基于泊松過程的超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制技術(shù)研究

陳家焱，陳章位，周建川，賀惠農(nóng)

(1.浙江大學(xué) 流體傳動(dòng)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027;2.杭州億恒科技有限公司，杭州 310003;3.浙江大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程與儀器科學(xué)學(xué)院，杭州 310027)

振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)是指在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)利用激振設(shè)備使試件經(jīng)受預(yù)先規(guī)定的振動(dòng)，并達(dá)到預(yù)期目的的過程［1-2］。在已公開的關(guān)于隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)規(guī)范中規(guī)定振動(dòng)控制系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機(jī)信號應(yīng)服從高斯分布。實(shí)踐表明有些產(chǎn)品雖然通過了傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，但其潛在缺陷仍然較多，當(dāng)其經(jīng)受超高斯隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境時(shí)容易發(fā)生失效，從而影響產(chǎn)品的性能。隨著對產(chǎn)品可靠性水平要求的提高，傳統(tǒng)振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)M的高斯分布振動(dòng)環(huán)境已不能滿足在某些場合的要求，特別是用于產(chǎn)品的環(huán)境應(yīng)力篩選和可靠性增長試驗(yàn)［3］。模擬給定功率譜的高斯隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境在技術(shù)上已經(jīng)容易實(shí)現(xiàn)，但對給定功率譜的超高斯隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境模擬技術(shù)目前還不成熟，存在一些技術(shù)實(shí)現(xiàn)難題，也成為振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)M技術(shù)的研究熱點(diǎn)。

國內(nèi)外對超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制的研究始于二十世紀(jì)九十年代，Smallwood［4-5］利用零記憶非線性變換法(Zero Memory Nonlinearity，ZMNL)對高斯隨機(jī)信號進(jìn)行非線性變換以得到滿足特定要求的超高斯隨機(jī)信號。ZMNL法在不斷逼近參考功率譜的過程中同時(shí)控制隨機(jī)信號的幅值分布特性，ZMNL法雖然能夠控制輸出信號的超高斯特性，但其功率譜控制的動(dòng)態(tài)范圍不高，影響振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)M精度。Steinwolf［6-7］利用多項(xiàng)式函數(shù)變換實(shí)現(xiàn)非高斯隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)M，從他的論文中可看出，采用多項(xiàng)式函數(shù)變換法的功率譜控制的動(dòng)態(tài)范圍也不高，同時(shí)對邊緣頻率控制不是很好。國內(nèi)對超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制研究代表是國防科技大學(xué)的蔣瑜博士［8］，他利用二次相位調(diào)制的方法實(shí)現(xiàn)對超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的控制，并定量分析了時(shí)域隨機(jī)化對超高斯隨機(jī)信號的影響。北京航天航空大學(xué)的范文濤［9］和于英揚(yáng)［10］也對超高斯隨機(jī)振動(dòng)控制進(jìn)行了相關(guān)研究。國內(nèi)對非高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制的研究主要集中在理論方面，具有實(shí)用價(jià)值的工程化的超高斯隨機(jī)振動(dòng)控制技術(shù)研究尚存在一些問題亟待解決。本文在廣泛查閱國內(nèi)外相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，提出基于泊松過程的超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制方法，并進(jìn)行系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，以期為隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制系統(tǒng)的研發(fā)提供技術(shù)支持。

1 超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制原理

1.1 超高斯隨機(jī)涵義

高斯信號是指信號幅值的概率密度服從正態(tài)分布的隨機(jī)信號，與之相對的非高斯信號是指信號的概率密度分布不服從正態(tài)分布。非高斯信號可分為亞高斯信號和超高斯信號，利用隨機(jī)過程的前四階累積統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行數(shù)學(xué)描述:一階中心矩描述信號均值μ，二階中心矩描述信號方差σ，三階中心矩描述信號偏斜度S，四階中心矩描述的是信號峭度K，偏斜度與峭度的數(shù)學(xué)表達(dá)為:

高斯隨機(jī)信號的偏斜度恒為零，峭度值恒為3，它只需用均值和方差就可描述其特征。非高斯信號的偏斜度和峭度至少有一個(gè)條件與高斯信號不相符。

偏斜度是描述隨機(jī)信號分布偏離對稱分布的程度，峭度是描述隨機(jī)信號幅值的波形特征的參數(shù)。以高斯信號的峭度值3為基準(zhǔn)，峭度值小于3的非高斯信號為亞高斯信號，大于3的非高斯信號為超高斯信號。超高斯信號幅值概率密度的中心區(qū)域相對高斯信號更為狹窄，邊緣地帶的拖尾更長。蔣培［11］的研究表明在信號的均值和功率譜相同的情況下，超高斯信號對試件的累積疲勞損傷相對高斯和亞高斯信號的更大，能更充分地激發(fā)出試件的產(chǎn)品缺陷。本文主要以偏斜度為零的超高斯隨機(jī)信號作為振動(dòng)試驗(yàn)的研究對象，在振動(dòng)臺上實(shí)現(xiàn)超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的控制，進(jìn)行相關(guān)的研究工作。

1.2 超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制原理

圖1 超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制流程Fig.1 Super-Gaussian random vibration test control process

超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制相對于傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)除了要進(jìn)行功率譜均衡，還須進(jìn)行峭度控制，這在技術(shù)實(shí)現(xiàn)上相對復(fù)雜些。圖1所示為本文采取的超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制流程，利用傳感器拾取振動(dòng)響應(yīng)信號，由A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號送入DSP，分別進(jìn)行頻譜均衡和峭度均衡，均衡完成后，兩路信號進(jìn)行卷積運(yùn)算得到包含參考譜和參考峭度的驅(qū)動(dòng)信號，然后將該驅(qū)動(dòng)信號送入D/A轉(zhuǎn)換器，實(shí)現(xiàn)對振動(dòng)臺的驅(qū)動(dòng)。通過不斷的反復(fù)迭代修正，使控制響應(yīng)信號的功率譜和峭度與參考譜和參考峭度都達(dá)到誤差允許的范圍。頻譜均衡方法包括自功率譜修正法、傳遞函數(shù)修正法和連續(xù)卷積法，詳見文獻(xiàn)［12］。對于峭度均衡過程，采用如圖2所示的峭度控制算法流程。本研究采用兩路并行控制策略實(shí)現(xiàn)對功率譜與峭度同時(shí)控制，完全不同于文獻(xiàn)［8］的二次相位調(diào)制的控制方法，并行控制的兩路信號相互獨(dú)立，兩者互不干涉，這在后續(xù)的仿真與實(shí)驗(yàn)中可進(jìn)一步證明。

圖2 峭度控制算法流程Fig.2 Kurtosis control algorithm process

2 基于泊松過程超高斯信號生成機(jī)理

2.1 濾波原理調(diào)制信號

從圖1所示的超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制流程圖可知，系統(tǒng)控制的信號流分兩路，一路是頻譜均衡后輸出信號，一路是峭度均衡后輸出信號，最后兩路信號通過卷積運(yùn)算合成一路信號作為驅(qū)動(dòng)信號激勵(lì)振動(dòng)臺。為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有效控制，在控制環(huán)節(jié)進(jìn)行了設(shè)計(jì)，把其中的頻譜均衡輸出信號設(shè)計(jì)成濾波器h(n)，把峭度均衡輸出信號設(shè)計(jì)成為輸入信號A(n)，驅(qū)動(dòng)信號設(shè)計(jì)成線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出x(n)，如圖3所示。根據(jù)圖中所示的信號關(guān)系可調(diào)制出符合超高斯隨機(jī)振動(dòng)控制的驅(qū)動(dòng)信號，實(shí)現(xiàn)對振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)的控制。

圖3 信號關(guān)系圖Fig.3 Signal relationship chart

2.2 利用參考譜設(shè)計(jì)濾波器

利用振動(dòng)試驗(yàn)給定的參考譜設(shè)計(jì)濾波器，脈沖響應(yīng)函數(shù)h(n)是通過對給定的參考譜GR(f)進(jìn)行傅里葉逆變換得到的。隨機(jī)信號時(shí)域數(shù)據(jù)u(n)的幅值譜U(k)與功率譜Gu(k)之間存在關(guān)系:

其中N是隨機(jī)信號時(shí)域數(shù)據(jù)長度，通常取2的整數(shù)次冪，F(xiàn)s是采樣頻率，采樣頻率的選擇應(yīng)滿足采樣定理。根據(jù)上述條件，控制系統(tǒng)的頻率分辨率Δf=Fs/N，采樣間隔Δt=1/Fs，樣本長度為T=NΔt，各離散頻率點(diǎn)的頻率值fk=k/T=kΔf。

根據(jù)式(3)可進(jìn)一步推導(dǎo)出隨機(jī)信號時(shí)域數(shù)據(jù)幅值譜的模與功率譜之間的關(guān)系:

利用參考譜設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，根據(jù)式(4)得到信號的幅頻特征:

進(jìn)行傅里葉逆變換時(shí)必須要提供信號的相頻特征，設(shè)計(jì)的濾波器信號相頻特性須滿足線性相位:

式中k是常數(shù)，此濾波器能保證信號無失真?zhèn)鬏?。出濾波的幅頻特性與相頻特性利用傅里葉逆變換得到時(shí)域信號:

為了減小信號截?cái)鄬γ}沖響應(yīng)函數(shù)信號造成的能量泄露，對得到的時(shí)域信號進(jìn)行加窗并去除其均值:

推導(dǎo)至此，即完成了參考譜設(shè)計(jì)濾波器的過程。

2.3 基于泊松過程產(chǎn)生超高斯信號

通過峭度均衡得出控制系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)信號的峭度值，以該峭度值為依據(jù)產(chǎn)生出新信號，新信號包含期望的峭度控制信息同時(shí)又能夠保證其為單位頻譜滿足控制系統(tǒng)要求。為產(chǎn)生滿足上述要求的新信號，利用泊松過程［13］產(chǎn)生一些泊松點(diǎn)，在泊松點(diǎn)上加上信號值，同時(shí)賦予信號值一些統(tǒng)計(jì)特性，二者相互結(jié)合即可產(chǎn)生出符合要求的信號。在文獻(xiàn)［14］中泊松過程產(chǎn)生的泊松點(diǎn)用參考譜設(shè)計(jì)的濾波器函數(shù)表示:

其中k是由指數(shù)分布的均值λ和采樣間隔Δt所決定的獨(dú)立時(shí)間參數(shù)，當(dāng)λ的取值趨于無窮時(shí)指數(shù)分布即為高斯分布，本研究是利用λ取有限值來控制信號的峭度值，使信號輸出具有超高斯特性。根據(jù)文獻(xiàn)［14］，得到泊松點(diǎn)的前四階累積統(tǒng)計(jì)量:

由于兩者之間相互獨(dú)立，同時(shí)可得到x(n)的n階累積統(tǒng)計(jì)量:

對于信號值A(chǔ)的隨機(jī)過程，使其服從正態(tài)分布，A的四階累積統(tǒng)計(jì)量可用其均值與方差描述。

由式(10)、(12)和(13)可推導(dǎo)出輸入信號x(n)的四階累積統(tǒng)計(jì)量:

根據(jù)式(1)和(2)，且不考慮偏斜度，即S=0，對方程(14)求解得:

由此可得到基于泊松過程產(chǎn)生超高斯信號的參數(shù)，進(jìn)而可產(chǎn)生出符合控制要求的超高斯信號。

3 數(shù)值模擬研究

為驗(yàn)證超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)算法的合理性，利用Matlab軟件進(jìn)行相關(guān)的仿真研究。設(shè)置參考譜的頻率范圍20～450 Hz，采樣頻率取2 000 Hz，樣本長度1 024，參考峭度值分布取10、15、20進(jìn)行比較，控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)加入5%量級的噪聲。仿真結(jié)果分析如下:表1中列出了參考峭度值在10、15和20時(shí)的相關(guān)參數(shù)的計(jì)算值。

限于篇幅這里只列出了參考峭度取15時(shí)控制算法的輸出信號。圖4所示控制仿真算法輸出的超高斯時(shí)域隨機(jī)信號的時(shí)間片段，圖5所示控制算法對參考功率譜修正的輸出情況，功率譜控制譜與參考譜之間的誤差很小，完全滿足工程上要求的±3 dB的報(bào)警限范圍，表現(xiàn)出良好的功率譜控制性能。圖6所示控制仿真輸出響應(yīng)信號的概率密度函數(shù)，并將其與高斯分布的概率密度函數(shù)進(jìn)行對比，超高斯信號的概率密度圖在均值附近的取值更加緊密，有較長的拖尾，有一部分信號值超出3σ的范圍，有些信號值甚至達(dá)到6σ，滿足控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。

表1 控制參數(shù)計(jì)算值Tab.1 The calculated value of control parameters

4 實(shí)驗(yàn)研究

為進(jìn)一步驗(yàn)證基于泊松過程的超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制技術(shù)的正確性，對該控制策略進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)際振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)都伴隨著一定的非線性和隨機(jī)噪聲，這更能夠證明該控制技術(shù)的實(shí)用性和有效性。通過構(gòu)建完成的超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制系統(tǒng)硬件和軟件，在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)對試件進(jìn)行了相關(guān)的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，如圖7所示是振動(dòng)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場，利用該實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行了實(shí)際連接激振器的超高斯隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)中設(shè)置的頻率范圍5～2 000 Hz，幅值譜由上坡譜、下坡譜和恒定加速譜組成，設(shè)置的峭度值是10。圖8所示是頻率在5～2 000 Hz范圍內(nèi)功率譜控制結(jié)果，控制響應(yīng)譜與參考譜之間非常緊密地貼合在一起，達(dá)到了很高的精度，完全滿足工程試驗(yàn)中常用的±3 dB控制要求。圖9所示是控制響應(yīng)時(shí)域信號的峭度控制結(jié)果。圖9中顯示峭度控制在所有的時(shí)間歷程里，峭度值波動(dòng)都在目標(biāo)峭度值附近，峭度達(dá)到了很高的控制精度，完全滿足工程要求。

5 結(jié)論

在對國內(nèi)外超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制技術(shù)研究的基礎(chǔ)上，提出了基于泊松過程的超高斯隨機(jī)振動(dòng)控制策略，結(jié)論如下:

(1)對超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制原理進(jìn)行了研究。給出了超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制流程，對峭度控制算法進(jìn)行了歸納，給出了峭度控制算法流程圖。

(2)提出基于泊松過程的超高斯隨機(jī)振動(dòng)控制策略。采用數(shù)字濾波的方法調(diào)制超高斯隨機(jī)信號，并以此信號作為控制系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)信號，利用參考譜設(shè)計(jì)出符合控制要求的濾波器，通過泊松過程產(chǎn)生的泊松點(diǎn)，同時(shí)賦予泊松點(diǎn)的幅值滿足正態(tài)分布，利用二者之間的卷積運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了對超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制系統(tǒng)的功率譜和峭度同時(shí)控制，且二者相互獨(dú)立。

(3)仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于泊松過程的超高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制算法，其控制輸出響應(yīng)譜與參考譜的誤差在很小的范圍內(nèi)，滿足系統(tǒng)工程中常用的±3 dB控制要求，控制峭度值與參考峭度值之間的誤差也在很小的范圍，完全能夠滿足工程要求。

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