基于復(fù)合優(yōu)化方法立式數(shù)控加工中心的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

彭艷華，管貽生，張憲民，姜 橫，龔循飛，陳 忠，許 冠，毛衛(wèi)東

(1.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510641;2.佛山市南海中南機(jī)械有限公司，廣東 佛山 528247)

隨著全球一體化經(jīng)濟(jì)步伐的加快，制造行業(yè)在產(chǎn)品性能、質(zhì)量、輕量化、客戶化、低成本和交貨時間短等方面的競爭日益激烈，如何使企業(yè)能夠快速響應(yīng)市場，在較短時間內(nèi)以較高性價比的產(chǎn)品占領(lǐng)市場，是企業(yè)得以生存和發(fā)展的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為此企業(yè)必須依靠創(chuàng)新性思維、先進(jìn)的設(shè)計(jì)制造技術(shù)、完善的管理，同時又要降低成本，保證質(zhì)量及良好的售后服務(wù)。傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法已無法滿足這些要求，使得企業(yè)必須采用各種先進(jìn)設(shè)計(jì)、制造技術(shù)和工具，提高產(chǎn)品性能和研發(fā)效率的同時降低成本［1］。

數(shù)控加工中心優(yōu)化設(shè)計(jì)涉及結(jié)構(gòu)外形優(yōu)化、筋板優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，目前關(guān)于機(jī)床的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究主要有機(jī)床動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)、拓?fù)鋬?yōu)化、可重構(gòu)機(jī)床初步設(shè)計(jì)的最佳模塊選擇、基于柔性元結(jié)構(gòu)的廣義模塊化設(shè)計(jì)等，如張建潤等［2］對五坐標(biāo)數(shù)控龍門加工中心進(jìn)行了動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，劉偉等［3］采用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行了XH600高速加工中心立柱拓?fù)鋬?yōu)化，Chen等［4］采用可重構(gòu)方法進(jìn)行了機(jī)床的優(yōu)化設(shè)計(jì)，徐燕申等［5］提出了機(jī)械產(chǎn)品廣義模塊化設(shè)計(jì)的概念，這些方法應(yīng)用于機(jī)床結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中取得了非常好的效果，解決了單目標(biāo)和單形式優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。數(shù)控加工中心機(jī)床優(yōu)化設(shè)計(jì)本質(zhì)上是一個多目標(biāo)復(fù)合優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。鑒于此，本文采用拓?fù)鋬?yōu)化、基于元結(jié)構(gòu)的可適應(yīng)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)和基于響應(yīng)面法的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)等先進(jìn)的設(shè)計(jì)技術(shù)，對數(shù)控加工中心外形、筋板和尺寸進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了FWV-6A加工中心在保證加工中心動靜態(tài)性能的基礎(chǔ)上，整機(jī)重量最輕的目標(biāo)。

1 有限元動靜態(tài)分析與實(shí)驗(yàn)

1.1 有限元模型

FWV-6A加工中心主要由主軸箱、立柱、床身、滑臺、工作臺等五大件組成，在各大件建模時忽略溫度應(yīng)力的影響;簡化所有的過渡圓角、倒角和螺孔;采用與原結(jié)構(gòu)在幾何形狀及尺寸相一致的實(shí)體建模;選用與其結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的solid-brick 20 node 95塊單元對各零件分別采用不同單元尺寸大小進(jìn)行網(wǎng)格劃分［6］。所有材料、彈性模量、泊松比和密度分別為 HT300、1.3×1011Pa、0.25、7 350 kg/m3。

1.2 載荷條件

通過對加工中心的分析可知，當(dāng)主軸箱處于立柱導(dǎo)軌上部，且進(jìn)行重切削時，其各大件的受力和靜變形最大，所以后面的動靜態(tài)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)均在該工況下進(jìn)行。在重切削工況下，加工中心所受到的切屑力按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算［7］，由經(jīng)驗(yàn)公式算得的切屑力一般比實(shí)際小10% ～20%。得X，Y，Z三個方向上切削力分別為1 661.6 N、4 499.7 N、2 769.4 N，除受到切屑力的作用外，還受到安裝于其上的主要零部件的作用力和重力。

1.3 有限元模態(tài)分析與模態(tài)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所建立模型精確性，對加工中心進(jìn)行了模態(tài)實(shí)驗(yàn)，測試時采用懸掛法模擬自由邊界條件，用激振器從不同方向?qū)庸ぶ行拇蠹M(jìn)行激振，激振信號為正弦掃頻，掃頻范圍為100～1 000 Hz，經(jīng)ME’scope-VESv5處理得到拾振點(diǎn)所測的加速度信號頻響函數(shù)(Frequency Response Functions，F(xiàn)RFs)。立柱、床身和滑臺前三階固有頻率有限元分析與試驗(yàn)值對比如表1所示。

表1可知所建立的有限元模型與實(shí)際情況還是比較吻合，這為加工中心大件模型靜力分析提供了保證，為加工中心優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了可靠的依據(jù)［7］。

表1 機(jī)床固有頻率有限元分析值與測試值Tab.1 Comparison of machine tool natural frequency between finite element analysis and test

1.4 靜變形分析

根據(jù)前面建立的有限元分析模型，分別計(jì)算立柱、床身和滑臺的最大靜變形為4.688 7×10-5m、1.223 4×10-6m、9.766 2 ×10-6m。

2 拓?fù)鋬?yōu)化

通常情況下，拓?fù)鋬?yōu)化問題可以用下式來描述:

式中X是設(shè)計(jì)變量，f(X)是目標(biāo)函數(shù)，hi(X)和gi(X)分別是等式和不等式約束方程，xi是第i個設(shè)計(jì)變量和分別是第i個設(shè)計(jì)變量的上下邊界。

在機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，目標(biāo)函數(shù)f(X)可以是結(jié)構(gòu)重量，最大應(yīng)力，結(jié)構(gòu)柔度，機(jī)械總成本等，約束函數(shù)可以是靜動態(tài)位移、應(yīng)力、頻率、溫度、制造約束等。約束函數(shù)通常是設(shè)計(jì)變量的隱函數(shù)，通常是通過結(jié)構(gòu)有限元分析獲得。將機(jī)械設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化方程后，通過解方程就可以獲得最優(yōu)機(jī)械結(jié)構(gòu)。

應(yīng)用變密度法來求解拓?fù)鋬?yōu)化問題，在密度法中標(biāo)準(zhǔn)密度是設(shè)計(jì)變量，定義為:

式中，αi是第i個有限元標(biāo)準(zhǔn)密度，ρi是優(yōu)化期間第i個有限元所使用的密度，ρi0是材料的真實(shí)密度。αi值是0～1之間。密度法假定單元的彈性模量與標(biāo)準(zhǔn)密度的關(guān)系為:

式中:Ei是拓?fù)鋬?yōu)化過程中第i個單元使用的彈性模量，Ei0是材料的真實(shí)彈性模量，β是2～4之間的給定約束。根據(jù)式5可知，當(dāng)αi等于0時，Ei等于0，也就是位于設(shè)計(jì)空間的第i個單元沒有材料，相反如果αi等于1，則Ei0=Ei，表示第i個單元有材料，位于0和1之間的值沒有任何物理意義。它們描述的是分布材料形成拓?fù)鋬?yōu)化的過渡時期的中間數(shù)據(jù)，實(shí)際上所有的值都會收斂于0或1，β為懲罰因子，是對中間密度單元項(xiàng)進(jìn)行懲罰，以盡量減少結(jié)構(gòu)中間密度單元，使設(shè)計(jì)變量尋優(yōu)方向，向兩端發(fā)展，從而避免棋盤格現(xiàn)象，使結(jié)構(gòu)單元盡可能為0或1［8］。

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

用拓?fù)鋬?yōu)化方法優(yōu)化設(shè)計(jì)立式數(shù)控加工中心，設(shè)計(jì)目標(biāo)是保證柔度最小的條件下重量最輕，由加工中心單個零部件和整機(jī)的分析結(jié)果可知，立柱結(jié)構(gòu)對整個加工中心的動靜態(tài)性能影響最大，應(yīng)對立柱進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。首先建立立柱的簡單框架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，然后根據(jù)立柱的受力情況簡化出立柱X，Y和Z三個方向的主要受力，同時對立柱的下底面進(jìn)行約束，以柔度最小為目標(biāo)，體積為原體積的50%為約束進(jìn)行優(yōu)化。拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖1所示。拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果大都是不規(guī)則的空間結(jié)構(gòu)，因此需要對拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果進(jìn)行抽象和簡化。加工成本和加工材料的成本構(gòu)成了立柱的主要成本，減少質(zhì)量固然可以減少加工材料的成本，但一味追求減少體積而導(dǎo)致不合理設(shè)計(jì)帶來的額外加工成本可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于材料減少降低的成本。因此對立柱上端采用直線和圓弧兩種方式進(jìn)行逼近，下端采用不同直徑的半圓弧進(jìn)行逼近，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖2所示，根據(jù)性能與質(zhì)量比，最終決定將上端設(shè)計(jì)成90°圓弧，半徑為725 mm。下端設(shè)計(jì)成帶底座，直徑為100 mm的半圓弧。優(yōu)化模型如圖2(f)所示，框架立柱與優(yōu)化后立柱性能對比如表2所示。

圖1 拓?fù)鋬?yōu)化Fig.1 Topological optimization

優(yōu)化結(jié)果表明，拓?fù)鋬?yōu)化后立柱相對于原框架立柱質(zhì)量減輕了472 kg，第一階固有頻率提高了，但第二階和第三階固有頻率相對原框架結(jié)構(gòu)減低了，所以需要對其形貌和尺寸進(jìn)行優(yōu)化以加強(qiáng)立柱的局部薄弱區(qū)域。

表2 框架立柱與優(yōu)化立柱性能對比Tab.2 Comparison of performance of frame and optimization column

圖2 拓?fù)鋬?yōu)化建模Fig.2 Topology optimization modeling

3 形貌優(yōu)化

機(jī)械結(jié)構(gòu)和機(jī)床的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，合理的筋板不僅能加強(qiáng)機(jī)械結(jié)構(gòu)和機(jī)床的剛度而且還能大大的減輕重量，文獻(xiàn)［9］采用元結(jié)構(gòu)的方法來分析和優(yōu)化機(jī)床結(jié)構(gòu)，本文將元結(jié)構(gòu)看成工藝過程中可能得到的單元結(jié)構(gòu)。基于元結(jié)構(gòu)的機(jī)床結(jié)構(gòu)可適應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)原理，將機(jī)床結(jié)構(gòu)的不同設(shè)計(jì)方案看成是滿足工藝約束情況下不同參數(shù)和形式的元結(jié)構(gòu)組合的結(jié)果，然后采用一定的優(yōu)化算法，從這些方案中尋找滿足功能要求和工藝約束的最佳方案。機(jī)床結(jié)構(gòu)可適應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程如圖3所示。整個優(yōu)化設(shè)計(jì)過程主要包含如下步驟;① 根據(jù)對結(jié)構(gòu)的功能要求，確定結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)方案。②按照功能要求將結(jié)構(gòu)分解為若干的子結(jié)構(gòu)，進(jìn)而根據(jù)工藝特點(diǎn)，將子結(jié)構(gòu)分解為若干的元結(jié)構(gòu)。③ 對元結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化組合，獲得滿足功能要求的可能結(jié)構(gòu)方案，并使用ANSYS中的遺傳算法(GA)對元結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。④ 建立對機(jī)床結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)的評價模型，并以此作為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)。⑤ 建立優(yōu)化模型進(jìn)行求解。

圖3 優(yōu)化設(shè)計(jì)過程Fig.3 Optimal design process

3.1 結(jié)構(gòu)分解

首先，對優(yōu)化機(jī)床結(jié)構(gòu)按照功能進(jìn)行分解，將其分解為接口子結(jié)構(gòu)、承載子結(jié)構(gòu)和加強(qiáng)子結(jié)構(gòu)。接口子結(jié)構(gòu)主要是該部件與其他部件連接的區(qū)域，在優(yōu)化設(shè)計(jì)時要保證接口參數(shù)不發(fā)生變化。承載子結(jié)構(gòu)是該結(jié)構(gòu)的主要承載區(qū)域，它的有無將影響結(jié)構(gòu)的功能。加強(qiáng)子結(jié)構(gòu)是為改善結(jié)構(gòu)性能而添加的結(jié)構(gòu)，它不影響結(jié)構(gòu)的功能。被優(yōu)化結(jié)構(gòu)可視為若干接口子結(jié)構(gòu)、承載子結(jié)構(gòu)及加強(qiáng)子結(jié)構(gòu)按照一定規(guī)則進(jìn)行連接后得到的結(jié)果。

3.2 元結(jié)構(gòu)的創(chuàng)建

對數(shù)控加工中心立柱、床身和滑臺結(jié)構(gòu)進(jìn)行功能結(jié)構(gòu)分解:分解成接口子結(jié)構(gòu)、承載子結(jié)構(gòu)和加強(qiáng)子結(jié)構(gòu)，再將加強(qiáng)子結(jié)構(gòu)分解成如圖4所示的元結(jié)構(gòu)，根據(jù)此元結(jié)構(gòu)進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)出如圖5所示的多種元結(jié)構(gòu)。

圖4 元結(jié)構(gòu)Fig.4 Unit structure

通過對所創(chuàng)建的元結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析可知，圖5(d)元結(jié)構(gòu)的比剛度最大為120.299，綜合考慮工藝性因素，選用圖5(d)元結(jié)構(gòu)作為床身和立柱的筋板結(jié)構(gòu)，圖5(h)元結(jié)構(gòu)作為滑臺筋板結(jié)構(gòu)。然后分別采用上述元結(jié)構(gòu)作為立柱、床身和滑臺筋板結(jié)構(gòu)建立模型。

4 尺寸優(yōu)化

圖5 新元結(jié)構(gòu)Fig.5 New unit structure

在通過拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)了立柱的外形框架結(jié)構(gòu)，以及基于元結(jié)構(gòu)的可適應(yīng)性動態(tài)優(yōu)化原理設(shè)計(jì)了立柱、床身和滑臺的筋板結(jié)構(gòu)后，采用尺寸優(yōu)化來確定以固有頻率最大為目標(biāo)的元結(jié)構(gòu)最佳長寬高比、孔洞直徑和基于動靜剛度和重量為目標(biāo)或約束條件函數(shù)的加工中心立柱、床身和滑臺的最優(yōu)結(jié)構(gòu)尺寸。首先，根據(jù)加工中心結(jié)構(gòu)確定影響優(yōu)化指標(biāo)的關(guān)鍵因素，在Solid-Works中對元結(jié)構(gòu)和加工中心大件建立參數(shù)化CAD模型。通過以CAE為中心的開放平臺AWB與CAD軟件之間的無縫連接接口，將參數(shù)化CAD模型直接轉(zhuǎn)化為AWB DS中的數(shù)字CAE模型;參考加工中心的原始設(shè)計(jì)變量尺寸規(guī)劃出參數(shù)值變化區(qū)間。然后，采用中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Central Composite Designs，CCD)確定試驗(yàn)點(diǎn)，在AWB DS仿真模塊中對試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行有限元分析計(jì)算，并根據(jù)試驗(yàn)獲得的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在ANSYS Workbench Design Xplorer(AWB DX)優(yōu)化模塊擬合出目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型，即建立響應(yīng)面模型［10-11］。運(yùn)用轉(zhuǎn)移哈默斯利(Shifted Hammersley)序列抽樣技術(shù)在n維可行解區(qū)域內(nèi)抽取均勻分布的樣本點(diǎn)，作為遺傳算法的初始種群。以加工中心質(zhì)量和第一階固有頻率作為優(yōu)化目標(biāo)，初始加工中心靜變形和二、三階固有頻率作為約束，參數(shù)化結(jié)構(gòu)尺寸作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，建立優(yōu)化模型。最后，采用多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法求解這一模型以得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)尺寸。

4.1 優(yōu)化結(jié)果

元結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化以固有頻率最大為目標(biāo)，長、寬、高和圓孔直徑作為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果顯示，當(dāng)元結(jié)構(gòu)長寬高之比接近于1，圓孔與長寬高之比接近0.4時元結(jié)構(gòu)性能最好，據(jù)此元結(jié)構(gòu)建立立柱、床身和滑臺模型。然后確定三大件最優(yōu)尺寸，下面以立柱為例說明此過程。綜合考慮計(jì)算時間、計(jì)算內(nèi)存和優(yōu)化空間之間的關(guān)系決定采用如表3所示的11個參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)置好優(yōu)化參數(shù)范圍、優(yōu)化邊界條件和優(yōu)化目標(biāo)后利用Shifted Hammersley抽樣技術(shù)方法在決策空間Ω中抽取均勻分布樣本點(diǎn)，樣本數(shù)量由決策者選擇。然后對樣本點(diǎn)進(jìn)行權(quán)衡排序，選取排序靠前的300個Shifted Hammersley樣本點(diǎn)作為多目標(biāo)遺傳算法的初始種群。

利用AWB DX中的多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法對目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求解，選擇每次迭代個體總數(shù)為100個，最大運(yùn)行代數(shù)100次，得到多目標(biāo)帕累托(Pareto)最優(yōu)解。根據(jù)設(shè)計(jì)者需求從Pareto最優(yōu)解中，選取其中的1組解如表3所示。為了得到適應(yīng)工程應(yīng)用的最優(yōu)結(jié)果，需要對計(jì)算出來的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行修正。則需要靈敏度分析，目的是確定結(jié)構(gòu)響應(yīng)量對設(shè)計(jì)變量的變化率［12］。

圖6和圖7分別為設(shè)計(jì)變量對各目標(biāo)函數(shù)的靈敏度分析結(jié)果。綜合考慮11個設(shè)計(jì)變量對總靜變形、固頻和質(zhì)量之間的靈敏度關(guān)系折中圓整各參數(shù)，因此在對優(yōu)化后的尺寸參數(shù)進(jìn)行修正時就要根據(jù)圖6、圖7作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。表3給出了修正后的優(yōu)化尺寸，圖8為優(yōu)化設(shè)計(jì)后得到的最優(yōu)立柱結(jié)構(gòu)。

表3 優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)與取整參數(shù)Tab.3 Optimization design parameters and integer parameters

初始設(shè)計(jì)與最終設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果相比可以看出，立柱在保證性能不變或有所提高的前提下，重量減輕了4.8%，同理優(yōu)化后的床身在滿足性能不低于原床身或高于原床身的條件下，重量減輕了10.4%，滑臺減輕了4.8%。FWV-6A數(shù)控加工中心的整機(jī)總重量為12 749 kg，三大件總共減輕的重量為628 kg，占整機(jī)重量的 4.9%。

5 數(shù)控加工中心整機(jī)校核及優(yōu)化

考慮到數(shù)控加工中心鑄造尺寸大于等于20 mm的限制，以及一些工藝上和連接裝配上的要求，將數(shù)控加工中心各個零部件立柱和床身局部尺寸和結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改調(diào)整，修改調(diào)整后立柱重量2 604 kg、床身3 991 kg和滑臺1 326.4 kg，組裝成整機(jī)后總重量為12 127 kg，占整機(jī)4.9%。進(jìn)行靜動態(tài)分析，將原結(jié)果與優(yōu)化分析結(jié)果對比，對比結(jié)果如圖9所示。

圖8 立柱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖Fig.8 Design of column structure

優(yōu)化后主軸刀具末端相對于工件靜變形為59.992 4 μm，比原整機(jī)初始值 67.27 μm 減小了 10.8%，即使得機(jī)床的靜力學(xué)性能更優(yōu)。表4所示為優(yōu)化后固有頻率的變化，優(yōu)化后整機(jī)第一階固有頻率提高了5.3%，第二階固有頻率提高了3.1%，第三階固有頻率減小了3.1%。從工程應(yīng)用上來看，在誤差允許范圍之內(nèi)，動態(tài)性能基本保持不變。因此，優(yōu)化后的整機(jī)在保證加工中心原有強(qiáng)度、剛度、動態(tài)性能和精度的條件下，整機(jī)質(zhì)量從12 749 kg減少到12 127 kg，減重達(dá)到4.9%，達(dá)到了整機(jī)優(yōu)化的設(shè)計(jì)要求。

圖9 整機(jī)切屑力Fig.9 Chip force of machine

表4 整機(jī)動態(tài)性能對比Tab.4 Comparison of dynamic performance of machine

6 結(jié)論

對FWV-6A數(shù)控加工中心進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)分兩個過程:先將整機(jī)分解為單件，單件分解為元結(jié)構(gòu)，并對它們進(jìn)行動靜態(tài)分析與實(shí)驗(yàn);然后在滿足性能要求的前提下分別對元結(jié)構(gòu)、單件和整機(jī)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化、形貌優(yōu)化和尺寸優(yōu)化。采用變密度法拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)立柱的最優(yōu)外形?；谠Y(jié)構(gòu)的可適應(yīng)性動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到床身、立柱和滑臺的最優(yōu)筋板結(jié)構(gòu)。采用響應(yīng)面法對加工中心立柱、床身和滑臺進(jìn)行尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足剛度等性能要求的基礎(chǔ)上減輕了整機(jī)的重量。裝配優(yōu)化后的單件，對數(shù)控加工中心整機(jī)進(jìn)行分析校核，分析結(jié)果表明，優(yōu)化后的整機(jī)在保證加工中心原有動靜態(tài)精度的條件下，整機(jī)質(zhì)量從12 749減少到12 127，減重達(dá)到4.9%，達(dá)到了整機(jī)優(yōu)化的設(shè)計(jì)要求。

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