整后的磁流變阻尼器時(shí)實(shí)際輸出可調(diào)阻尼系數(shù)。

2 含時(shí)滯的鐵道車輛垂向模型

包括一系垂向阻尼的鐵道車輛1/4 模型如圖1 所示，速度通道內(nèi)含時(shí)滯τ 的運(yùn)動(dòng)微分方程寫(xiě)為

根據(jù)λ2M + λC + K 得到系統(tǒng)特征方程為

圖1 1/4 車模型

系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界條件是方程(6)有純虛根，設(shè)純虛根為λ = iω，帶入方程(6)，并將指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，然后分離實(shí)部和虛部，結(jié)果為

可以分別得到sin(ωτ)和cos(ωτ)的表達(dá)式

將式(8)帶入sin2(ωτ)+ cos2(ωτ)= 1 中可以得到僅含未知數(shù)ω 的方程

可以通過(guò)求解方程(9)得到ω 的實(shí)根，帶入式(8)可得臨界時(shí)滯τ。如果方程(9)的根中沒(méi)有實(shí)根，則系統(tǒng)進(jìn)入全時(shí)滯穩(wěn)定。

3 臨界時(shí)滯穩(wěn)定性分析

采用300 km 級(jí)高速動(dòng)車組拖車車輛的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 車輛系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)上述方法，可以繪得系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時(shí)滯隨可調(diào)阻尼變化的情況，如圖2 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)可調(diào)阻尼cr= 2 113 N·s/m 時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時(shí)滯達(dá)到最大，為0．882 s。當(dāng)可調(diào)阻尼cr＜2 113 N·s/m 時(shí)，方程(9)無(wú)實(shí)根，系統(tǒng)進(jìn)入全時(shí)滯穩(wěn)定狀態(tài)。經(jīng)過(guò)改變基值阻尼c2的大小，可以得到不同基值阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)達(dá)到臨界失穩(wěn)時(shí)的可調(diào)阻尼和臨界時(shí)滯的大小。計(jì)算表明，取任意基值阻尼時(shí)，只要滿足cr-c2=113 N·s/m，系統(tǒng)就會(huì)達(dá)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)，如圖3 所示。

圖2 系統(tǒng)臨界時(shí)滯隨可調(diào)阻尼變化情況

圖3 系統(tǒng)臨界時(shí)滯隨阻尼差值變化情況

以虛線為界，虛線左側(cè)為系統(tǒng)全時(shí)滯區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)無(wú)論時(shí)滯取多大的值，理論上系統(tǒng)均為穩(wěn)定狀態(tài)。虛線右側(cè)為非全時(shí)滯區(qū)域，臨界時(shí)滯曲線下方區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域，臨界時(shí)滯曲線上方為系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域。

4 數(shù)值仿真分析

4．1 時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)頻響特性的影響

對(duì)特征矩陣(λ2M + λC +K)求逆，可以得到傳遞函數(shù)矩陣G(λ)，那么λG(λ)則代表¨x2到˙xr的傳遞特性，將λ = iω 帶入，即可得到其復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)矩陣，即

根據(jù)式(10)，可以繪出時(shí)滯對(duì)幅頻特性和相頻特性的影響情況，選取可調(diào)阻尼系數(shù)cr= 8 000 N·s/m，此時(shí)的系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時(shí)滯為0．474 6 s，任意選取時(shí)滯τ = 0．1 s，τ = 0．3 s 和τ = 0．5 s 的情況下進(jìn)行說(shuō)明，如圖4 所示。從圖中可以看出，時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)一階共振峰值(f = 0．537 Hz 處)的影響很大，而對(duì)系統(tǒng)二階共振峰值(f = 4．965 3 Hz 處)的影響卻很小。當(dāng)時(shí)滯超過(guò)系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時(shí)滯時(shí)，一階共振峰值趨于無(wú)窮大，系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

圖4 時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)頻響特性的影響

4．2 仿真分析

分別考察在確定性激勵(lì)和軌道不平順隨機(jī)激勵(lì)作用下，時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。根據(jù)方程(4)設(shè)計(jì)Simulink 框圖，如圖5 所示。參數(shù)根據(jù)表1 選取，取cr= 18 000 N·s/m，此時(shí)系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時(shí)滯為0．371 9 s。

考察隨機(jī)激勵(lì)作用下的情況。本文采用基于頻域功率譜采樣的數(shù)值模擬方法生成德國(guó)高干譜軌道不平順曲線［14］，如圖7 所示。仿真車輛以250 km/h 的速度行駛在德國(guó)高干擾軌道上，考察軌道不平順隨機(jī)激勵(lì)作用下的車體分別在時(shí)滯τ = 0 s，τ = 0．3 s 和τ = 0．5 s 時(shí)的振動(dòng)加速度情況，如圖8 所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)滯量的增加，車體振動(dòng)加速度增大，當(dāng)時(shí)滯超過(guò)系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時(shí)滯量時(shí)，車體振動(dòng)加速度曲線發(fā)散，系統(tǒng)失穩(wěn)。

5 結(jié)論

本文基于含時(shí)滯的線性常微分方程臨界時(shí)滯理論分析，采用數(shù)值方法討論了時(shí)速300 km 級(jí)高速動(dòng)車組的失穩(wěn)臨界時(shí)滯大小，分析了不同區(qū)域的穩(wěn)定性狀態(tài)，然后分析了不同時(shí)滯狀態(tài)下的系統(tǒng)頻響特性，并對(duì)確定性激勵(lì)和軌道不平順隨機(jī)激勵(lì)作用下的車體振動(dòng)情況進(jìn)行了仿真分析。研究結(jié)果表明，時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)一階共振的影響較大，當(dāng)時(shí)滯超過(guò)理論計(jì)算臨界時(shí)滯時(shí)，車體振動(dòng)加劇，系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

圖5 時(shí)滯系統(tǒng)Simulink 框圖

圖6 正弦激勵(lì)下時(shí)滯對(duì)振動(dòng)的影響

圖7 生成的德國(guó)高干擾隨機(jī)不平順

圖8 隨機(jī)激勵(lì)下時(shí)滯對(duì)振動(dòng)的影響

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