非連續(xù)粗糙多界面接觸變形和能量損耗特性研究

肖會(huì)芳，邵毅敏，周曉君

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030)

動(dòng)力系統(tǒng)中，結(jié)構(gòu)之間通過界面進(jìn)行動(dòng)力耦合和能量傳遞。由于動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，往往是多結(jié)構(gòu)，非連續(xù)多界面的相互耦合與相互作用。同時(shí)，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)表面，并非絕對(duì)平面，而是具有不同程度的粗糙度［1-4］。振動(dòng)與能量經(jīng)過這些非連續(xù)的粗糙多界面時(shí)，具有怎樣的損耗行為與傳遞機(jī)理，對(duì)描述動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng)特性與能量特性至關(guān)重要，也是研究較少的難題。

本文在對(duì)非連續(xù)單一結(jié)構(gòu)界面的變形與能量損耗進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上［5］，通過建立“多層粗糙金屬板-剛性平面”的多界面模型，采用有限元方法，對(duì)加載與卸載過程中，具有不同粗糙界面形貌、不同塑性變形-硬化行為和界面摩擦的多層疊加模型多界面的接觸力和變形進(jìn)行計(jì)算，分析了多層疊加結(jié)構(gòu)非連續(xù)多界面的塑性變形及硬化引起的能量損耗，討論了能量在多界面?zhèn)鬟f時(shí)沿接觸界面的損耗特性，以及界面摩擦對(duì)塑性變形-硬化引起的能量損耗的影響。

1 “多層粗糙金屬板－剛性平面”模型

1.1 模型描述

螺栓連接是機(jī)器設(shè)備最主要的零部件連接方式之一，在不同零部件的結(jié)合面產(chǎn)生的振動(dòng)能量耗散占機(jī)器設(shè)備總能量耗散的比率高達(dá)80% ～90%［6］。螺栓連接是典型的非連續(xù)粗糙多界面接觸形式。其中，兩個(gè)部件配合緊固墊圈通過螺栓進(jìn)行連接，是其最廣泛的連接方式之一，具有三部件-四接觸界面特征。本文提出的多層疊加結(jié)構(gòu)粗糙界面接觸的“多層粗糙金屬板-剛性平面”模型，如圖1所示。其中，三層金屬板縱向疊加置于固定的下剛性平面，金屬板的表面為具有一定表面形貌的三維粗糙表面。法向外載荷施加于上部可移動(dòng)的剛性平面。圖1所示模型的接觸界面分別為1，2，3 和 4。其中，界面1和界面4是金屬板1和金屬板3分別與上、下剛性平面的接觸面;界面2和界面3是金屬板1與金屬板2，金屬板2與金屬板3的接觸面，并假設(shè)各層金屬板的材料屬性相同。

圖1 “多層粗糙金屬板-剛性平面”多界面模型示意圖Fig.1 Sketch diagram of“multiple rough plates-rigid plane”model

結(jié)構(gòu)的表面粗糙度可以通過統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)進(jìn)行表征和描述［1，2］，如表面高度的標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ，斜率 σ'和曲率σ″，其參數(shù)依賴于樣本的尺寸和測(cè)試儀器的精度，具有尺度依賴性。與統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)模型相比，表面分形模型具有自相似和尺度獨(dú)立的特性，更能從本質(zhì)上描述粗糙表面的特征［7-9］。三維分形表面可以通過修正的兩參數(shù) Weierstrass– Mandelbrot函數(shù)生成［10-11］:

其中，L為樣本長度，G為分形粗糙度，D為表面分形維數(shù)(2＜D＜3)，Ls為截?cái)嚅L度，γ (γ ＞1)為縮放參數(shù)，M為生成分形表面的脊線數(shù)量，n是頻率因子，nmax=int［log(L/Ls)/logγ］，Φm，n是［0，2π］內(nèi)的隨機(jī)相位。

表面粗糙程度由尺度獨(dú)立的分形參數(shù)D和G控制。表面分形維數(shù)D，其物理意義是粗糙表面所占據(jù)的空間程度大小，D值越大對(duì)應(yīng)于越密集的表面形態(tài)(更光滑的表面形貌)。表面分形粗糙度G是高度尺度參數(shù)，G值越大對(duì)應(yīng)于越粗糙的表面形貌。參數(shù)D和G一般通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試確定。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，D的范圍為［2.3，2.7］，G的范圍為［1.36e-13，1.36e-10］m［10］。

式(1)所示的粗糙表面高度函數(shù)具有比例不變和自相似特性，即:在表面粗糙度一定時(shí)(D和G值一定)，不同樣本長度L表征的表面具有相似的形貌特征［10］。本文以 Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)生成的 0.9 μm×0.9 μm各向同性三維分形表面進(jìn)行多界面的接觸變形和能量損耗特性研究，其分形表面形貌如圖2所示。其中，Ls=1.5e-7m，M=10，γ =1.5［11］，G=1.36e-11m，圖2(a)的D=2.3，圖2(b)的D=2.7。圖2顯示，對(duì)相同的表面分形粗糙度G，增大分形維數(shù)D的表面形貌更光滑。

圖2 不同表面粗糙度的三維分形粗糙表面(G=1.36e-11m)Fig.2 Three-dimensional Weierstrass-Mandelbrot fractal surfaces(G=1.36e-11m)

本文主要研究粗糙金屬板與剛性平面之間，以及粗糙金屬板與粗糙金屬板之間的彈-塑性接觸行為。在粗糙表面，實(shí)際接觸面積遠(yuǎn)小于整個(gè)粗糙表面面積，接觸面僅為一些點(diǎn)和很小的面，因而很容易在接觸點(diǎn)處發(fā)生應(yīng)力集中，使應(yīng)力值高于屈服應(yīng)力而產(chǎn)生塑性變形［5，12］。塑性變形不可恢復(fù)，可以通過金屬板彈塑性材料的屈服準(zhǔn)則和硬化準(zhǔn)則來計(jì)算［12］。不同硬化準(zhǔn)則的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖3所示，包括線性應(yīng)變硬化(LH)，非線性應(yīng)變硬化(NLH)和理想彈塑性(EPP)，對(duì)應(yīng)于不同的塑性變形-硬化行為。線性應(yīng)變硬化(LH)準(zhǔn)則的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為:

非線性應(yīng)變硬化(NLH)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為:

其中，σy0為初始屈服應(yīng)力，E為彈性模量，Et為剪切模量，εp為塑性應(yīng)變，r0，r∞，b為非線性硬化準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的常數(shù)。理想彈塑性(EPP)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對(duì)應(yīng)于式(2)中Et=0。

圖1所示模型的移動(dòng)剛性平面施加均布的法向位移，位移逐漸加載到最大值后卸載，計(jì)算加載與卸載過程中不同界面處的變形和接觸力，并繪制接觸力-變形曲線，曲線形成封閉區(qū)域的面積即為該界面的能量損耗U。能量在多界面進(jìn)行傳遞時(shí)沿接觸界面的損耗特性通過能量傳遞損耗率η描述，界面i的能量傳遞損耗率ηi定義為:

圖3 不同硬化準(zhǔn)則的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，線性應(yīng)變硬化(LH)，非線性應(yīng)變硬化(NLH)和理想彈塑性(EPP)Fig.3 Stress strain relationships，linear hardening(LH)，nonlinear hardening(NLH)，and elastic-perfectly plastic(EPP)

其中，Ui為界面i(i=1，…，N)的能量損耗量，UT為所有界面的總能量損耗量，UT=∑Ui，在圖1所示模型中，N=4。ηi為界面i的能量損耗占總能量損耗的比值。

1.2 有限元計(jì)算模型

有限元計(jì)算模型，如圖4所示。其中，圖4(a)和圖4(b)的粗糙界面分別與圖2(a)和圖2(b)所示的三維分形粗糙表面對(duì)應(yīng)。有限元模型的建立方法與文獻(xiàn)［5］一致，即:金屬板用SOLID185單元離散;金屬板與剛性平面之間，金屬板和金屬板之間建立接觸對(duì);底部剛性平面全約束，上剛性平面僅具有Z方向自由度;均布的位移載荷通過加載和卸載兩個(gè)載荷步施加在上剛性平面;求解金屬板與剛性平面之間，金屬板與金屬板之間的接觸力;繪制不同界面的接觸力-變形曲線。文獻(xiàn)［5］已對(duì)有限元計(jì)算方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證，本文不再贅述。為敘述簡(jiǎn)便，模型(a)的界面簡(jiǎn)稱為:形貌Ⅰ界面，模型(b)的界面簡(jiǎn)稱為:形貌Ⅱ界面。

圖4 有限元計(jì)算模型Fig.4 Finite element mesh of rough solid and rigid plate

2 計(jì)算結(jié)果與分析

計(jì)算采用的材料參數(shù)與文獻(xiàn)［5］一致，如表1。對(duì)各接觸界面(界面1，2，3和4)的法向接觸力Fn和變形量z進(jìn)行無量綱化處理:fn=Fn/E'A0，δ=z/L，其中A0為名義接觸面積(=L2，L為樣本長度)，E'為復(fù)合彈性模量(E'=E/(1-ν2)，E為彈性模量，ν為泊松比)。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameters used in calculations

2.1 界面無摩擦

2.1.1 接觸力-變形關(guān)系(fn-δ曲線)

界面無摩擦，金屬板的塑性變形行為不同，最大法向變形δ=0.1，不同界面形貌(形貌I界面(a)和形貌II界面(b))，加載和卸載過程，界面1、2、3和4的力-變形關(guān)系曲線，如圖5所示。

與單一界面相同［5］，各接觸界面的加載和卸載曲線也存在滯回面積。加載過程，各界面的接觸力隨變形呈非線性增加，接觸剛度為非線性;不同形貌界面的接觸剛度隨變形的變化規(guī)律不同:對(duì)形貌I界面(D=2.3，圖5(a)、(c)、(e))，接觸剛度隨變形的增大由初始值零逐漸增大(曲線斜率由零逐漸增大);而對(duì)更平滑的形貌 II界面(D=2.7，圖5(b)、(d)、(f))，最大接觸剛度為初始接觸階段，載荷逐漸增加，接觸剛度逐漸減小(曲線斜率逐漸減小)，當(dāng)變形增大到一定數(shù)值后，剛度幾乎保持不變(曲線斜率為定值)。卸載過程，接觸力隨變形遞減，接觸剛度逐漸減小。加載和卸載過程，不同界面的接觸剛度大小不同，界面4的接觸剛度最大(曲線的斜率最大)，界面1最小。

加載過程，對(duì)形貌 I界面(D=2.3)，不同界面i(i=1，…，N，N=4)的接觸力與變形可用關(guān)系式(5)表示:

加載過程，對(duì)形貌Ⅱ界面(D=2.7)，不同界面i(i=1，…，N，N=4)的接觸力-變形關(guān)系可表示為指數(shù)非線性、線性項(xiàng)、二次非線性和三次非線性之和，可由式(6)表示:

其中，式5(a)和式6(a)用于描述界面1，2和3的力-變形關(guān)系，系數(shù)kα和 α、kβ、β、k1、k2和k3，與界面形貌、界面的材料屬性和接觸界面的位置相關(guān)。

圖5 無摩擦?xí)r不同界面形貌和材料屬性下各界面加載與卸載的力-變形曲線Fig.5 Plots of force vs.deformation at different interfaces of different material models

表2 力－變形關(guān)系表達(dá)式的系數(shù)表Tab.2 Coefficients of kβ，β，k1，k2and k3in Eq.(6)，q in Eq.(7)for varying cases studied

卸載過程，不同界面i(i=1，…，N，N=4)的接觸力-變形關(guān)系可表示為:

其中，式7(a)用于描述界面1，2和3的力-變形關(guān)系，δp為塑性變形量，q為非線性指數(shù)。因界面4的卸載接觸力瞬時(shí)減小為零，其接觸力如式7(b)。

圖5的結(jié)果表明:式(6)和式(7)能很好地描述各界面的力-變形關(guān)系，表達(dá)式中的各系數(shù)數(shù)值，如表2所示。為驗(yàn)證力-變形關(guān)系表達(dá)式(6)和式(7)的有效性，對(duì)比了金屬板具有理想彈塑性變形行為且界面形貌為形貌Ⅱ界面時(shí)(圖5(f))的力-變形關(guān)系式與實(shí)際計(jì)算結(jié)果之間的相對(duì)誤差，如圖6所示。最大相對(duì)誤差是13.2%，出現(xiàn)在變形初始階段;其余部分的相對(duì)誤差值約為3%，圖6所示的結(jié)果表明式(6)和式(7)可以有效表征實(shí)際計(jì)算結(jié)果，具有較高精度。

圖6 力-變形關(guān)系計(jì)算式與實(shí)際計(jì)算值的相對(duì)誤差Fig.6 Plot of relative error between calculated results and results obtained using Eq.(6)and Eq.(7)

2.1.2 能量傳遞損耗率-變形關(guān)系(η-δ曲線)

圖5顯示，界面1，2，3和4加載曲線和卸載曲線形成的滯回面積大小不同，界面1最大，界面4最小。滯回面積的大小即為能量損耗量，表明界面1能量損耗最大，界面4最小。不同接觸界面的能量損耗量Ui可表示為:

其中:

式(8)顯示，在界面屬性和最大變形量一定時(shí)，界面能量損耗量U隨著塑性變形的增加呈線性遞增。式(8)與式(4)可用于計(jì)算不同界面處的能量傳遞損耗率ηi。

界面無摩擦，不同塑性變形行為(線性應(yīng)變硬化(LH)，非線性應(yīng)變硬化(NLH)和理想彈塑性(EPP))，不同界面形貌(形貌Ⅰ界面和形貌Ⅱ界面)，各界面(界面1，2，3和4)的能量傳遞損耗率-變形關(guān)系曲線(η-δ曲線)，如圖7所示。

圖7顯示，形貌I界面(圖7(a))，界面 1，2，3的能量傳遞損耗率 η幾乎不隨材料屬性(LH，NLH和EPP)變化，而界面4的能量傳遞損耗率η受材料屬性影響較大;不同界面的能量傳遞損耗率η隨變形量δ變化:隨著變形δ增大，界面1的能量傳遞損耗率減小;界面2幾乎不變;界面3和界面4增大。其中，界面1的能量傳遞損耗率η最大，η≈0.5;界面2的能量傳遞損耗率η≈0.33;界面 3的能量傳遞損耗率約為η≈0.16;界面4 最小，η≈0.07。

表3 無摩擦與有摩擦的力－變形關(guān)系表達(dá)式系數(shù)對(duì)比Tab.3 Coefficients of kβ，β，k1，k2and k3in Eq.(6)，q in Eq.(7)for cases studied with and without friction

對(duì)更平滑的形貌Ⅱ界面(圖7(b))，不同界面(界面1，2，3和4)的能量傳遞損耗率η幾乎不隨材料屬性和變形量δ而變化。與形貌Ⅰ界面一致(圖7(a))，形貌Ⅱ界面(圖7(b))在界面1的能量傳遞損耗率η最大，界面4最小;但與形貌Ⅰ界面的界面4處η≈0.07不同，在形貌Ⅱ界面的界面4處η≈0，即最后接觸界面的能量損耗幾乎為0。

圖7表明對(duì)非連續(xù)的粗糙多界面，由塑性變形引起的能量損耗，約有50%損耗在第一接觸界面，約有33%損耗在第二接觸界面，而最后界面的能量損耗最小，幾乎為0。

2.2 界面存在摩擦

實(shí)際界面一般存在摩擦，界面存在摩擦?xí)r的有限元計(jì)算模型與2.2節(jié)相同，不同的是在接觸界面處增加了摩擦因子μ=0.2。金屬板的塑性變形行為為非線性應(yīng)變硬化(NLH)，重點(diǎn)討論界面摩擦對(duì)其界面力-變形關(guān)系，以及能量耗散的影響。

2.2.1 接觸力-變形曲線

界面存在摩擦，金屬板具有非線性應(yīng)變硬化材料屬性，最大變形為δ=0.1，形貌Ⅰ界面(a)和形貌Ⅱ界面(b)，加載和卸載過程，各界面的力-變形關(guān)系曲線，如圖8所示。與圖5界面無摩擦的曲線相比，界面存在摩擦?xí)r:力-變形曲線形狀基本一致，因而各界面的接觸剛度變化趨勢(shì)一致;相同變形下，各界面的接觸力增大，因而其界面能量損耗量增大［5］。但與無摩擦相比，各界面滯回面積大小的比例并無明顯變化。

圖8的擬合曲線顯示，式(6)和式(7)同樣很好地描述了界面存在摩擦?xí)r，加載和卸載過程，不同界面的力-變形關(guān)系，表達(dá)式(6)和式(7)中各系數(shù)的數(shù)值如表3所示。表3顯示，與無摩擦的系數(shù)相比，界面存在摩擦?xí)r:系數(shù)kβ和非線性指數(shù)β基本均增大，卸載曲線的非線性指數(shù)q減小，而線性項(xiàng)系數(shù)k1，二次和三次非線性項(xiàng)系數(shù)k2和k3并無變化規(guī)律。

2.2.2 能量傳遞損耗率-變形曲線

圖9表示了摩擦對(duì)界面1，2，3和4的能量傳遞損耗率η的影響關(guān)系。對(duì)形貌Ⅰ界面(圖9(a))，界面存在摩擦，變形δ較小時(shí)，能量傳遞損耗率η差異較大，界面1，3，4的能量傳遞損耗率η增大，界面2處減小;隨著變形δ增大，界面摩擦對(duì)能量傳遞損耗率η無影響;對(duì)形貌Ⅱ界面(圖9(b))，與無摩擦一致，界面存在摩擦?xí)r，不同界面的能量傳遞損耗率η與變形δ無關(guān);摩擦對(duì)界面1和界面4的能量傳遞損耗率無影響，而使界面2的能量傳遞損耗率增大約3%，界面3相應(yīng)減小。

上述計(jì)算結(jié)果是基于尺寸為 0.9 μm ×0.9 μm 的分形表面模型。對(duì)于其他尺寸的分形表面，由于分形函數(shù)(1)的自相似特性，在相同載荷下，不同樣本長度L表征的粗糙表面具有相似的壓力分布特征。因此，不同尺寸分形表面的實(shí)際接觸面積大小與L2成正比，其界面接觸力、接觸剛度和能量損耗量的數(shù)值大小隨長度L相應(yīng)變化。因而，本文以尺寸為 0.9 μm ×0.9 μm分形表面進(jìn)行計(jì)算研究獲得的結(jié)論同樣適用于其他尺寸，不同的是，接觸剛度、接觸力和能量損耗量的數(shù)值大小會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化。

3 結(jié)論

本文通過建立“多層粗糙金屬板-剛性平面”的粗糙多界面模型，運(yùn)用有限元方法，對(duì)不同界面形貌、不同塑性變形行為和界面摩擦的多層疊加模型的多界面，在加載和卸載過程中的變形、接觸力以及由塑性變形和界面摩擦引起的能量損耗特性進(jìn)行了研究，主要結(jié)論如下:

(1)對(duì)具有不同塑性變形行為、不同界面形貌的粗糙多界面，在加載過程中，各界面接觸力隨著變形呈非線性增加，接觸剛度為非線性;在卸載過程中，接觸力隨變形呈非線性遞減，接觸剛度也為非線性;加載與卸載過程中，最后界面的接觸剛度最大，第一界面最小。

(2)界面的加載接觸力-變形關(guān)系可以用線性項(xiàng)、指數(shù)非線性、二次非線性和三次非線性之和表示;卸載接觸力-變形關(guān)系可以用指數(shù)關(guān)系表示。

(3)加載和卸載曲線形成的滯回面積大小不同，能量損耗沿界面逐漸減小，第一接觸界面最大，最后接觸界面最小。

(4)粗糙度較大的界面，界面間的能量傳遞損耗率η與變形量δ相關(guān)，基本不受材料屬性影響;對(duì)粗糙度較小的界面，界面間的能量傳遞損耗率η基本不受材料屬性和變形量δ影響。

(5)界面摩擦將增大界面的接觸力，但基本不改變各界面力-變形曲線的形狀;界面摩擦對(duì)界面能量傳遞損耗率存在影響，即對(duì)于粗糙度較大的界面，在變形較小時(shí)影響較大;對(duì)于粗糙度較小的界面，僅對(duì)中間界面的能量傳遞損耗率影響較大。

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