建筑結(jié)構(gòu)魯棒分散控制方法研究

蔣 揚(yáng)，周星德，王 玉，劉謙敏，姜冬菊

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京 210098)

振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)多采用集中控制策略［1-3］，需要同時(shí)測量盡可能多的系統(tǒng)信號，進(jìn)而計(jì)算出所有作動(dòng)器的控制力進(jìn)行振動(dòng)控制。倘若某幾個(gè)控制器或傳感器失效，則可能使控制系統(tǒng)癱瘓，且控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)復(fù)雜、可靠性差?；诰植啃畔⒎答伒姆稚⒖刂撇呗?，具有設(shè)計(jì)簡單且可靠性高等特點(diǎn)，已經(jīng)成為目前研究的熱點(diǎn)之一［4］。由于分散控制采用系統(tǒng)局部信號反饋的控制方法，少數(shù)作動(dòng)器的失效并不會(huì)致使整個(gè)系統(tǒng)的控制失敗，更適于實(shí)際應(yīng)用。文獻(xiàn)［5］對基于最優(yōu)控制策略的分散控制方法進(jìn)行了初步的研究;文獻(xiàn)［6］通過把結(jié)構(gòu)分成多個(gè)子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)采用不同的控制策略的方式，對自適應(yīng)模糊分散控制進(jìn)行了研究，控制效果很好。

本文主要研究基于魯棒控制理論的魯棒分散控制策略，目前分散控制作動(dòng)器的控制力僅采用建筑物相鄰兩層的測量信號進(jìn)行控制，由于采用的系統(tǒng)信息較少，雖然也能對建筑物的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行控制，但控制效果一般［7-10］。如果要使系統(tǒng)具有較好的控制效果，就必須為作動(dòng)器提供盡可能多的系統(tǒng)反饋信息。因此，在信息采用上，本文選擇建筑物相鄰四層的測量信息，進(jìn)而對其進(jìn)行魯棒分散控制，既保證了控制系統(tǒng)簡單可靠的優(yōu)點(diǎn)，又增加了作動(dòng)器控制力所采用的系統(tǒng)信息，為同等環(huán)境下提高系統(tǒng)的控制效果提供了保證。最后，對十層建筑物進(jìn)行了仿真分析。

1 魯棒控制

含比例阻尼的n個(gè)自由度的建筑結(jié)構(gòu)在地震作用w(t)下的運(yùn)動(dòng)方程為:

式中，x(t)∈Rn×1是建筑物的相對位移向量;M，C，K∈Rn×n分別是質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣;u(t)∈Rm×1是作動(dòng)器控制力向量;Bs∈Rn×m為作動(dòng)器定位矩陣，m為作動(dòng)器數(shù)目;Es∈Rn×1為地震激勵(lì)定位矩陣。w(t)為地面水平加速度時(shí)程曲線(t)，其定位矩陣Es為 -M{1}n×1。

定義狀態(tài)變量:

則式(1)可以表示為如下狀態(tài)方程:

式中，

其中，In×n為n×n維單位矩陣;0n×m，0n×p，0n×1分別代表n×n維，n×m維，n×1維零矩陣。

令振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)的控制輸出方程為:

式中，Y(t)∈Rq×1為控制輸出向量;C∈Rq×2n和D∈Rq×m均為系統(tǒng)控制輸出系數(shù)矩陣;q為控制輸出變量個(gè)數(shù)。假設(shè)控制系統(tǒng)為狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，即作動(dòng)器控制力U(t)由方程U(t)=GZ(t)決定，G∈Rp×2n為控制增益矩陣。把方程U(t)=GZ(t)代入方程(3)、方程(4)，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程:

式中，

設(shè)離散周期為T，對系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行離散化得:

式中，下標(biāo)“d”表示相對應(yīng)的離散系統(tǒng)。由于離散狀態(tài)反饋系統(tǒng)中的控制力Ud(k)可以表示為Ud(k)=GdZ(k)。因此，離散閉環(huán)系統(tǒng)中的Adc和Cdc的表達(dá)式為:

設(shè)HZW是由輸入w(t)到輸出Y(t)的傳遞函數(shù):

變量μ滿足如下關(guān)系:

即變量μ為離散閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)HZW無窮范數(shù)的上確界。

由狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)魯棒控制理論［11］可知，離散系統(tǒng)的魯棒控制問題可以轉(zhuǎn)化成在線性矩陣不等式約束條件下的凸優(yōu)化問題，即求變量矩陣Fd和Θd，使其滿足以下條件:

(1)Minimize μ

(2)使矩陣變量Fd和Θd滿足如下不等式:

式中，Θd為2n×2n維對稱正定矩陣，F(xiàn)d為p×2n維矩陣，且滿足關(guān)系:Fd=GdΘd;符號‘*’表示矩陣中相應(yīng)的對稱塊。當(dāng)上述凸優(yōu)問題有解，即存在滿足上式不等式約束條件的變量矩陣Fd，Θd，則增益矩陣Gd為:

2 魯棒分散控制

根據(jù)線性狀態(tài)反饋控制律U(t)=GZ(t)可知，當(dāng)增益矩陣Gd1被應(yīng)用時(shí)，第i層作動(dòng)器控制力ui只跟第i層位移和速度有關(guān);而當(dāng)增益矩陣類型Gd2被應(yīng)用時(shí)，第i層作動(dòng)器控制力ui跟第i層及與之相鄰兩層(上下各一層)的位移與速度有關(guān);以此類推，可根據(jù)不同需要，對任意系統(tǒng)增益矩陣Gd進(jìn)行相應(yīng)的定位約束。

同理，要得到滿足定位約束條件的增益矩陣Gd1，需對變量矩陣Fd1和Θd1進(jìn)行相應(yīng)的定位約束。

3 仿真分析

圖1 含10個(gè)作動(dòng)器的10層框架Fig.1 The 10-storey frame structure

以10層框架建筑結(jié)構(gòu)為研究對象進(jìn)行魯棒分散控制仿真分析，基于地震波的采樣周期為0.02 s，所以采用 0.02 s作為系統(tǒng)的離散周期。如圖1所示，在建筑結(jié)構(gòu)的每一層都安置一個(gè)假設(shè)為理想作動(dòng)器。通過三種不同定位約束的控制增益矩陣GdⅠ，GdⅡ，GdⅢ分別對建筑物進(jìn)行了魯棒分散控制仿真研究。GdⅠ，代表方法1，是基于建筑物相鄰兩層測量信號的魯棒分散控制策略，即第i層作動(dòng)器的控制力只跟第i層及與其相鄰兩層(上下各一層)的位移與速度有關(guān);GdⅡ，代表方法2，是基于建筑物相鄰四層測量信號的魯棒分散控制策略，即第i層作動(dòng)器的控制力只跟第i層及相鄰四層(上下各二層)的位移與速度有關(guān);GdⅢ，代表方法3，是指魯棒集中控制策略，即第i個(gè)作動(dòng)器的控制力跟結(jié)構(gòu)各層的位移與速度都有關(guān)，取決于系統(tǒng)的全局測量信息。仿真分析過程以各樓層相對地面的位移與速度為控制輸出，即Cd為20×20維單位矩陣，Dd為相應(yīng)的零矩陣。假設(shè)系統(tǒng)初始處于靜止?fàn)顟B(tài)，外部激勵(lì)為水平方向的地震荷載，選擇elcentro波作為水平方向激勵(lì)，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.02;各樓層的質(zhì)量均為3.2×103kg，剛度為 4.3 × 106N/m?？刂圃鲆婢仃嘒dⅠ，GdⅡ，GdⅢ的值，可以通過相應(yīng)的凸優(yōu)化問題求解，并對建筑物進(jìn)行振動(dòng)控制。魯棒分散控制的仿真結(jié)果如表1所示。

從表1中可以看出，方法2與方法3的控制效果明顯優(yōu)于方法1。方法1能使建筑物樓層位移響應(yīng)的峰值減少40～50%左右，而方法2與方法3的控制效果基本相當(dāng)，能使建筑物樓層位移響應(yīng)的峰值減少90～98%左右。由此可知，魯棒分散控制的效果依賴于系統(tǒng)測量信息量的多少，當(dāng)各作動(dòng)器采用的系統(tǒng)信息量較少時(shí)，其控制效果一般;相反，當(dāng)各作動(dòng)器所需的系統(tǒng)信息量較多時(shí)，往往能達(dá)到較好的控制效果。如表1所示，方法1只能減少建筑物各樓層不到50%的位移響應(yīng)峰值。而方法2的控制效果明顯優(yōu)于方法1，能夠減少各樓層90%以上的位移響應(yīng)峰值。但是，魯棒分散控制的控制效果并不是隨著作動(dòng)器所需系統(tǒng)測量信息數(shù)量的增加而無限增加，如方法2與方法3的控制效果基本相當(dāng)。甚至在建筑物的第3層，方法2對建筑物位移響應(yīng)峰值的減少量反而大于方法3約2.5%。因此，對于建筑結(jié)構(gòu)的魯棒分散控制，在同等條件下，應(yīng)該存在一個(gè)最優(yōu)增益矩陣的定位約束類型，即作動(dòng)器控制力所需的系統(tǒng)測量信息量存在一個(gè)最優(yōu)值，使得控制系統(tǒng)能夠用較少的測量信息達(dá)到最優(yōu)的控制效果。

表1 建筑物魯棒分散控制結(jié)果Tab.1 Control result of the robust decentralized control method

同時(shí)，以結(jié)構(gòu)第10層的控制效果圖為例，以便對魯棒分散控制的控制效果認(rèn)識更直觀。方法1，方法2，方法3的控制效果分別見圖2，圖3，圖4，其中，虛線表示未控制時(shí)的位移時(shí)程曲線，實(shí)線為控制后的位移時(shí)程曲線。方法2的第10層作動(dòng)器的控制力時(shí)程曲線如圖5所示。從圖中也可以清楚的看出，基于建筑物相鄰四層測量信號的魯棒分散控制的控制效果與魯棒集中控制的控制效果基本相當(dāng)，且明顯好于基于相鄰兩層信號的魯棒分散控制效果。

此外，在研究過程中也出現(xiàn)了一些現(xiàn)象:① 當(dāng)控制系統(tǒng)中只采用四個(gè)，五個(gè)等少量作動(dòng)器進(jìn)行分散控制時(shí)，建筑物位移響應(yīng)幾乎得不到有效控制，甚至比未控時(shí)的響應(yīng)還要大;② 當(dāng)控制系統(tǒng)采用三個(gè)及更少的作動(dòng)器進(jìn)行控制時(shí)，采用基于建筑物局部測量信息反饋的魯棒分散控制策略，在MATLAB仿真過程中，其相應(yīng)的凸優(yōu)化問題都會(huì)出現(xiàn)無解的情況。目前，作動(dòng)器個(gè)數(shù)對魯棒分散控制控制效果的具體影響及原因尚不明確，需進(jìn)一步深入研究，這也成為筆者未來的研究重點(diǎn)。

4 結(jié)論

對于建筑結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)下的振動(dòng)控制，傳統(tǒng)魯棒集中控制策略的系統(tǒng)復(fù)雜且可靠性相對較低，當(dāng)其中少數(shù)作動(dòng)器的失效就可能導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)控制失敗。因此，具有系統(tǒng)簡單可靠性高等優(yōu)點(diǎn)的魯棒分散控制策略，在保證控制效果的情況下，可以一定程度上彌補(bǔ)魯棒集中控制策略的不足。本文通過對10層建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真分析，對基于建筑物相鄰四層測量信號的魯棒分散控制方法進(jìn)行了初步研究。結(jié)果表明，該方法有效且控制效果較好。

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附錄1:方法2的控制器結(jié)構(gòu)參數(shù)(增益矩陣GdⅡ=P×105)